STX Matematik B 22. maj 2014 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-

Opgaver uden hjælpemidler - 22. maj 2014

Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til:

Matematisk formelsamling stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 1

Det er en fast procentvis tilvækst pr. tidsenhed (7% pr. time), derfor følger udviklingen STX 2.g (formel 54) t

𝑟 = = = 0, 07 (formel 7)

𝑝% 7%

100% 100%

Startkoncentrationen 𝑏 = 120 er målt i mio. alger pr. liter vand.

Kaldes algekoncentrationen for 𝑓 (målt i mio. alger pr. liter vand) som en funktion af tiden 𝑡 (målt i timer), kan følgende sammenhæng opstilles:

𝑓(𝑡) = 120 · (1 + 0, 07)^{t} = 120 · 1, 07^{t}

hvor 𝑓 (𝑡) er algekoncentrationen i mio./L som en funktion af 𝑡

og 𝑡 er tiden, målt i timer, efter observationen af algebestanden påbegyndes.

Opgave 2

Reducering af:

(𝑎 + 𝑏)^{2} − 𝑎^{2} − 𝑎𝑏 =

(formel 7)

𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 2𝑎𝑏 − 𝑎^{2} − 𝑎𝑏

= 𝑏^{2} + 𝑎𝑏

1

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-

Opgave 3

Andengradsligningen 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 kan løses vha. formlen:

𝑥 = (formel 39)

−𝑏 ± 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

√

2𝑎

Givet andengradsligningen:

𝑥^{2} + 2𝑥 − 8 = 0

er løsningen bestemt ved:

𝑥 =

−𝑏 ± 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

√

2𝑎 kendte værdier indsættes

𝑥 =

−2 ± 2^{2} − 4 · 1 · (−8)

√

2 · 1

⇕

𝑥 =

−2 ± 36

√

2

⇕

𝑥 = ∨ 𝑥 =

−2 − 6 −2 + 6

2 2

⇕

𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = 2

Andengradsligningen har således løsningerne: 𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = 2

Opgave 4

Givet funktionen

𝑓(𝑥) = 𝑥^{2} − 5𝑥 + 1

kan det udledes, at den af de viste parabler A, B og 𝐶, der er graf for 𝑓, skal opfylde:

• Grafen for 𝑓 skal være en såkaldt "glad"parabel, hvor parabelgrenene vender opad,

da koefficienten til andengradsleddet er positivt (𝑎 = 1).
• Grafen for 𝑓 skære 𝑦-aksen i 𝑦 = 1, idet konstanten 𝑐 = 1 i forskriften for 𝑓 .

Det er kun parabel A, der opfylder dette, hvorfor parabel A er graf for funktionen 𝑓 .

Parabel B kan ikke være graf for 𝑓 , idet B ikke skærer 𝑦-aksen i 𝑦 = 1.
Parabel 𝐶 kan ikke være graf for 𝑓 , idet 𝐶^{′}^{𝑠} parabelgrene vender nedad, hvilket er

ensbetydende med en negativ koefficient til andengradsleddet, som ikke er tilfælde for 𝑓 .

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-

Opgave 5

Her bruges formlen for arealet af en trekant: højden x grundlinjen / 2

Om den retvinklede trekant AB𝐶 vides, at dets areal T_{𝐴𝐵𝐶} = 24 og |B𝐶| = 6

Længden af kateten A𝐶 kan bestemmes vha. arealet og siden B𝐶:

        1
T    =   · |A𝐶| · |B𝐶|
 𝐴𝐵𝐶
        2

⇕

|A𝐶| =

2 · T_{𝐴𝐵𝐶}

|B𝐶| kendte værdier indsættes

|A𝐶| =

2 · 24

6

⇕

|A𝐶| = 8

Længden af hypotenusen AB kan bestemmes vha. Pythagoras’ læresætning:

|AB|^{2} = |A𝐶|^{2} + |B𝐶|^{2} (formel 21)

⇓

|AB| = |A𝐶|^{2} + |B𝐶|^{2}

√

De kendte værdier indsættes:

|AB| = 8^{2} + 6^{2}

√

⇕

|AB| = 100

√

⇕

|AB| = 10

De manglende sidelængder i trekant AB𝐶 er således bestemt værende:

|A𝐶| = 8

|AB| = 10

Opgave 6

På grafen for N indtegnes en tangent i punktet (4, N (4)).

Koordinaterne til to punkter på denne tangent aflæses og hældningskoefficienten 𝑎 for tangenten bestemmes vha. formlen:

𝑎 = (formel 30)

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}
Differentialkvotienten N^{′} (𝑥_{0}) til funktionen N er defineret som hældningskoefficienten for
tangenten til grafen for N i punktet (𝑥_{0}, N(𝑥_{0}))

3

Side 4

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 1stx141-MAT/B-

Grafen for N med tangenten indtegnet:

Differentialkvotienten N^{′} (4) bestemmes som hældningskoefficienten for tangenten til

grafen for N i punktet (4, N (4)) (formel 30)

To punkter på tangenten aflæses til: (2, 1000) og (7, 800).

𝑎_{t} =

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}

kendte værdier indsættes

N^{′} (4) =

800 − 1000
7 − 2

⇕

N^{′} (4) =

−200

5

⇕

N^{′} (4) = −40

Det er således bestemt, at: N^{′} (4) = −40

Differentialkvotienten N^{′} (4) = −40 betyder, at antallet af individer i populationen aftager

med 40 individer i døgnet til tidspunktet 4 døgn efter, at man påbegyndte observationen af populationen.

4