STX Matematik B 27. maj 2014 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-

1

STX Matematik B

27. maj 2014

Delprøven med hjælpemidler

2stx141-MAT/B-

Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2

Løsning med Maple^{TM}...................................................................................................................................... 12

Side 2

Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-

2

Løsning med WordMat

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 7 a)

Den angivne model for sammenhængen er lineær.

Tabellen oprettes i MS Excel, hvor antal år efter 2006 bestemmes som differensen mellem det aktuelle årstal og 2006. Tabellen kopieres herefter over i MS Word og der foretages en lineær regression over tabellens data, hvorved værdierne for 𝑎 og 𝑏 bestemmes.

Hertil benyttes WordMat (Statistik/sands. - regression - Lineær).

År 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

År efter 2006 0 1 2 3 4 5 6

Procent del 36,5 37,8 39,0 40,7 41,1 42,2 43,2

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9852772

𝑦 = 1,107143𝑥 + 36,75

Som det fremgår af regressionens resultat, er værdierne for 𝑎 og 𝑏 bestemt til:

Resultaterne er afrundet til to decimaler.

𝑎 = 1,11

𝑏 = 36,75

b)

Forskriften for sammenhængen defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=

𝑓 ( 𝑥) ≔ 1,107143⋅ 𝑥+36,75

Procentdelen i 2015 (9 år efter 2006) kan bestemmes som tallet 𝑓(9):

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑓 ( 9) ≈ 46,71429

Procentdelen i 2015 af 35-årige, der har gennemført en videregående uddannelse, er således 46,7 % Resultatet er afrundet til én decimal.

Side 3

Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-

3

Det år, hvor procentdelen når op på 50 %, kan bestemmes ved at løse ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 50.

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.

𝑓 ( 𝑥) = 50

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈ 11,96774

Det år, hvor procentdelen af 35-årige, der har gennemført en videregående uddannelse, når op på 50 %, er således i slutning af det 11’te år efter 2006, - altså i slutningen af 2017

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 4

Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-

4

Opgave 8 a)

Den lodrette afstand fra sædet til gulvet er lig med højden i den grå trekant på skitsen.

Da trekanten er ligesidet, deler højden grundlinjen i to lige store stykker, hver på 15 cm.

Højden (afstanden) kan bestemmes vha. Pythagoras’ læresætning på den ene af de retvinklede grå trekanter, hvor hypotenusen er 50 cm og den kendte katete (det halve sæde) er 15 cm.

Med Pythagoras’ sætning 𝑎^{2} + 𝑏^{2} = 𝑐^{2} kan en katete (fx 𝑏) bestemmes som: jf. formel 21

𝑏 = 𝑐 − 𝑎^{2}

√^{2}

Kaldes 𝑏 for højden ℎ og indsættes 𝑐 = 50 samt 𝑎 = 15, kan ℎ bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn):

ℎ = 𝑏 = 50^{2} − 15^{2} ≈ 47,69696

√

Den lodrette afstand fra sædet til gulvet er således bestemt til: ℎ = 47,7 𝑐𝑚

b)

Benyttes hypotenusen på 50 cm i den retvinklede grå trekant, der indeholder vinkel 𝑣 samt den hosliggende katete på 15 cm, der udgør det halve sæde, kan 𝑣 bestemmes som: jf. formel 22 WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑣 = cos^{−1} () = cos^{−1} () ≈ 72,5424°

15 3

50 10

Vinkel 𝑣 mellem sædet og den skrå flade mod gulvet er således bestemt til: 𝑣 = 72,5°

Resultatet er afrundet til én decimal.

c)

Vinklen mellem sædet og ryglænet kan bestemmes vha. WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant) og de kendte sider i den trekant, hvor den længste side udgøres af den stiplede linje på skitsen.

WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 61, b = 30, c = 50

Side 5

Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-

5

B A = 96,14241°
B = 29,27355°
C = 54,58404°

a = 61
b = 30
c = 50

Den søgte vinkel er, på tegningen herover, repræsenteret af vinkel 𝐴.

