STX Matematik B 15. august 2016 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

1

STX Matematik B

15. august 2016

stx162-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver fra delprøven med hjælpemidler er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6

Side 2

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

2

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1

Ligningen reduceres og løses:

2 · ( 𝑥+ 5) = 6𝑥 + 30

⇕

2𝑥+ 10= 6𝑥+ 30

⇕

2𝑥− 20 =6𝑥

⇕

−20= 4𝑥

⇕

𝑥 = −5

Opgave 2

Der er tale om en lineær sammenhæng, da produktionen af kvartssand aftager med en fast størrelse hvert år.

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏

𝑓 ( 𝑥) betegner produktionen af kvartssand til året x.

𝑥 betegner antal år efter år 2006.

𝑎 betegner grafens hældningskoefficient. I dette tilfælde er konstanten 𝑎 lig 39000 𝑚^{3} dvs. for hvert år
efter år 2006 aftager produktionen af kvartssand med 39000 𝑚^{3} om året.

𝑏 betegner funktionsværdien i x = 0 dvs. begyndelsesværdien for funktionen. I år 2006 var produktionen af
kvartssand således 526000 𝑚^{3}.

En model for produktionen af kvartssand efter år 2006 vil se ud således:

𝑓 ( 𝑥) = 39000 ·𝑥+ 526000

Side 3

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

3

Opgave 3

𝑓 ( 𝑥) = 2𝑥^{2} − 4𝑥 + 7

Førstekoordinaten til toppunktet bestemmes ved:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕

4𝑥− 4 =0 (𝐼)

⇕

4𝑥 = 4

⇕

𝑥 = 1

Vi kan være sikker på at punktet betegner toppunktet, da grafen for parablen har en positiv a værdi og dermed er konkav.

Anden koordinaten til toppunktet bestemmes ved:

𝑓 ( 1) = 2 · 1^{2} − 4 · 1 + 7
= 5

Koordinatsættet til toppunktet for parablen er bestemt til:

𝑇 ( 1,5)

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝑓 ( 𝑥)

′

𝑥^{𝑎} 𝑎𝑥

𝑎−1

𝑘𝑥 𝑘 𝑘 0

Opgave 4

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

Side 4

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

4

- Konstanten a er positiv da grafen f er konveks.

- Konstanten b er negativ da tangenthældningen for grafen f i x = 0 er negativ.

- Konstanten c er positiv da grafen f skærer y-aksen i en positiv værdi.

- Diskriminanten d er 𝑑 < 0 da grafen f ikke skærer med x-aksen.

Opgave 5

En eksponentialfunktion 𝑓 ( 𝑥) = 𝑏 · 𝑎^{𝑥} har en fordoblingskonstant lig med 3 dvs. når x øges med 3 så

fordobles f(x).

𝑥 0 3 9 𝑓 ( 𝑥) 5 10 40

Opgave 6

𝑓 ( 𝑥) = · 𝑥^{3} − 4𝑥

1

3

𝑓^{′} ( 𝑥) bestemmes:

𝑓^{′} ( 𝑥) = · 3𝑥^{2} − 4 (𝐼)

1

3

= 𝑥^{2} − 4

Evt. ekstrema bestemmes:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕

𝑥^{2} − 4 = 0

⇕

𝑥^{2} = 4

Side 5

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

5

⇕

𝑥 = ± √ 4
= ±2

Differentialkvotienten tjekkes på siderne af ekstremumspunkter:

𝑓^{′} ( −3) = ( −3)^{2} − 4
= 5

𝑓^{′} ( 0) = 0^{2} − 4
= −4

𝑓^{′} ( 3) = 3^{2} − 4
= 5

f er voksende i intervallet ] − ∞;−2] og [2;∞[

f er aftagende i intervallet [ −2;2]

f har et maksimumspunkt i 𝑥 = −2

f har et minimumspunkt i 𝑥 = 2

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝑓 ( 𝑥)

′

𝑥^{𝑎} 𝑎𝑥

𝑎−1

𝑘𝑥 𝑘

Side 6

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

6

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 7 a)

Sammenhængen kan beskrives med en eksponentiel funktion.

Tabellen med data opstilles, og der foretages en eksponentielregression:

År | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008
År efter år | 0 | 1 | 2 | 3 | 4

2004

Årlig indtægt | 310 | 350 | 424 | 515 | 582

fra parkering i mio. kr.

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,992546

𝑦 = 305,4449· 1,178925^{𝑥}

Konstanten a aflæses til 1,18 og konstanten b aflæses til 305,44 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Regressionsligningen defineres:

𝑓 ( 𝑡) ≔ 305,4449· 1,178925^{𝑡}

Kommunens årlige indtægt fra parkering i år 2010 bestemmes ved:

𝑓 ( 2010 − 2004) ≈ 820,0681

Ifølge modellen vil kommunens indtægt fra parkering i år 2010 være ca. 820 mio. kr. (afrundet).

c)

Vækstraten r betegner den årlige procentvise vækst. Vækstraten r er bestemmes ved:

𝑟 = 𝑎− 1
= 1,178925 −1
= 0,178925

Ifølge modellen vokser kommunens indtægt fra parkering med 17,9% for hvert år.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

7

Opgave 8 a)

Glassets højde beregnes som modstående katete i den retvinklede trekant som dannes, når siden |AB|

halveres. Højden ℎ_{𝑐} ’s skæring med siden |AB| betegnes som m.

