STX Matematik B 24. maj 2013 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013

1

STX Matematik B

24. maj 2013

Delprøven med hjælpemidler

1stx131-MAT/B-

Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2 Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 13

Side 2

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013

2

Løsning med WordMat

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Alle formlerne i nedenstående besvarelse

henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007. Referencer til en formel kræves ikke i en

besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 7 a)

Tabellens data indskrives først i Excel og antal år efter 2007 beregnes ved at trække 2007 fra årstallet.

Derefter trækkes tabellen over i Word.

År 2007 2008 2009 2010 2011 2012

År efter 2007 0 1 2 3 4 5

Antal trafikdræbte 195 190 161 110 107 82

Den angivne model 𝑦=𝑎𝑥 +𝑏 for udviklingen er en lineær model (jf. formel 35).

Forskriften for udviklingen kan bestemmes med en lineær regression over tabellens data.

Hertil benyttes WordMat (Statistik/sands. - Regression - Lineær).

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9446828

𝑦=−24,71429𝑥+ 202,619

Af resultatet aflæses: 𝑎=−24,7 og 𝑏=202,6 (resultaterne er afrundet til én decimal)

b)

For at estimere antal trafikdræbte i første halvår 2013 defineres modellen som funktion i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) =−24,7 ⋅𝑥+ 202,6

hvor 𝑥 er antal år efter 2007 og 𝑓(𝑥) er antal trafikdræbte i første halvår.

Side 3

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013

3

Herefter bestemmes tallet 𝑓(6) idet 2013 er 6 år efter 2007. WordMat (CAS - Beregn):

𝑓 ( 6) =54,4

Antallet af trafikdræbte i første halvår 2013 forventes således at være: 54 𝑑𝑟æ𝑏𝑡𝑒

Resultatet er afrundet til et helt antal personer.

c)

For at bestemme det første halvår, hvor antallet af trafikdræbte er under 50, løses ligningen 𝑓 ( 𝑥) =50 i 𝑥.

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):

𝑓 ( 𝑥) =50

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥≈6,178138

Resultatet svarer til lidt mere end 6 år efter 2007, - altså i løbet af 2013.

Hvilket betyder, at 2014 er det år, hvor antallet af trafikdræbte er under 50 i første halvår.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 4

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013

4

Opgave 8 a)

Den angivne funktion defineres først i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) =−0,009425⋅ 𝑥^{2} + 5,857 ⋅ 𝑥 − 899,9

280≤𝑥≤340

Grafen for 𝑓 tegnes med WordMat (Vis Graf - GNU Plot) med de angivne grænser for 𝑥: 𝑓(𝑥)

Marker ”f(x)” og vælg GNU Plot. Restriktionerne på x kan indtastes ved felterne ”Xmin” og ”Xmax”.

Side 5

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013

5

Det antal æg, som en skildpadde lægger, når rygskjoldet er 300 mm langt, kan bestemmes ved at beregne tallet 𝑓(300). Det kan gøres med WordMat (CAS - Beregn), hvor forskriften er defineret tidligere:

𝑓 ( 300) =8,95

Hvilket betyder, at en skildpadde lægger 8,95 æg, som rundes op til 9 æ𝑔, når rygskjoldet er 300 mm langt.

b)

Længden på rygskjoldet, når skildpadden lægger 6 æg, kan bestemmes ved at løses ligningen 𝑓 ( 𝑥) =6 i 𝑥.

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):

𝑓 ( 𝑥) =6

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥≈290,032 ∨ 𝑥≈331,4003

Resultatet betyder, at skildpadden lægger 6 æg, når dets rygskjold enten er ca. 290 𝑚𝑚 eller ca. 331 𝑚𝑚 langt.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013

6

Opgave 9 a)

Da der er en fast årlig procentvis tilvækst i lungekræfttilfælde, er der er tale om en eksponentielt voksende

sammenhæng. Modellen herfor er: 𝑦=𝑏 ⋅ 𝑎^{𝑥} =𝑏 ⋅ ( 1 + 𝑟)^{𝑥} hvor 𝑟 er vækstraten (jf. formel 54).

Lad 𝑥 betegne antal år efter 2010 og lad 𝑘(𝑥) være antallet af nye lungekræfttilfælde blandt kvinder (en funktion af 𝑥).

                                                      1,3
Vækstraten 𝑟 bestemmes vha. den procentvise tilvækst som: 𝑟= =0,013 (jf. formel 3)
                                                     100

Da der i begyndelsesåret (2010) var 2038 nye tilfælde, er begyndelsesværdien 𝑏=2038.

