STX Matematik B 5. december 2014 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

1

STX Matematik B

5. december 2014

Delprøven med hjælpemidler

stx143-MAT/B-

Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2 Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 14

Side 2

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

2

Løsning med WordMat

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 7 a)

Da der er tale om en eksponentiel model, anvendes eksponentiel regression. Data opskrives først i en tabel.

Antal år 0 1 2 3 4 5 efter 2007

Ølforbrug 462 440 406 383 380 357

(mio. liter)

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,462

𝑦=457,95376936· 0,95021692779^{𝑥}

Konstanterne aflæses og defineres: 𝑎≔0,950 𝑏≔457,954 b)

Konstanten 𝑎 er fremskrivningsfaktoren, og ud fra den kan vækstraten nu beregnes vha. WordMat:

𝑎=𝑟 + 1

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟=−0,05

Side 3

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

3

=−5%

Det vil sige, at ølforbruget i Danmark i perioden efter 2007 er faldet med 5% om året.

c)

Halveringstiden beregnes vha. WordMat som:

𝑇 =− ≈13,51

1

2 ln ( 2) ln ( 𝑎)

Der går altså ca. 13,5 år før ølforbruget i Danmark er halveret.

Side 4

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

4

Opgave 8 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔3𝑥^{3} − 3𝑥^{2} − 𝑥+ 1

Nulpunkter findes ved at løse:

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−0,57735026919 ∨ 𝑥=0,57735026919 ∨ 𝑥=1

Der er således 3 nulpunkter for funktionen, hvori 𝑥-værdierne er:

𝑥=−0,5774 ∧ 𝑥=0,5774 ∧ 𝑥=1

b)

Punktets førstekoordinat defineres:

𝑥_{0} ≔2

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet (𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) ) er givet ved:
                                          0   0

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0}) =23 · 𝑥− 35

Ligningen for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet (2,𝑓 ( 2)) er således: 𝑦=23𝑥− 35

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 5

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

5

Opgave 9 a)

Funktionen defineres og grafen tegnes i WordMat:

𝑓 ( 𝑥) ≔ − 2350𝑥 + 12000, 0≤𝑥≤10

26400 · 𝑥
𝑥+ 1

Når der ikke tilføres gødning, er 𝑥=0, så fortjenesten uden gødning findes som 𝑓(0) vha. WordMat.

𝑓 ( 0) =12000

Fortjenesten er således på 12.000 kr., hvis der ikke tilføres kunstgødning.

b)

Når tangenten er vandret, vil tangentældningen og dermed 𝑓′(𝑥) være lig med 0. 𝑥-værdien i røringspunktet kan således findes ved at løse:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2,3517223264

Nu bestemmes funktionsværdien i røringspunktet vha. WordMat: 𝑓 ( 2,3517) ≈24996,905066

Koordinatsættet til røringspunktet er således:

Side 6

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

6

𝑃(2,35 ;24996,9)

Når tangenten er vandret er der enten tale om et ekstremumspunkt eller en vandret vendetangent. Af grafen for funktionen fremgår det tydeligt, at der et tale om et maksimumspunkt. Punktets koordinatsæt angiver således den maksimalt mulige fortjeneste, som er ca. 25.000 kr. pr. hektar samt den mængde gødning, der skal tilføres for at opnå den maksimale fortjeneste: 2,35 tons gødning pr. hektar.

Side 7

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

7

Opgave 10 a)

Nulhypotese: Stikprøven er repræsentativ med hensyn til alder

De forventede værdier findes i excel vha. følgende formel:

𝐹𝑜𝑟𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒𝑡 𝑣æ𝑟𝑑𝑖=𝑠𝑡𝑖𝑘𝑝𝑟ø𝑣𝑒𝑠𝑡ø𝑟𝑟𝑒𝑙𝑠𝑒 · 𝑓𝑜𝑟𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒𝑡 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑠

Stikprøvestørrelsen udregnes som sum af alle observationer:

𝑆𝑡𝑖𝑘𝑝𝑟ø𝑣𝑒𝑠𝑡ø𝑟𝑟𝑒𝑙𝑠𝑒=90 + 85 + 80 + 78 + 79 +67=479

Alder Frek. obs. Forv. obs

Forv. Antal

20-30 | 0,15 | 90 | 71,85
30-40 | 0,16 | 85 | 76,64
40-50 | 0,19 | 80 | 91,01
50-60 | 0,17 | 78 | 81,43
60-70 | 0,17 | 79 | 81,43
70-100 | 0,16 | 67 | 76,64

Det giver selvfølgelig ikke mening at forvente observationer med decimaltal, da der er tale om et antal individer. Alligevel afrundes decimalerne ikke, fordi det ville sænke præcisionen i den efterfølgende statistiske test.