Af resultatet fremgår det, at Vinklen mellem sædet og ryglænet er 96,1°

Resultatet er afrundet til én decimal.

A b C c a

Side 6

Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-

6

Opgave 9 a)

Modellen defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=

𝑓 ( 𝑥) ≔ 2586 ⋅ 1,017^{𝑥}

Verdens befolkningstal i 2015 (65 år efter 1950) kan bestemmes som tallet 𝑓(65):

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑓 ( 65) ≈ 7735,537

Verdens befolkningstal i 2015 forudsiges således til at blive 7735,5 𝑚𝑖𝑜 mennesker if. modellen.

Resultatet er afrundet til én decimal.

b)

Der er tale om en eksponentielt voksende model.

Tallet 2586 (målt i mio.) var befolkningstallet i 1950.

Tallet 1,017 er fremskrivningstallet 𝑎 for den eksponentielt voksende udvikling i befolkningstallet.

Vækstraten 𝑟 = 𝑎− 1 = 1,017− 1 = 0,017, svarende til 17 %, er den procentvise årlige forøgelse

af befolkningstallet efter 1950. jf. formel 54

Side 7

Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-

7

Opgave 10 a)

Forskriften for 𝑁 defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=

𝑁 ( 𝑡) ≔

5000

1 + 0,85^{𝑡}

Grafen for 𝑁(𝑡) kan tegnes med WordMat (Graftegning - Vis Graf - Gnu plot), hvor intervallet for 𝑡 også kan angives.

𝑁(𝑡)

Tidspunktet 𝑡, hvor der er 4000 individer i populationen, kan bestemmes ved at løse

ligningen 𝑁 ( 𝑡) = 4000. Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).

𝑁 ( 𝑡) = 4000

Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡 ≈ 8,530049

Tidspunktet 𝑡, hvor der er 4000 individer i populationen er således bestemt til 8,5 𝑢𝑔𝑒𝑟 Resultatet er angivet med én decimal.

Side 8

Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-

8 b)

Tallet 𝑁′(10) kan bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn).

𝑁^{′} ( 10) ≈ 111,6776

Afrundet til et helt antal dyr, er tallet 𝑁′(10) således bestemt til: 𝑁^{′} ( 10) = 112 individer

Tallet 𝑁^{′} ( 10) = 112 betyder, at populationen til tiden 𝑡 = 10 forøges med 112 individer om ugen.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-

9

Opgave 11 a)

Forskriften for 𝑓 defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=

𝑓 ( 𝑥) ≔ 0,25𝑥^{3} − 0,75𝑥^{2} + 2

Tværsnitsarealet 𝑀 af trælisten kan bestemmes som integralet: jf. formel 96

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝐴_{𝑀} = ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 3

2

0

Tværsnitsarealet af trælisten er således bestemt til: 𝐴_{𝑀} = 3 𝑐𝑚^{2}

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-

10

Opgave 12 a)

Nulhypotesen, der bruges til at teste, om oplevelsen af virkningen af den nye vaccine er uafhængig af dosis:

𝑯_{𝟎}: Der er uafhængighed mellem resultatet af den oplevede virkning af vaccinen

og dosis af vaccinen.

                                 2
Vha. WordMat (Statistik/sands. - Test - 𝜒 test) indtastes de observerede værdier i MS Excel, der på

baggrund heraf opstiller en tabel med de forventede værdier, som kopieres over i MS Word.

Tabel over de forventede værdier.

bedre ingen værre

Forventede I alt

grp.1 | 65 | 75 | 60 | 200
grp.2 | 65 | 75 | 60 | 200
grp.3 | 65 | 75 | 60 | 200

195 224 181 600 b)

Det førnævnte Excel-ark (via WordMat) fremkom med følgende resultat af 𝜒^{2} testen.

Signifikansniveauet var sat til 1 % i overensstemmelse med opgaveteksten.