Ovenstående indsættes i den eksponentielle model, hvorved forskriften for udviklingen fremkommer:

𝑘 ( 𝑥) =2038⋅ ( 1 + 0,013)^{𝑥} =2038· 1,013^{𝑥}

b)

Modellen for det årlige antal lungekræfttilfælde for kvinder defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑘 ( 𝑥) =2038· 1,013^{𝑥}

Den tilsvarende udvikling (if. opgaveteksten) nye lungekræfttilfælde for mænd defineres ligeledes i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑚 ( 𝑥) =2244⋅ 0,99^{𝑥}

Tidspunktet, hvor nye lungekræfttilfælde er ens for både mænd og kvinder, bestemmes ved at løse

ligningen 𝑘 ( 𝑥) =𝑚(𝑥) i 𝑥. Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):

𝑘 ( 𝑥) =𝑚(𝑥)

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥≈4,192663

Resultatet betyder, at antallet af tilfælde vil være ens for kvinder og mænd ca. 4,19 år

(svarende til 4 år og 2 måneder) efter 2010. Konklusionen er derfor, at antallet af nye lungekræfttilfælde vil blive ens for mænd og kvinder (cirka) i løbet af år 2014 𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013

7

Opgave 10 a)

Længden af siden 𝐵𝐷 i trekant 𝐴𝐵𝐷 kan bestemmes med ”Trekant” værktøjet i WordMat:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 10° , AD = 4 , AB = 4

B A = 10°
B = 85°
D = 85°

BD = 0,6972459
AD = 4
AB = 4

Længden af siden BD findes vha. en cosinusrelation

𝐵𝐷= √ 𝐴𝐷^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 2 · 𝐴𝐷· 𝐴𝐵· cos ( 𝐴) = √ 4^{2} + 4^{2} − 2 · 4 · 4 · cos ( 10°) =0,6972459

Vinkel B findes vha. en cosinusrelation

𝐵=cos^{−1} () =cos^{−1} () =85°

𝐵𝐷^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 𝐴𝐷^{2} 0,6972459^{2} + 4^{2} − 4^{2}
2 · 𝐵𝐷· 𝐴𝐵 2 · 0,6972459 · 4
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐷=180° − 𝐴 − 𝐵=180° − 10° − 85°=85°

Da enheden for de angivne længder er meter, fås: | 𝐵𝐷 | =0,70 𝑚 (afrundet til to decimaler).

b)

Længden af højden i 𝐷 ( ℎ_{𝑑}) i trekant 𝐴𝐵𝐷 er lig med højdeforskellen mellem høj- og lavvande. Kaldes
fodpunktet for ℎ_{𝑑} på siden 𝐴𝐵 for 𝐹, fremkommer en retvinklet trekant 𝐴𝐷𝐹 hvor vi kender sidelængden
|AD| og vinkel A. Vi kan så beregne ℎ_{𝑑} =|𝐹𝐷| med WordMat’s trekantløser.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 10° , F = 90° , AD = 4

A AD D

AB BD

Side 8

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013

8

F A = 10°
F = 90°
D = 80°

FD = 0,6945927
AD = 4
AF = 3,939231

Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐷=180° − 𝐴 − 𝐹=180°− 10° − 90°=80°

Længden af siden FD findes vha. cosinus

𝐹𝐷=𝐴𝐷· cos ( 𝐷) =4 · cos ( 80) =0,6945927

Længden af siden AF findes vha. sinus

𝐴𝐹=𝐴𝐷· sin ( 𝐷) =4 · sin ( 80) =3,939231

Højdeforskellen mellem høj- og lavvande er således bestemt til: | 𝐵𝐷 | =0,69 𝑚

(resultatet er afrundet til to decimaler)

A AD D

AF FD

Side 9

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013

9

Opgave 11 a)

De forventede værdier under 𝐻_{0} bestemmes med WordMat’s chi-i-anden værktøj Statistik/sands. - Test -
𝑋^{2} test .

Signifikansniveau vælges til 5 % og dimensionen i krydstabellen sættes til 2x3 (der er 2 inddelingskriterier og 3 svarmuligheder).

Observationerne indtastes i det åbnede regneark og de forventede værdier under 𝐻_{0} findes til:

(tabellen er redigeret mht. kolonne- og rækkeoverskrifter)

Forventede I alt

A bedst B bedst Ved ikke

Jyder 61,32075 40,09434 23,58491 125

Sjæl. 68,67925 44,90566 26,41509 140

130 85 50 265 b)

I regnearket genereret af WordMat aflæses testsandsynligheden til 𝑝=10,35 %.

Da 𝑝>5 % accepteres nulhypotesen 𝐻_{0}.