Trekanten beregnes i WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: m = 90°, Am = 60, AC = 120

C A = 60°
C = 30°
m = 90°

h_{c} = 103,923
Am = 60
AC = 120

Længden af siden h_{c} findes vha. Pythagoras
ℎ_{𝑐} = 𝐴𝐶^{2} − 𝐴𝑚^{2}

√
= 120^{2} − 60^{2}

√
= 103,923
Siden ℎ_{𝑐} aflæses til 104 (afrundet).

b)

Arealet af en trekant er givet ved:

𝑇 = · ℎ_{𝑐} · | 𝐴𝐵 |

1

2

= · 104 · 120= 6240

1

2

Arealet af trekant ABC er bestemt til 6240.

A Am m

AC h_{c}

Side 8

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

8

Opgave 9 a)

Funktionen defineres: 𝑓 ( 𝑥) ≔

12246

1 + 3,95 · 𝑒^{−0,0273·𝑥}

Grafen tegnes med GnuPlot:

Befolkningstallet i 2016 bestemmes ved:

𝑓 ( 2016 − 1950) ≈ 7413,926

Ifølge modellen vil befolkningstallet i år 2016 være ca. 7414 mio. (afrundet).

b) f’(70) bestemmes:

𝑓^{′} ( 70) ≈ 77,82594

Tallet 𝑓^{′} ( 70) betegner befolkningstilvæksten 70 år efter år 1950 dvs. i år 2020. Det udgår således fra

modellen at i året 2020 vokser verdensbefolkningen med 77,83 mio. (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

9

Opgave 10 a)

Funktionen og definitionsmængden defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥 > 0

𝑓 ( 𝑥) ≔ ( 2 − 𝑥) · ln ( 𝑥)

Ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 0 løses:

𝑓 ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2

b)

Arealet af punkmængden M bestemmes ved det bestemte integral i intervallet [1; 2]. Grænser for integralet betegner grafens skæring med x-aksen og blev bestemt i tidligere opgave:

𝐴_{𝑀} = ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

2

1

≈ 0,1362944

Arealet af punktmængden M er bestemt til 0,14 (afrundet til 2 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

10

Opgave 11 a)

Nulhypotesen er oplyst til: 𝑯
                       𝟎

: Hver af de otte sider forekommer lige ofte.

Vi antager at terningen er sand dvs. hver side har en^{1}_{8} chance ved hvert kast for at forekomme:

Side 1 2 3 4 5 6 7 8

Forventet hyppighed

1 1 1 1 1 1 1 1

8 8 8 8 8 8 8 8

· 250 · 250 · 250 · 250 · 250 · 250 · 250 · 250
= 31,25 = 31,25 = 31,25 = 31,25 = 31,25 = 31,25 = 31,25 = 31,25

Nulhypotesen testes med en X^{2} -Goodnees-of-fit test. Testen foretages med WordMats skabelon for

Goodness-of-fit test på et 5 % signifikansniveau:

Testen kopieres ind i dokumentet:

Da 𝑃 < 5 % må nulhypotesen forkastes. Det kan på baggrund af testen konkluderes, at hver side på den 8- sidede terning ikke forekommer lige ofte. Terningen er ifølge testen ikke sand.

Side 11

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

11

Opgave 12 a)

Funktionen og førstekoordinaten til punktet P defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{4} − 6𝑥^{2} + 10𝑥 + 3

𝑥_{0} ≔ 1

Ligningen for tangenten i punktet P(1, f(1)) bestemmes ved:

𝑦_{𝑡} = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
= 2 · 𝑥 + 6

b)

Førstekoordinaten til punktet Q bestemmes ved:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 2

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 1

𝑥 = 1 betegner til røringspunktet f.

Førstekoordinaten til røringspunktet Q er bestemt til 𝑥 = −2.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 12

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

12

Opgave 13 a)

Omkredsen af tværsnittet kan beskrives ved at ligge alle siderne sammen:

50 = 2𝑥+ 𝑦+ 𝑦 + 2 · ( √ 2 · 𝑥)

y udtrykt ved x kan beskrives ved:

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 = ( − √ 2 − 1) · 𝑥+ 25

Arealet af tværsnittet kan beskrives ved arealet af hele rektanglet minus arealet af trekanten (I):

𝐴 ( 𝑥) = 𝑦 · 2𝑥− · 𝑥· 2𝑥

1

2

= ( ( − √ 2 − 1) · 𝑥+ 25) · 2𝑥− · 𝑥· 2𝑥

1

2

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝐴 ( 𝑥) = (−2 − 3) · 𝑥^{2} + 50 · 𝑥

3

2

= − ( 2 √ 2 + 3) · 𝑥^{2} + 50𝑥

Udtrykket defineres desuden:

𝐴 ( 𝑥) ≔ − ( 2 √ 2 + 3) · 𝑥^{2} + 50𝑥

Ovenstående udtryk er identisk med udtrykket i opgavebeskrivelsen.

b)

Arealet optimeres:

Først bestemme evt. ekstrema:

𝐴^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 4,289322

Differentialkvotienten tjekkes på begge sider af ekstrema:

𝐴^{′} ( 3) ≈ 15,02944

𝐴^{′} ( 5) ≈ −8,284271

f er voksende i intervallet ] − ∞;4,289322]

Side 13

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

13

f er aftagende i intervallet [4,289322;∞[

f har maksimum i 𝑥 = 4,289322.

Det kan konkluderes på baggrund af funktionsundersøgelsen, at x = 4,29 (afrundet til 1 decimal) giver det

største areal af tværsnittet.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

(I)

Den generelle formel for arealet af et rektangel er givet ved:

𝐴_{𝑟𝑒𝑘} = 𝑠 · 𝑠

Den generelle formel for arealet af en trekant er givet ved:

𝑇 = · ℎ · 𝑔

1

2