STX Matematik B 24. maj 2016 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

1

STX Matematik B

Delprøven med hjælpemidler

24. maj 2016

1stx161-MAT-B-

Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2

Løsning med Maple^{TM}...................................................................................................................................... 13

Side 2

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

2

Løsning med WordMat

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 7 a)

Der er tale om en lineær model, så vi opskriver data i en tabel (antal år efter 2001 bestemmes ved hovedregning) og udfører lineær regression vha. WordMat:

Antal år efter 2001 0 2 4 6 8 10 12

Antal patienter 299 316 345 367 381 408 416

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9875242

𝑦=10,19643𝑥 + 300,5357

Vi opskriver forskriften for funktionen:

𝑓 ( 𝑡) =10,19643 · 𝑡 + 300,5357

b)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑡) ≔10,19643· 𝑡+ 300,5357

I år 2016 er 𝑡=15, så vi bestemmer:

𝑓 ( 15) ≈453,4822

I år 2016 vil 453 tusinde patienter få ordineret det stærkt smertestillende præparat ifølge modellen (dvs. hvis udviklingen fortsætter).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 3

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

3

Opgave 8 a)

Der er tale om en potensfunktion, så når den uafhængige variabel vokser med en fast procentdel 𝑎, vil den afhængige variabel vokse med en fast procentdel 𝑏.

Funktionen definereres:

𝑂 ( 𝑚) ≔0,31 · 𝑚^{0,425}

Hvis personens vægt 𝑚 vokser med 15%, bliver personens vægt 1,15 · 𝑚. Vi kan så bestemme den relative

tilvækst i overfladeareal som:

𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑣æ𝑘𝑠𝑡 𝑖 𝑜𝑣𝑒𝑟𝑓𝑙𝑎𝑑𝑒𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙= − 1

𝑂 ( 1,15 · 𝑚)

𝑂 ( 𝑚)

≈0,06119839

=6,12%

Når personens vægt vokser med 15%, vokser personens overfladeareal med 6,12%

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 4

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

4

Opgave 9 a)

Data indskrives i WordMats statistikark til grupperede observationer, hvor vi tegner en sumkurve og bestemmer kvartilsættet for længdefordelingen:

Grupperede observationer Deskriptorer

Interval 94 Kvartilsæt

Fra Til Mindste 18

Hyp. Frekvens Kumuleret

18 20 5 5% 5% Nedre 23,13

20 22 10 11% 16% Median 26,1

22 24 15 16% 32% Øvre 28,5

24 26 16 17% 49% Største 32

26 28 20 21% 70%

Observation Fraktil

28 30 18 19% 89%

30 32 10 11% 100%

Middeltal

25,77

Spredning

3,378

Kvartilsættet aflæses af boksen med deskriptorer: (23,13;26,1;28,5).

b)

Vi sammenligner de tre kvartiler hver for sig:

Nedre kvartil:

Spand 1: Den korteste fjerdel er kortere end 23,13 cm

Spand 2: Den korteste fjerdedel er kortere end 19 cm

Median:

0%

25%

50%

75%

100%

Længde (cm)

Sumkurve

Side 5

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

5

Spand 1: Den korteste halvdel er kortere end 26,1 cm

Spand 2: Den korteste halvdel er kortere end 23 cm

Øvre kvartil:

Spand 1: Den længste fjerdedel er længere end 28, 5 cm

Spand 2: Den længste fjerdedel er længere end 30 cm

Kvartilsættene indikerer altså, at sildenes længde er mere spredt i spand 2. De korteste fisk er kortere, mens de længste fisk er længere. Fiskene omkring de midterste målinger er desuden kortere i spand 2.