χ²-test bedre ingen værre

Observationer I alt

Gruppe 1 | 55 | 70 | 75 | 200
Gruppe 2 | 62 | 76 | 62 | 200
Gruppe 3 | 78 | 78 | 44 | 200

I alt 195 224 181 600

P-værdi: 1,24% Der er ikke en sammenhæng

Signifikans niveau: 1%

Frihedsgrader: 4

Q-værdi: 12,77436

1,5384615 0,2916667 3,5653775 0,1384615

Kritisk Q-værdi: 13,2767

Med en 𝑃-værdi på 1,24 % (>1 %) accepteres nulhypotesen 𝐻_{0}.

Der kan således ikke afvises, med et signifikansniveau på 1 %, at der er uafhængighed mellem resultatet af den oplevede virkning af vaccinen og den den dosis vaccine, de fik.

Side 11

Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-

11

Opgave 13 a)

Forskriften for 𝑓 defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{3} − 2𝑥^{2} − 11𝑥 + 12

Ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 0 løses vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).

𝑓 ( 𝑥) = 0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 4

Det er således bestemt, at ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 0 har løsningerne:

𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 4

b)

Hældningskoefficienten for tangenten til grafen for funktionen 𝑓 i punktet 𝑃(𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) )
                                                                0   0

er lig med differentialkvotienten 𝑓′(𝑥 ). jf. formel 70
                              0

Derfor kan førstekoordinaten til hvert af røringspunkterne 𝐴 og 𝐵, for de to tangenterne (til grafen for 𝑓), der har hældningskoefficienten 9, bestemmes ved at løse ligningen:

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Eksakt) benyttes.

𝑓^{′} ( 𝑥) = 9

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −2 ∨ 𝑥 =

10

3

Det kan således konkluderes, at førstekoordinaten til hvert af røringspunkterne 𝐴 og 𝐵, for de to tangenterne, der har hældningskoefficienten 9, er således bestemt til:

𝑥_{𝐴} = −2

𝑥_{𝐵} =

10

3

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 12

Skriftlig matematik STX B 2stx141-MAT/B-

12

Løsning med Maple^{TM}

Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Side 13

(1.1.1)(1.1.1)

Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.

Opgave 7 a)

Vi definerer dataserien:

Den angivne model for udviklingen er en lineær model, og vi foretager derfor en lineær regression af modellen.

Værdierner for a og b er følgende:

Side 14

0000000 (1.1.4)(1.1.4)

(1.2.1)(1.2.1)

5714286 (1.1.3)(1.1.3)

94 (1.2.3)(1.2.3)

(1.1.2)(1.1.2)

71 (1.2.2)(1.2.2) b)

Forskriften for sammenhængen defineres:

Procentdelen i 2015 (9 år efter 2006) kan bestemmes som tallet :

Procentdelen i 2015 af 35-årige, der har gennemført en videregående uddannelse, er således 46,

7%.

Det år, hvor procentdelen når op på 50 %, kan bestemmes ved at løse ligningen

Det år, hvor procentdelen af 35-årige, der har gennemført en videregående uddannelse, når op på

Side 15

(2.1.3)(2.1.3)

(2.3.1)(2.3.1)

88 (2.2.1)(2.2.1)

15 (2.1.1)(2.1.1)

50 (2.1.2)(2.1.2)

Opgave 8 a)

Den lodrette afstand fra sædet til gulvet er lig med højden i den grå trekant på skitsen. Da trekanten er ligesidet, deler højden grundlinjen i to lige store stykker, hver på 15 cm. Højden grå trekanter, hvor hypotenusen er 50 cm og den kendte katete (det halve sæde) er 15 cm. Vi definerer kateten og hypotenusen :

Kateten bestemmes som:

Den lodrette afstand fra sædet til gulvet, , er således bestemt til: b)

Benyttes hypotenusen på 50 cm i den retvinklede grå trekant, der indeholder vinkel samt den hosliggende katete på 15 cm, der udgør det halve sæde, kan bestemmes som:

Vinkel v mellem sædet og den skrå flade mod gulvet er således bestemt til: =72,5°

c) trekantløser:

Af resultatet fremgår det, at Vinklen mellem sædet og ryglænet er 96,1°.

