STX Matematik B 28. maj 2015 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

1

STX Matematik B

28. maj 2015

Delprøven med hjælpemidler

2stx151-MAT/B-

Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2 Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 14

Side 2

Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

2

Løsning med WordMat

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 7 a)

Tabellen over løbetiden i testløbet og løbetiden i halvmaratonen indtastes i en tabel. Den angivne model for udviklingen er en eksponentiel funktion, hvorfor tallene 𝑎 og 𝑏 kan bestemmes

vha. en eksponentiel regression over tabellens data. Hertil benyttes WordMat (Statistik/sands. - Regression

- Eksponentiel):

x | y
16 | 76
19 | 87
23 | 107
25 | 119
28 | 139
31 | 160
35 | 202

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9991349

𝑦=33,01183· 1,052688^{𝑥}

Af den fundne forskrift for udviklingen aflæses værdierne for henholdsvis 𝑎 og 𝑏 til:

𝑎=1,053

𝑏=33,012

b)

Forskriften for 𝑓 defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) =33,01183· 1,052688^{𝑥}

Den forventede løbstid i halvmaratonen når løbstiden i testløbet er 30 min, bestemmes som 𝑓(30) vha.

WordMat (CAS - Beregn): 𝑓 ( 30) ≈154,0493

Side 3

Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

3

Når løberens løbetid i testløbet er 30 min, siger modellen at løberens tid på et halvmaraton vil være 154,05 min.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 4

Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

4

Opgave 8 a)

En skitse af trekant ABC og Vinkel 𝐴 i trekant 𝐴𝐵𝐶 kan bestemmes med WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant):

WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 9, b = 13, c = 7

A = 41,17108°
B = 108,0305°
C = 30,79838°

a = 9
b = 13
c = 7

Vinkel A og B findes vha. cosinusrelationer

𝐴=cos^{−1} () =cos^{−1} () =41,17108°

𝑐^{2} + 𝑏^{2} − 𝑎^{2} 7^{2} + 13^{2} − 9^{2}
2 · 𝑏 · 𝑐 2 · 13 · 7

𝐵=cos^{−1} () =cos^{−1} () =108,0305°

𝑐^{2} + 𝑎^{2} − 𝑏^{2} 7^{2} + 9^{2} − 13^{2}
2 · 𝑎·𝑐 2 · 9 · 7

Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐶=180° − 𝐴 − 𝐵=180° − 41,17108° − 108,0305°=30,79838°

Vinkel 𝐴 er således bestemt til: 𝐴=41,2°

Resultatet er afrundet til én decimal.

b)

Da vi kender alle sider og vinkler kan vi bestemme trekantens areal T vha. følgende formel (formel 29):

𝑇= 𝑎𝑏sin𝐶= ⋅ 9 ⋅ 13 ⋅ sin ( 30,79838) ≈29,95309

1 1

2 2

Dermed er trekantens areal bestemt til 𝑇=30,0 afrundet til en decimal.

Husk at indsætte størrelser med så mange decimaler som muligt. Gradtallet skal ikke tages med når vinkel A indsættes i sinus-funktionen.

For at bestemme længden af højden fra B, bruger vi at trekantens areal også kan bestemmes med formlen

(side 22 i formelsamlingen):

𝑇= ℎ ⋅ 𝑔

1

2

A b C

B c a

Side 5

Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

5

Hvor h er længden af højden og g er længden af grundlinjen i trekanten. For højden fra B er AC grundlinje og vi får derfor følgende ligning, som vi løser med WordMat:

29,95309= ℎ ⋅ 13

1

2

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

ℎ=4,608168

Dermed er højden fra B bestemt til ℎ=4,6 afrundet til en decimal.

Side 6

Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

6

Opgave 9 a)

Modellen for kloens vægt K som funktion af hele krabbens vægt M defineres i WordMat (CAS - Definitioner

- Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝐾 ( 𝑀) =0.036 ⋅ 𝑀^{1,356}

Vægten af kloen, hvis hele krabbens vægt er 400 mg kan bestemmes som:

𝐾 ( 400) ≈121,5335

Hvis hele krabbens vægt er 400 mg, så er kloens vægt ifølge modellen 121,5 mg afrundet til en decimal.