b)

Da der er tale om en sammenligning af forventede værdier fra en model og rigtige observationer fra en stikprøve, anvendes en GOF-test i WordMat. Alle de nødvendige data er i en tabel, som genanvendes i GOF-testen. Konklusionen bliver:

Nul-hypotese: den forventede fordeling

Den observerede stikprøve stammer fra

Signifikans niveau: 5%

P-værdi: 14%

Konklusion: Nul-hypotese kan ikke forkastes

Goodness of fit bygger på χ²-fordeling

Frihedsgrader:

5 χ²-værdi:

8,258

Xmaks:

16

Side 8

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

8

Da 𝑝=14%>5%, kan nulhypotesen ikke forkastes på et 5% signifikansniveau. Det kan altså ikke afvises,

at stikprøven er repræsentativ med hensyn til alder.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

9

Opgave 11 a)

Funktionerne defineres og ligningen løses vha. WordMat:

𝑓 ( 𝑥) ≔2^{𝑥}

𝑔 ( 𝑥) ≔1,5𝑥 + 1

𝑓 ( 𝑥) =𝑔(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2 ∨ 𝑥=8,0085662595· 10

−17

Løsning nr. 2 er utroligt tæt på 0, og den rigtige løsning er da også 0, hvilket ses ved at tage:

𝑓 ( 0) =2^{0} =1

𝑔 ( 0) =1,5 · 0 + 1=1

Fejlen skyldes sandsynligvis, at CAS-værktøjets måde at løse ligninger på ikke er 100% matematisk stringent.

b)

Følgende formel kan anvendes til at beregne det areal, som afgrænses af to funktioner i intervallet [𝑎,𝑏], hvis 𝑔 ( 𝑥) >𝑓(𝑥) i hele åbne interval ]𝑎,𝑏[

𝐴=∫ ( 𝑔 ( 𝑥) − 𝑓 ( 𝑥)) 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Af graferne (og vha. kendskab til alle skæringspunkter) ses, at 𝑔

( 𝑥

)

>𝑓(𝑥) i hele det åbne interval ]0,2[.

Arealet af M kan nu udregnes vha. WordMat:

𝐴=∫ ( 𝑔 ( 𝑥) − 𝑓 ( 𝑥)) 𝑑𝑥 ≈0,67191487733

2

0

Arealet af M er således 𝐴=0,6719 (afrundet til 4 decimaler).

Side 10

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

10

Opgave 12 a)

Alle resterende sider og vinkler i trekant ABC beregnes vha. WordMats trekantsberegner:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 90° , BC = 4 , AB = 6

B A = 41,6°
B = 48,4°
C = 90°

BC = 4
AC = 4,5
AB = 6

Længden af siden AC findes vha. pythagoras

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵^{2} − 𝐵𝐶^{2}

√
= 6 − 4^{2}

√^{2}
=4,472135955

Vinkel A findes vha.sinus

𝐴=sin^{−1} ()

𝐵𝐶

𝐴𝐵

=sin^{−1} ()

4

6

=41,810314896°

Vinkel B findes vha.vinkelsum = 180° i en trekant
𝐵=180° − 𝐶− 𝐴
=180° − 90° −41,810314896°
=48,189685104°

Siden AC (afstanden) er således ca. 4,4721 meter og vinklen B i trekant ABC er ca. 48,190° b)

Det ses af tegningen, at vinkel A i trekant ABD og vinkel A i trekant ABC tilsammen udgør 180 grader.

Vinkel A i trekant ABD er således givet ved: 𝐴_{𝐴𝐵𝐷} =180° − 𝐴_{𝐴𝐵𝐶} =180° − 41,81°=138,19°

A AC C

AB BC

Side 11

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

11

Alle de resterende sider og vinkler i trekant ABD beregnes nu vha. WordMats trekantsberegner.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 138,19° , BA = 6 , DA = 3

B D = 28,5°
B = 13,5°
A = 138,19°

BA = 6
DA = 3
DB = 8,27

Længden af siden DB findes vha. en cosinusrelation

𝐷𝐵= √ 𝐷𝐴^{2} + 𝐵𝐴^{2} − 2 · 𝐷𝐴 · 𝐵𝐴 · cos ( 𝐴)
= √ 3^{2} + 6^{2} − 2 · 3 · 6 · cos ( 138,19°)
=8,4754320027

Vinkel B findes vha. en cosinusrelation

𝐵=cos^{−1} ()

𝐷𝐵^{2} + 𝐵𝐴^{2} − 𝐷𝐴^{2}
2 · 𝐷𝐵 · 𝐵𝐴

=cos^{−1} ()