Da den fundne P-værdi er større end signifikansniveauet accepteres nulhypotesen. Det kan derfor med et signifikansniveau på 5 % ikke afvises, at der ikke er forskel mellem unge jyders og unge sjællænderes smag for de to typer cornflakes.

Side 10

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013

10

Opgave 12 a)

Forskriften for 𝑓 defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{3} − 3 ⋅ 𝑥^{2} − 9 ⋅ 𝑥+ 30

f(x)=x^(3)-3*x^(2)-9*x+30

-

10

20

30

40 x y

For at kunne bestemme monotoniforhold for 𝑓, bestemmes forskriften for den afledede funktion 𝑓′ først.

Hertil benyttes WordMat (CAS - Infinites. - Differentier): 𝑓(𝑥)

Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.

3 · 𝑥^{2} − 6 · 𝑥− 9

Den afledede funktion defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion) for senere brug:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓′ ( 𝑥) =3 · 𝑥^{2} − 6 · 𝑥− 9

For at finde eventuelle ekstrema (vandrette tangenter) for 𝑓, løses ligningen: 𝑓′ ( 𝑥) =0

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes hertil:

𝑓′ ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−1 ∨ 𝑥=3

Det fremgår at 𝑓 har mulige ekstrema ved 𝑥=−1 og 𝑥=3, hvilket undersøges vha. fortegnsundersøgelse

for 𝑓′(𝑥) før, mellem og efter de mulige ekstrema-punkter. WordMat (CAS - Beregn) benyttes:

𝑓^{′} (−2)=15
𝑓^{′} (0)=−9

Side 11

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013

11

𝑓′ ( 4) =15

• Konklusion:

𝑓 er voksende i intervallerne ] − ∞,−1] og [3,∞[ da 𝑓′ ( 𝑥) >0 i disse intervaller
𝑓 er aftagende i intervallet: [−1,3] da 𝑓′ ( 𝑥) <0 i intervallet
𝑓 har lokalt maksimum for 𝑥=−1
𝑓 har lokalt minimum for 𝑥=3

• Monotonilinje:

𝑥 −1 3

𝑑𝑓(𝑥) + 0 − 0 +

𝑓(𝑥) ↗ max. ↘ min. ↗ b)

Ligningen for tangenten 𝑡_{1} til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃(0,𝑓 ( 0)) kan bestemmes vha. formlen:

(jf. formel 70)

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

Da både 𝑓(𝑥) og𝑓′(𝑥) er defineret i WordMat, indsættes 𝑥_{0} =0 i ovenstående og ligningen

bestemmes med WordMat (CAS - Beregn):

𝑦=𝑓′ ( 0) · ( 𝑥− 0) + 𝑓 ( 0) ≈−9 · 𝑥 + 30

Ligningen for tangenten 𝑡_{1} til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃(0,𝑓 ( 0)) er således: 𝑦=−9𝑥 + 30

c)

Hældningskoefficienten for tangenten 𝑡 er den samme som for tangenten 𝑡 , altså: 𝑎 =𝑎 =−9
                                2                             1      𝑡1    𝑡2

Da differentialkvotienten 𝑓′(𝑥 ) er defineret som hældningskoefficienten for tangenten til grafen for 𝑓 i
                        0

røringspunktet (𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) ), kan spørgsmålet besvares ved at løse ligningen: 𝑓′ ( 𝑥 ) =−9 for 𝑥.
              0    0

𝑓^{′} ( 𝑥) =−9

⇕ Ligningen løses for x vha.

CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0 ∨ 𝑥=2

Side 12

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013

12

Løsningen 𝑥=0 er førstekoordinaten til røringspunktet for tangenten 𝑡 .
                                                          1

Dermed kan det konkluderes, at 𝑥=2 er førstekoordinat til røringspunktet for tangenten 𝑡
                                                                          2

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 13

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2013

13

Løsning med Maple

Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Side 14

(1.1.1)(1.1.1)

Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.

Opgave 7 a)

Vi definerer dataserien:

Vi foretager en lineær regression:

Side 15

(1.2.1)(1.2.1)

54.34 (1.2.2)(1.2.2)

15 (1.3.1)(1.3.1)

(1.1.2)(1.1.2)

Af reslutatet aflæses a = -24,71 og b =202,62. Afrundet til 2 decimaler.

b)

Vi definerer funktionen:

Året 2013 er efter :

Antallet af trafikdræbte i første halvår forventes således at være .

Resultatet er afrundet til et helt antal personer.

c)

For at bestemme det første halvår, hvor antallet af traffikdræbte er under , løses følgende ligning:

Resultatet svarer til lidt mere end efter , - altså cirka i løbet af .