Side 6

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

6

Opgave 10 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔−0,12𝑥^{2} + 1,1𝑥 +4

5 mia. SMS’er svarer til 𝑓 ( 𝑥) =5, så vi løser:

𝑓 ( 𝑥) =5

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=1,023332 ∨ 𝑥=8,143335

Vi udregner funktionsværdierne for de præcise årstal (𝑥 skal antage heltalsværdier, da det fx ikke giver mening at snakke om antallet af sendte SMS’er i år 2013,14):

𝑓 ( 1) =4,98

𝑓 ( 8) ≈5,12

Løsningerne omregnes til årstal ved hovedregning, så vi får, at der blev sendt ca. 5 mia. SMS’er i både år 2006 og år 2013.

b)

Grafen for funktionen er en parabel med benene nedad, så der er kun én vandret tangent, og denne findes i funktionens globale maksimum. Funktionens globale maksimum kan så findes ved at løse:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=4,583333

Der er symmetri omkring den lodrette akse, som gennemskærer parablens toppunkt, så den heltalsværdi af

𝑥, som giver den største funktionsværdi må være den, som er tættest på 𝑥=4,58. Den største værdi
funktionsværdi fås altså for 𝑥=5. (𝐼) Ved hovedregning kan vi nu konkludere, at:

Det årlige antal sendte SMS’er i Danmark var størst i år 2010.

(𝐼):

Hvis du ikke kom i tanke om parabelsymmetrien, kunne du også bare afprøve funktionsværdierne for de to nærmeste hele tal:

Side 7

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

7

𝑓 ( 4) =6,48

𝑓 ( 5) =6,5

Side 8

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

8

Opgave 11 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔2𝑥^{3} − 6𝑥^{2} − 12𝑥 + 1

Vi definerer røringspunktets førstekoordinat:

𝑥_{0} ≔5

En ligning for tangenten til grafen for en funktion 𝑓 i et punkt (𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) ) kan bestemmes ved:
                                                    0    0

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
=78 · 𝑥 − 349

Tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃(5,𝑓 ( 5)) kan altså beskrives ved ligningen 𝑦=78𝑥 − 349.

b)

For at undersøge monotoniforholdene for 𝑓 bestemmes først nulpunkter for 𝑓ʼ. Dette gøres ved at løse ligningen:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−0,7320508 ∨ 𝑥=2,732051

Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af [nulpunktet/alle nulpunkterne]:

𝑓^{′} ( −1) =6

𝑓^{′} ( 1) =−18

𝑓^{′} ( 3) =6

Vi sammenfatter dette i en monotonilinje: 𝑥 -0,732 2,732

𝑓^{′} ( 𝑥) + 0 - 0 +

𝑓 ( 𝑥) ↗ ↘ ↗

Side 9

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

9

Vi kan dermed konkludere:

f er voksende i intervallerne ] − ∞;−0,732] og [2,732;∞[

f er aftagende i intervallet [−0,732;2,732]

c)

Funktionen defineres:

𝑔 ( 𝑥) ≔−3𝑥 + 33

2

I skæringspunktet vil funktionsværdierne være lig med hinanden, så vi løser:

𝑓 ( 𝑥) =𝑔(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=4

Andenkoordinaten bestemmes som:

𝑓 ( 4) =−15

Skæringspunktet har således koordinatsættet 𝑄(4,−15)

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

10

Opgave 12 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔0,0057𝑥^{4} + 0,078𝑥^{2} + 0,25

Vi ser af tegningen, at højden kan bestemmes som funktionsværdien i 𝑥=4. Vi bestemmer altså:

𝑓 ( 4) ≈2,9572

Højden ℎ af skateboardrampen er altså 2,96 meter.

b)

Det farvede områdes areal kan bestemmes som arealet mellem grafen for 𝑓 og førsteaksen i intervallet

[−4,4]. Da 𝑓>0 i hele intervallet, kan dette areal bestemmes som det bestemte integral af funktionen med

intervalendepunkterne som grænser:

𝐴=∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 =7,66272

4

−4

                                                        2
Arealet af det lodrette tværsnit af skateboardrampen er altså 7,66 m .

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 11

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

11

Opgave 13 a)

Vinklen mellem de to stålwirer svarer til vinkel 𝐴 i trekant 𝐴𝐵𝐶:

WordMats trekantsløser anvendes med input: BC = 61,1; AB = 364,7; AC = 411,3

C A = 5,848653°
C = 37,46218°
B = 136,6892°

BC = 61,1
AB = 364,7
AC = 411,3

Vinkel A og C findes vha. cosinusrelationer

𝐶=cos^{−1} ()

𝐴𝐶^{2} + 𝐵𝐶^{2} − 𝐴𝐵^{2}
2 · 𝐵𝐶· 𝐴𝐶

=cos^{−1} ()

411,3^{2} + 61,1^{2} − 364,7^{2}
2 · 61,1 · 411,3
=37,46218°

𝐴=cos^{−1} ()

𝐴𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 𝐵𝐶^{2}
2 · 𝐴𝐵· 𝐴𝐶

=cos^{−1} ()

411,3^{2} + 364,7^{2} − 61,1^{2}
2 · 364,7 · 411,3
=5,848653°

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐵=180° − 𝐴 − 𝐶
=180°− 5,848653° − 37,46218°
=136,6892°

Vinklen mellem de to stålwirer er ca. 5,85°.

b)

Kendte sidelængder defineres:

𝐴𝐵≔364,7

𝐴𝐶≔411,3

A AB B

AC BC

Side 12

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

12

𝐵𝐶 ≔61,1

Vi ser på tegningen, at 𝐶𝐷 kan defineres som:

𝐶𝐷≔𝐵𝐷+ 𝐵𝐶

Vi kan nu opstille to ligninger med to ubekendte (her anvendes Pythagoras læresætning):

𝐴𝐷^{2} + 𝐵𝐷^{2} =𝐴𝐵^{2}

𝐴𝐷^{2} + 𝐶𝐷^{2} =𝐴𝐶^{2}

⇕ Ligningssystemet løses for AD,BD vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

( 𝐴𝐷=−250,1681 ∧ 𝐵𝐷=265,3714) ∨ ( 𝐴𝐷=250,1681 ∧ 𝐵𝐷 =265,3714)

Første løsning skrottes, da sidelængder ikke kan være negative.

Vi konkluderer, at den lodrette afstand fra forankringspunktet 𝐵 til punktet 𝐷 ved foden af sendemasten er

| 𝐵𝐷 | =265,4 𝑚.

Side 13

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 24. maj 2016

13

Løsning med Maple^{TM}

Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Side 14

(1.1.1)(1.1.1)

(1.1.2)(1.1.2)

Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.

Opgave 7 a)

Vi definerer dataserien:

Vi foretager en lineær regression:

Vi opskriver forskriften for funktionen:

Side 15

453.480 (1.2.1)(1.2.1) b)

I år 2016 er t=15, så vi bestemmer:

I år 2016 vil 453 tusinde patienter få ordineret det stærkt smertestillende præparat ifølge modellen (dvs. hvis udviklingen fortsætter).

Side 16

(2.1.1)(2.1.1)

00 (2.1.3)(2.1.3)

(2.1.2)(2.1.2)

Opgave 8 a)

Der er tale om en potensfunktion, så når den uafhængige variabel vokser med en fast procentdel , vil den afhængige variabel vokse med en fast procentdel .

Funktionen definereres:

Hvis personens vægt . Vi kan så bestemme den relative tilvækst i overfladeareal som:

Når personens vægt vokser med 15%, vokser personens overfladeareal med 6,12%

Side 17

Opgave 9 a)

Data defineres, hvorefter vi tegner en sumkurve og bestemmer kvartilsættet for længdefordelingen: b)

Side 18

Vi sammenligner de tre kvartiler hver for sig:

Nedre kvartil:

Spand 1: Den korteste fjerdel er kortere end 23,1 cm

Spand 2: Den korteste fjerdedel er kortere end 19 cm

Median:

Spand 1: Den korteste halvdel er kortere end 26,1 cm

Spand 2: Den korteste halvdel er kortere end 23 cm

Øvre kvartil:

Spand 1: Den længste fjerdedel er længere end 28, 5 cm

Spand 2: Den længste fjerdedel er længere end 30 cm

Kvartilsættene indikerer altså, at sildenes længde er mere spredt i spand 2. De korteste fisk er kortere, mens de længste fisk er længere. Fiskene omkring de midterste målinger er desuden kortere i spand 2.