8,4754320027^{2} + 6^{2} − 3^{2}
2 · 8,4754320027· 6
=13,649086255°
Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐷=180° − 𝐴 − 𝐵
=180° − 138,19° − 13,649086255°
=28,160913745°

Nu skal der foretages beregninger på trekant ADE for at finde længden af siden AE

Det ses af tegningen, at

𝐷𝐵=𝐷𝐸 + 𝐵𝐸

⇕

𝐷𝐸=𝐷𝐵 − 𝐵𝐸
=8,48− 6=2,48

Nu har vi nok informationer til at anvende WordMats trekantsberegner på trekant ADE:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: D = 28,16° , DA = 3 , DE = 2,48

D DA A

DB BA

Side 12

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

12

E D = 28,16°

EA = 1,94
DA = 3
DE = 2,48

Længden af siden EA findes vha. en cosinusrelation

𝐸𝐴= √ 𝐷𝐴^{2} + 𝐷𝐸^{2} − 2 · 𝐷𝐴 · 𝐷𝐸 · cos ( 𝐷)
= √ 3^{2} + 2,48^{2} − 2 · 3 · 2,48 · cos ( 28,16°)
=1,4253767494

Siden AE (afstanden) er således ca. 1,425 meter og vinklen B i trekant ABD er ca. 13,649° 𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

D DA A

DE EA

Side 13

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

13

Opgave 13

Ligning for volumen opskrives, i det 𝑉=10, hvorefter 𝑙 isoleres vha. WordMats ’løs ligning’-funktion:

10= · 𝑙· 𝑥^{2}

1

2

⇕ Ligningen løses for l vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑙=

20

𝑥^{2}

Vi har nu 𝑙 som funktion af 𝑥:

𝑙 ( 𝑥) =

20

𝑥^{2}

Dette udtryk for 𝑙 substitueres nu ind i udtrykket for overfladearealet:

𝑂= ( 3 + √5) · 𝑥· () + 2𝑥^{2}

20

𝑥^{2}

Nu har vi 𝑂 alene udtrykt ved 𝑥.

O(x) defineres:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑂 ( 𝑥) = ( 3 + √5) · 𝑥· () + 2𝑥^{2}

20

𝑥^{2}

For at finde eventuelle ekstrema for 𝑂 bestemmes først nulpunkter for 𝑂′. Dette gøres ved at løse ligningen:

𝑂^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2,9693295292

Vi udregner nu fortegnet for O’ på begge sider af nulpunktet:

𝑂^{′} ( 2,9) ≈−0,85200470273

𝑂^{′} ( 3) ≈0,36429338333

Vi kan se, at funktionen skifter fra at være aftagende til at være voksende i 𝑥=2,9693295292, hvorfor

der må være tale om et lokalt minimum. Da der ikke er flere ekstremumspunkter, må punktet også være et globalt minimum.

Den værdi af 𝑥, som giver det mindste overfladeareal er således ca. 𝑥=2,969 𝑑𝑚

Side 14

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 5. december 2014

14

Løsning med Maple

Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Side 15

(1.1.1)(1.1.1)

Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj. Maple bruger "." som deicmaladskiller.

Opgave 7 a)

Vi definerer dataserien:

Vi foretager en eksponentiel regression:

Værdierne for og er følgende:

Side 16

(1.2.1)(1.2.1)

9362079 (1.1.4)(1.1.4)

(1.2.2)(1.2.2)

(1.1.2)(1.1.2)

(1.3.1)(1.3.1)

(1.1.3)(1.1.3)

(1.3.2)(1.3.2)

Konstanterne aflæses og defineres: b)

Konstanten er fremskrivningsfaktoren og fortæller noget om funktionens vækstrate idet:

Det vil sige, at ølforbruget i perioden efter år falder med 4,978 om året ifølge modellen.

Afrundet til 3 decimaler.

c)

Halveringstid bestemmes ved:

Der går altså ca. 13,6 år før ølforbruget i Danmark er halveret. Afrundet til 1 decimal.

Side 17

2 (2.2.1)(2.2.1)

(2.1.1)(2.1.1)

(2.1.2)(2.1.2)

(2.2.2)(2.2.2)

Opgave 8 a)

Funktionen defineres:

Nulpunkterne findes:

Der er således 3 nulpunkter for funktoinen, hvori -værdierne er .

b)

Punktes førstekoordinat defineres:

En ligning for tangtenten til grafen for i punktet er givet ved:

Ligningen for tangenten til til grafen i punktet er .

Side 18

12000 (3.1.2)(3.1.2)

(3.1.1)(3.1.1)

Opgave 9 a)

Funktionen defineres og grafen tegnes:

Grafen for tegnes i intervallet:

Når der ikke tilføres gødning, er . Fortjenesten findes ved :

Fortjenesten, når der ikke tilføres gødning, er .