Vægten af hele krabben hvis kloens vægt er 53 mg, kan bestemmes ved at løse følgende ligning:

𝐾 ( 𝑀) =53

⇕ Ligningen løses for M vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑀=216,902

Hvis kloens vægt er 53 mg, så er hele krabbens vægt ifølge modellen 216,9 mg afrundet til 1 decimal.

b)

Vi kan beregne hvor meget kloens vægt vokser, hvis krabbens vægt vokser med 30% = 0,3 ved følgende

udregning:

𝐾 ( 𝑀⋅ 1,3)

𝐾 ( 𝑀)

≈1,427273

Dermed vokser kloens vægt med 1,427273− 1=0,427273=42,7 % afrundet til en decimal.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

7

Opgave 10

Forskriften for 𝑓 defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) =3 ⋅ ln ( 𝑥+ 1) − 𝑥^{2}

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑥>−1

a)

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet (𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) ) kan bestemmes med tangentligningen:
                                          0   0

(jf. formel 70)

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

Indsættes x-koordinaten for punktet 𝑃(0,𝑓 ( 0)) som 𝑥_{0}, kan en ligning for tangenten bestemmes vha.

WordMat (CAS - Beregn) som:

𝑦=𝑓^{′} ( 0) · ( 𝑥− 0) + 𝑓 ( 0) =3 · 𝑥

En ligning til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃(0,𝑓 ( 0)) er således: 𝑦=3𝑥

b)

For at kunne bestemme monotoniforholdene for 𝑓, bestemmes først eventuelle ekstrema for 𝑓.

Dette gøres ved at løses ligningen 𝑓^{′} ( 𝑥) =0 vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - numerisk):

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0,8228757

Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af nulpunktet:

𝑓^{′} ( 0) =3

𝑓^{′} ( 1) =− =−0,5

1

2

Vi sammenfatter dette i en monotonilinje: 𝑥 0,823

𝑓^{′} ( 𝑥) + 0 -

𝑓 ( 𝑥) ↗ ↘

Vi kan dermed konkludere:

f er voksende i intervallet ] − ∞;0,823]

f er aftagende i intervallet [0,823;∞[

Side 8

Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

8

f har lokalt maksimum for 𝑥= 0,823

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

9

Opgave 11 a)

Forskriften for 𝑓 defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑡) =0,0038 ⋅ 𝑡^{4} − 0,42 ⋅ 𝑡^{3} + 12,12 ⋅ 𝑡^{2} + 24,13 ⋅ 𝑡 + 16,67

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:0≤𝑡≤52

Grafen for 𝑓 tegnes vha. WordMat (Graftegning - Vis Graf - GnuPlot).

Side 10

Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

10

Husk at ændre Xmin og Xmax til definitionsmængden for f. (Se udklippet nedenfor) b)

For at bestemme den alder hunkalkunen har, når den opnår sin maksimale vægt, bestemmes montoniforholdene for f.

For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for f’. Dette gøres ved at løse ligningen:

𝑓^{′} ( 𝑡) =0

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=32,80154 ∨ 𝑡=51,04139

Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af nulpunkterne:

𝑓^{′} ( 32) ≈7,6436

𝑓^{′} ( 33) ≈−1,8476

𝑓^{′} (51,1)≈0,8484312

Vi sammenfatter dette i en monotonilinje: 𝑥 32,802 51,041

𝑓^{′} ( 𝑥) + 0 - 0 +

𝑓 ( 𝑥) ↗ ↘ ↗

Side 11

Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

11

Ud fra denne monotonilinje kan f antage sit globale maksimum to steder, for 𝑡=32,802 eller 𝑡=52. Vi

beregner f’s værdi i de to punkter: 𝑓 ( 32,802) ≈3424,783 𝑓 ( 52) ≈2772,691

Hermed ses det at f antager sit globale maksimum i punktet 𝑡=32,802.

Dermed er hunkalkunen ifølge modellen 32,8 uger, afrundet til en decimal, når hun opnår sin maksimale vægt.

c)

Tallet 𝑓^{′} ( 10) bestemmes vha. WordMat

𝑓^{′} ( 10) ≈155,73

Det betyder at når hunkalkunen netop er 10 uger vil forøgelsen af hunkalkunens vægt være 155,73 gram pr.

uge.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 12

Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

12

Opgave 12 a)

Forskriften for funktionerne defineres vha. WordMat:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{2} − 6𝑥+10

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑔 ( 𝑥) =2𝑥+ 3

For at bestemme arealet af M skal skæringspunkterne mellem graferne for f og g bestemmes. Dette gøres ved at løse ligningen:

𝑓 ( 𝑥) =𝑔(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=1 ∨ 𝑥=7

Da grafen for g ligger over grafen for f i intervallet [1,7] kan arealet af punktmængden kan nu bestemmes vha. følgende formel (formel 97):

𝐴=∫ ( 𝑔 ( 𝑥) − 𝑓 ( 𝑥)) 𝑑𝑥 =36

7

1

Dermed er arealet af M bestemt til 36.