Side 19

33 (4.2.1)(4.2.1)

4.98 (4.1.3)(4.1.3)

(4.1.1)(4.1.1)

5.12 (4.1.4)(4.1.4)

(4.1.2)(4.1.2)

Opgave 10 a)

Funktionen defineres:

, så vi løser:

Vi udregner funktionsværdierne for de præcise årstal ( skal antage heltalsværdier, da det fx Løsningerne omregnes til årstal ved hovedregning, så vi får, at der blev sendt ca. 5 mia.

b)

Grafen for funktionen er en parabel med benene nedad, så der er kun én vandret tangent, og denne findes i funktionens globale maksimum. Funktionens globale maksimum kan så findes ved at løse:

Der er symmetri omkring den lodrette akse, som gennemskærer parablens toppunkt, så den

heltalsværdi af , som giver den største funktionsværdi må være den, som er tættest på =4,58.
Den største værdi funktionsværdi fås altså for =5. Ved hovedregning kan vi nu konkludere,

at:

Side 20

(5.1.3)(5.1.3)

(5.2.2)(5.2.2)

(5.2.1)(5.2.1)

(5.1.1)(5.1.1)

5 (5.1.2)(5.1.2)

Opgave 11 a)

Funktionen defineres:

Vi definerer røringspunktets førstekoordinat:

En ligning for tangenten til grafen for en funktion i et punkt kan bestemmes ved:

Tangenten til grafen for i punktet kan altså beskrives ved ligningen

.

b)

For at undersøge monotoniforholdene for bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved at løse ligningen:

Vi foretager en funktionsanalyse:

Side 21

(5.3.3)(5.3.3)

4. (5.3.2)(5.3.2)

(5.3.1)(5.3.1)

Vi kan dermed konkludere: c)

Funktionen defineres:

I skæringspunktet vil funktionsværdierne være lig med hinanden, så vi løser:

Andenkoordinaten bestemmes som:

Skæringspunktet har således koordinatsættet Q(4,-15)

Side 22

(6.2.1)(6.2.1)

2.9572 (6.1.2)(6.1.2)

(6.1.1)(6.1.1)

Opgave 12 a) defineres:

Vi ser af tegningen, at højden kan bestemmes som funktionsværdien i x=4. Vi bestemmer

altså:

Højden af skateboardrampen er altså 2,96 meter.

b)

Det farvede områdes areal kan bestemmes som arealet mellem grafen for og førsteaksen i intervallet [-4,4]. Da i hele intervallet, kan dette areal bestemmes som det bestemte integral af funktionen med intervalendepunkterne som grænser:

Arealet af det lodrette tværsnit af skateboardrampen er altså 7,66 .

Side 23

411.3 (7.2.2)(7.2.2)

(7.2.5)(7.2.5)

(7.1.1)(7.1.1)

(7.2.4)(7.2.4)

61.1 (7.2.3)(7.2.3)

364.7 (7.2.1)(7.2.1)

Opgave 13 a)

Vinklen mellem de to stålwirer svarer til vinkel A i trekant ABC:

Vinklen mellem de to stålwirer er ca. 5,85°.

b)

Kendte sidelængder defineres:

Vi ser på tegningen, at CD kan defineres som:

Vi kan nu opstille to ligninger med to ubekendte (her anvendes Pythagoras læresætning):

Første løsning skrottes, da sidelængder ikke kan være negative.

Vi konkluderer, at den lodrette afstand fra forankringspunktet B til punktet D ved foden af

sendemasten er |BD|=265,4 m.