Side 19

(3.2.1)(3.2.1)

(3.2.2)(3.2.2)

06 (3.2.3)(3.2.3) b)

Når tangenten er vandret vil være lig 0, og -værdien i røringspunktet kan findes ved:

Punktet, der ligger indenfor definitionsmængden er .

Funktionsværdien i røringspunktet bestemmes ved:

Det samlede koordinatsæt til røringspunktet er P[ , 24997.0]

Når tangenten er vandret er der enten tale om et ekstremumspunkt eller en vandret vendetangent.

Af grafen for funktionen fremgår det tydeligt, at der et tale om et maksimumspunkt.

Punktets koordinatsæt angiver således den maksimalt mulige fortjeneste, som er ca. 25000 kr. pr hektar (afrundet) samt den mængde gødning, der skal tilføres for at opnå den maksimale fortjeneste: 2,35 tons gødning pr. hektar.

Side 20

(4.1.2)(4.1.2)

(4.1.3)(4.1.3)

(4.1.1)(4.1.1)

Opgave 10 a)

Nulhypotese: Stikprøven er repræsentativ med hensyn til alder

De forventede værdier findes ved en liste med stikprøvestørrelsen med de forventede frekvenser:

Listerne ganges sammen og listen betegner de forventede værdier, i den korrekte rækkefølge opgivet i opgaven: b)

De observerede værdier defineres:

Listen med de observerede værdier definers:

Side 21

(4.2.1)(4.2.1)

Da der er tale om en sammenlignign af forventede værdier fra en model og rigtige observationer fra en stikprøve, anvedens en GOF-test. Testen foretages på et signifikansniveau:

Den procentmæssige værdi aflæses til P = 14,26 % (afrudnet til 2 decimaler), hvilket er mindre

end signifikansnivauet på .

Det kan altså ikke afvises, at stikprvøen er repræsentativ med hensyn til alder.

Side 22

(5.1.2)(5.1.2)

(5.1.1)(5.1.1)

(5.1.3)(5.1.3)

(4.2.1)(4.2.1)

(5.2.1)(5.2.1)

Opgave 11 a)

Funktionerne defineres og ligningen løses:

Løsningen anses for at være lig 0.

b)

Af graferne (og vha. kendskab til alle skæringspunkter) ses, at i hele det åbne interval .

Arealet af M udregnes:

Arealet af M er således A = 0,6719. Afrundet til 4 decimaler.

Side 23

(6.2.2)(6.2.2)

(4.2.1)(4.2.1)

138.19 (6.2.1)(6.2.1)

(6.1.1)(6.1.1)

Opgave 12 a)

Alle resterende sider og vinkler i trekant beregnes med trekantsløser:

Længden af siden (afstanden) er ca. 4,472 m og vinkel i trekant er ca 48,19°. Afrundet til 3 og 2 decimaler.

Skitse af trekant. Skitsen er ikke et krav til eksamen: b)

Det ses af tegningen, at vinkel i trekant og vinkel i trekant tilsammen udgør .

Vinkel i trekant kan da beregnes til:

Alle resterende sider og vinkler i trekant beregnes med trekantsløser:

Vinklen svarer til vinklen i trekantsløseren.

Skitse af trekant. Skitsen er ikke et krav til eksamen:

Side 24

(4.2.1)(4.2.1)

(6.2.3)(6.2.3)

Afstanden findes med trekansløser:

Længden svarer til afstanden .

Vinkel i trekant er 13,64° og siden i er 1,425 m. Afrundet til 2 og 3 decimaler.

Skitse af trekant. Skitsen er ikke et krav til eksamen:

Side 25

(4.2.1)(4.2.1)

Side 26

31 (7.1.3)(7.1.3)

(7.1.2)(7.1.2)

(4.2.1)(4.2.1)

(7.1.1)(7.1.1)

Opgave 13 a)

Når volumen af rammen er lig 10 dm, kan udtrykkes ved x med følgende:

Rendens overfaldeareal udtrykt kun ved x, findes ved at substitueres ind i udtrykket for rendensoverfladeareal:

O er en beskyttet variabel i Maple, hvis denne skal bruges, skal den erklæres som en lokal variabel:

For at bestemme den x-værdi, der giver rendens overfladeareal den mindste værdi, skal minima for f(x) findes:

Første bestemmes evt. ekstrema

For at tjekke, at der rent faktisk er tale om et minima, foretages der en funktionsundersøgelse, i intervallet omkring ekstrema:

Side 27

(4.2.1)(4.2.1) er faldende i intervallet er voksende i intervallet har minima i

Det kan konkluderes at den -værdi, der giver det mindste overfladeareal, er .