Hvilket betyder, at er det år, hvor antallet af traffikdræbte er under i første halvår.

Side 16

(1.1.2)(1.1.2)

8.950000 (2.1.2)(2.1.2)

(2.1.1)(2.1.1)

Opgave 8 a)

Funktionen defineres:

Grafen tegnes med de angiven grænser for :

Det antal æg, som en skildpadde lægger, når rygskjoldet er langt, kan bestemmes ved at beregne talle :

Hvilket betyder, at en skildpadde lægger 8,95 æg, som rundes op til , når rygskjoldet er langt. Afrundet til 2 decimaler.

Side 17

(2.2.1)(2.2.1)

(1.1.2)(1.1.2) b)

Længden på rygskjoldet, når skildpadden lægger , kan bestemmes ved at løse følgende ligning:

Resultatet betyder, at skildpadden lægger 6 æg, når dets rygskjold er ca. eller ca.

langt. Afrundet til helt tal.

Side 18

(3.2.1)(3.2.1)

(3.2.2)(3.2.2)

(1.1.2)(1.1.2)

(3.1.1)(3.1.1)

79 (3.2.3)(3.2.3)

Opgave 9 a)

Da der i begyndelsesåret var nye tilfælde, er begyndelsesværdien :

Ovenstående indsættes i den eksponentielle model, hvorved forskriften for udviklingen fremkommer: b)

Modellen for det årlige antal lungekræftstilfælde for kvinder defineres:

Den tilsvarende udvikling for mænd defineres:

Tidspunktet, hvor nye lungekræftstilfælde er ens for både mæng og kvinder, bestemmes ved at løse:

Resultatet betyder, at antallet af tilfælde vil være ens for kvinder og mænd ca. 4,19 år efter år

.

Konklusionen er derfor, at antallet af nye lungfekræftstilfælde vil blive ens for mænd og kvinder i løbet af år .

Side 19

(4.1.1)(4.1.1)

(1.1.2)(1.1.2)

(4.2.1)(4.2.1)

Opgave 10 a)

Længden af siden i trkant bestemmes ved trekantløser:

Her svarer siden til siden .

Konklusionen er at siden er ca. 0,70 m. Afrundet til 2 decimaler.

Skitse af situation. Skitsen er ikke et krav til eksamen: b)

Højdeforskellen mellem høj- og lavvande svarer til siden

Siden bestemmes ved trianglesolver:

Her svarer siden til siden

Højdeforskellen mellem høj- og lavvande er således bestemt til, der er lig siden er aflæst til 0,

69 m. Afrundet til 2 decimaler.

Skitse af situation. Skitsen er ikke et krav til eksamen:

Side 20

(1.1.2)(1.1.2)

Side 21

(1.1.2)(1.1.2)

(5.1.2)(5.1.2)

(5.1.1)(5.1.1)

Opgave 11 a)

Vi definerer vores observationer:

De forventede værdier, under den forudsætning af nulhypotesen er sand, bestemmes ved: b)

Nulhypotesen tæstes med en -test, på et 5 % signifikansniveau:

Side 22

(1.1.2)(1.1.2)

P-værdien aflæses til 0,10349 der svarer til . Afrundet til 2 decimaler.

Da den fundne P-værdi er større end signifikansniveauet accepteres nulhypotesen. Det kan derfor med et signifikansniveau på 5 % ikke afvises, at der ikke er forskel mellem unge jyders og unge sjællænderes smag for de to typer cornflakes.

Side 23

(6.1.2)(6.1.2)

(6.1.1)(6.1.1)

(1.1.2)(1.1.2)

Opgave 12 a)

Forksriften for defineres:

For at bestemme monotoniforholdende bestemmes først eventuelle ekstrema:

Der foretages en funktionsundersøgelse i intervallet, hvor ekstrema befinder sig:

Konklusion: er voksende i intervallet er aftagende i intervallet er voksende i intervallet har lokalt maksimum for har lokalt minimum for b)

Ligningen for tangenten til grafen for i punktet kan bestemmes ved:

Side 24

(6.2.2)(6.2.2)

(1.1.2)(1.1.2)

0 (6.2.1)(6.2.1)

(6.3.1)(6.3.1)

Vi definerer først punktets førstekoordinat:

Ligningen for tangenten til grafen for i punktet P er da: c)

Tangetens hældningskoefficient er defineret som differentialkvotienten .

Spørgsmålet kan derfor besvaret ved at løse ligningen:

Der er to løsninger til ligningen, hvoraf den ene er førstekoordinaten til tangtenten , det kan derved konkluderes at er førstekoordinat for tangenten .