Side 13

Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

13

Opgave 13 a)

Da vi her skal undersøge om en stikprøve følger en bestemt fordeling er der tale om et Goodness-of-fit test.

Nulhypotesen 𝐻_{0} er:

”Fordelingen af de indsamlede kerner er den samme som fordelingen i den biologiske model” b)

For at undersøge nulhypotesen skal vi beregne de forventede værdier under H. Antallet af observationer

0 er:

648 + 237 + 195 +63=1143

For eksempel forventer vi dermed at se_{16}^{9} ⋅ 1143=642,9375 der er violette og glatte.

Tilsvarende forventer vi:

𝑒_{𝑣𝑖𝑜𝑙𝑒𝑡𝑜𝑔𝑟𝑦𝑛𝑘𝑒𝑡} = ⋅ 1143= =214,3125

3 3429

16 16

𝑒_{𝑔𝑢𝑙𝑜𝑔𝑔𝑙𝑎𝑡} = ⋅ 1143= =214,3125

3 3429

16 16

𝑒_{𝑔𝑢𝑙𝑜𝑔𝑟𝑦𝑛𝑘𝑒𝑡} = ⋅ 1143= =71,4375

1 1143

16 16

Nulhypotesen undersøges nu på et 5% signifikansniveau med en X^{2} GOF test vha. WordMat

(Statistik/.sands. - Test - Goodness of fit), hvor den observerede fordeling og den forventede fordeling indtastes:

Nul-hypotese:

Obs. Forventet Signifikans

Fordeling fordeling niveau: 5%

648 642,9375

237 214,3125 P-værdi: 16%

195 214,3125 Konklusion: bekræftet

Nul-hypotese

63 71,4375

På baggrund af testen bekræftes nulhypotesen med en P-værdi på 16% > 5%. Vi kan således ikke afvise at stikprøvens fordeling er forskellig fra fordelingen i den biologiske model.

Side 14

Skriftlig matematik STX B 2stx151-MAT/B-

14

Løsning med Maple

Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Side 15

(1.1.1)(1.1.1)

Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.

Opgave 7 a)

Vi definerer dataserien:

Tabellen over løbetiden i testløbet og løbetiden i halvmaratonen indtastes i en tabel. Den angivne model for udviklingen er en eksponentiel funktion, hvorfor tallene a og b kan bestemmes vha. en eksponentiel regression over tabellens data.

Værdierner for a og b er følgende:

Side 16

8382570 (1.1.3)(1.1.3)

(1.2.1)(1.2.1)

(1.1.2)(1.1.2)

14 (1.2.2)(1.2.2)

0259059 (1.1.4)(1.1.4) b)

Funktionen defineres:

Den forventede løbstid i halvmaratonen når løbstiden i testløbet er 30 min, bestemmes som Når løberens løbetid i testløbet er 30 min, siger modellen at løberens tid på et halvmaraton vil være 154,05 min.

Side 17

(2.1.1)(2.1.1)

32 | (2.2.5)(2.2.5)
34 | (2.2.7)(2.2.7)

13 (2.2.2)(2.2.2)

(2.2.6)(2.2.6)

9 (2.2.1)(2.2.1)

(1.1.2)(1.1.2)

71 | (2.2.4)(2.2.4)

7 (2.2.3)(2.2.3)

Opgave 8 a)

En skitse af trekant ABC og vinkel A i trekant ABC kan bestemmes vha. gympakkens trekantløser:

Vinkel A er således bestemt til: 41,2° b)

Vi definerer de relevante kendte størrelserne i trekanten:

Da vi kender alle sider og vinkler kan vi bestemme trekantens areal T vha. følgende formel:

Dermed er trekantens areal bestemt til T=30,0 afrundet til en decimal. For at bestemme

længden af højden fra B, bruger vi at trekantens areal også kan bestemmes med formlen:

Hvor er længden af højden og g er længden af grundlinjen i trekanten. For højden fra B er AC grundlinje og vi får derfor følgende ligning:

Dermed er højden fra B bestemt til =4,6 afrundet til en decimal.