Side 16

71 (3.1.2)(3.1.2)

(3.2.1)(3.2.1)

(3.1.1)(3.1.1)

Opgave 9 a)

Modellen defineres:

Verdens befolkningstal i 2015 (65 år efter 1950) kan bestemmes som tallet (65):

Verdens befolkningstal i 2015 forudsiges således til at blive 7735,5 mio. mennesker if. modellen.

b)

Der er tale om en eksponentielt voksende model. Tallet 2586 (målt i mio.) var befolkningstallet i

1950. Tallet 1,017 er fremskrivningstallet a for den eksponentielt voksende udvikling i befolkningstallet.

Vækstraten beregnes:

Vækstraten svarende til 17 %, er den procentvise årlige forøgelse af befolkningstallet efter 1950.

Side 17

(4.1.1)(4.1.1)

64 (4.1.2)(4.1.2)

Opgave 10 a)

Forskriften for defineres:

Grafen for kan tegnes:

Tidspunktet t, hvor der er 4000 individer i populationen, kan bestemmes ved at løse ligningen

=4000:

Side 18

57 (4.2.1)(4.2.1)

Tidspunktet , hvor der er 4000 individer i populationen er således bestemt til 8,5 uger.

b)

Tallet kan bestemmes:

Afrundet til et helt antal dyr, er tallet således bestemt til: individer. Tallet

2 betyder, at populationen til tiden =10 forøges med 112 individer om ugen.

Side 19

(5.1.2)(5.1.2)

(5.1.1)(5.1.1)

Opgave 11 a)

Forskriften for defineres:

Tværsnitsarealet af trælisten kan bestemmes som integralet:

Tværsnitsarealet af trælisten er således bestemt til:

Side 20

200.000 | (6.1.2)(6.1.2)

00 (6.1.7)(6.1.7) (6.1.8)(6.1.8)(6.1.6)(6.1.6)

(6.1.9)(6.1.9)

200.000 | (6.1.4)(6.1.4)

(6.1.1)(6.1.1)

195 (6.1.5)(6.1.5)

200.000 | (6.1.3)(6.1.3)

Opgave 12 a)

Nulhypotesen, der bruges til at teste, om oplevelsen af virkningen af den nye vaccine er uafhængig af dosis:

: Der er uafhængighed mellem resultatet af den oplevede virkning af vaccinen og dosis af vaccinen.

Vi definerer de observerede værdier:

De forventede værdier bestemmes:

Vi indsætter de forventede værdier i en tabel:

Forbedring Ingen virkning Forværring I alt

Gruppe 1

Gruppe 2

Gruppe 3

I alt

Side 21

(6.1.2)(6.1.2)

(6.1.7)(6.1.7) (6.1.8)(6.1.8)(6.1.6)(6.1.6)

600.000 (6.1.9)(6.1.9)

(6.1.4)(6.1.4)

(6.1.5)(6.1.5)

(6.1.3)(6.1.3) b)

For at undersøge nulhypotesen på et 1 % signifikansniveau foretages en -test:

Med en P-værdi på accepteres nulhypotesen .

Der kan således ikke afvises, med et signifikansniveau på 1 %, at der er uafhængighed mellem resultatet af den oplevede virkning af vaccinen og den den dosis vaccine, de fik.

Side 22

(7.2.1)(7.2.1)

(7.1.2)(7.1.2)

(7.1.1)(7.1.1)

Opgave 13 a)

Forskriften for defineres:

Ligningen løses:

Det er således bestemt, at ligningen har løsningerne: b)

Hældningskoefficienten for tangenten til grafen for funktionen i punktet er lig med differentialkvotienten .

Derfor kan førstekoordinaten til hvert af røringspunkterne A og B, for de to tangenterne (til grafen for ), der har hældningskoefficienten 9, bestemmes ved at løse ligningen:

Det kan således konkluderes, at førstekoordinaten til hvert af røringspunkterne og , for de to tangenterne, der har hældningskoefficienten 9, er således bestemt til: og