Side 18

45 | (3.2.1)(3.2.1)

(3.1.1)(3.1.1)

63 | (3.1.2)(3.1.2)
49 | (3.1.3)(3.1.3)

(1.1.2)(1.1.2)

Opgave 9 a)

Modellen for kloens vægt K som funktion af hele krabbens vægt M defineres:

Vægten af kloen, hvis hele krabbens vægt er 400 mg kan bestemmes som:

Hvis hele krabbens vægt er 400 mg, så er kloens vægt ifølge modellen 121,5 mg afrundet til en decimal.

Vægten af hele krabben hvis kloens vægt er 53 mg, kan bestemmes ved at løse følgende ligning:

Hvis kloens vægt er 53 mg, så er hele krabbens vægt ifølge modellen 216,9 mg afrundet til 1 decimal.

b)

Vi kan beregne hvor meget kloens vægt vokser, hvis krabbens vægt vokser med 30% = 0,3

ved følgende udregning:

Dermed vokser kloens vægt med 1,427273-1=0,427273=42,7 % afrundet til en decimal.

Side 19

(4.2.2)(4.2.2)

(4.1.2)(4.1.2)

(4.1.1)(4.1.1)

(4.2.1)(4.2.1)

(1.1.2)(1.1.2)

Opgave 10 a)

Forskriften for defineres:

En ligning for tangenten til grafen for f i punktet ( ) kan bestemmes med tangentligningen:

Indsættes x-koordinaten for punktet , kan en ligning for tangenten bestemmes:

En ligning til grafen for i punktet er således: b)

For at undersøge monotoniforholdene for bestemmes først nulpunkter for . Dette gøres ved at løse ligningen:

Vi foretager en funktionsanalyse:

Side 20

studienet.dk
Matematik B STX–Skriftlig eksamen–27.Maj2016
x
-1 0 1 2 3
y
1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
Vi kan dermed konkludere:
f er voksende i intervallet ]-∞;0.82287]
f er aftagende i intervallet [0.82287;∞[
restart
20

Side 21

(5.1.1)(5.1.1)

(5.2.1)(5.2.1)

(1.1.2)(1.1.2)

Opgave 11 a)

Forskriften for defineres:

Grafen for tegnes: b)

Vi bestemmer t-værdien til funktionens maksimum:

Dermed er hunkalkunen ifølge modellen 32,8 uger, afrundet til en decimal, når hun opnår sin maksimale vægt.

c)

Side 22

(1.1.2)(1.1.2)

155.7300 (5.3.1)(5.3.1)

Tallet bestemmes:

Det betyder at når hunkalkunen netop er 10 uger vil forøgelsen af hunkalkunens vægt være

155,73 gram pr. uge.

Side 23

(6.1.4)(6.1.4)

(6.1.2)(6.1.2)

(6.1.3)(6.1.3)

(1.1.2)(1.1.2)

(6.1.1)(6.1.1)

Opgave 12 a)

Forskriften for funktionerne defineres:

For at bestemme arealet af M skal skæringspunkterne mellem graferne for og bestemmes.

Dette gøres ved at løse ligningen:

Da grafen for ligger over grafen for i intervallet [1,7] kan arealet af punktmængden kan nu bestemmes:

Dermed er arealet af bestemt til 36.

Side 24

(7.1.4)(7.1.4)

1143 (7.1.1)(7.1.1)

(7.2.1)(7.2.1)

(1.1.2)(1.1.2)

(7.1.3)(7.1.3)

(7.1.2)(7.1.2)

Opgave 13 a)

Da vi her skal undersøge om en stikprøve følger en bestemt fordeling er der tale om et

Goodness-of-fit test.

Nulhypotesen

Vi beregner det forventede værdier: b)

Nulhypotesen undersøges nu på et 5% signifikansniveau med en - GOF:

Side 25

(1.1.2)(1.1.2)

På baggrund af testen bekræftes nulhypotesen med en P-værdi på . Vi kan således ikke afvise at stikprøvens fordeling er forskellig fra fordelingen i den biologiske model.