STX Matematik B 6. dec. 2013 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013

1

STX Matematik B

6. december 2013

Delprøven med hjælpemidler

stx133-MAT/B-

Løsning med WordMat ...................................................................................................................................... 2 Løsning med Maple ......................................................................................................................................... 14

Side 2

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013

2

Løsning med WordMat

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Alle formlerne i nedenstående besvarelse

henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007. Referencer til en formel kræves ikke i en

besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 7 a)

Den angivne model er en lineær model (jf. formel 35), værdierne for 𝑎 og 𝑏 kan derfor bestemmes vha.

en lineær regression over tabellens data.

Tabellen oprettes i MS Word og WordMat (Statistik/sands. - Regression - Lineær) benyttes til regressionen.

Nordlig breddegrad 62 64 70 73 78

Årlig middeltemperatur i ℃ 1,0 -1,6 -4,2 -7,2 -11,4

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9800009

𝑦 = −0,7315421𝑥+ 46,08902

Af regressionens resultat fremgår det, at:

𝑎 = −0,732

𝑏 = 46,089

Begge resultater er afrundet til 3 decimaler.

b)

Konstanten (koefficienten) 𝑎 = −0,732 betyder, at for hver breddegrad 𝑥, man kommer nordpå, så falder

den årlige middeltemperatur med 0,732℃, idet 𝑎 er negativ.

Side 3

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013

3

Den lineære sammenhæng mellem den nordlige breddegrad 𝑥 og middeltemperaturen 𝑓(𝑥), som en

funktion af 𝑥, defineres i WordMat, - hertil benyttes definitionslighedstegnet :=

𝑓 ( 𝑥) ≔ −0,732⋅ 𝑥+ 46,089

Den årlige middeltemperatur, når den nordlige breddegrad er 66 grader, bestemmes som 𝑓(66).

Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn)

𝑓 ( 66) = −2,223

Den årlige middeltemperatur på den 66’^{ende} nordlige breddegrad er således: −2,2℃

Resultatet er afrundet til én decimal.

c)

Den nordlige breddegrad, hvor den årlige middeltemperatur er −10℃, bestemmes ved at løse
ligningen 𝑓 ( 𝑥) = −10 mht. 𝑥. Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).

𝑓 ( 𝑥) = −10

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 76,62432

Den nordlige breddegrad, hvor den årlige middeltemperatur er −10℃, er således bestemt til: 77 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑒𝑟

Resultatet er afrundet til et helt tal.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 4

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013

4

Opgave 8 a)

Værdien for ∠𝐵 bestemmes vha. WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant).

WordMat fremkommer med to mulige løsninger (én, hvor ∠𝐵 er spids og én, hvor ∠𝐵 er stump) Det oplyses, at ∠𝐵 er spids, hvorfor den rigtige trekant let kan vælges.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 22° , BC = 5 , AC = 8

A = 22°
B = 36,82483°
C = 121,1752°

BC = 5
AC = 8
AB = 11,41983

Af ovenstående resultat fremgår det, at: ∠𝐵 = 36,8°

Resultatet er afrundet til én decimal.

b)

Længden af siden 𝐴𝐷 i trekant 𝐴𝐶𝐷 bestemmes tillige med WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant).

WordMat fremkommer med to mulige løsninger (én, hvor ∠𝐷 er spids og én, hvor ∠𝐷 er stump) Det oplyses, at ∠𝐷 er stump, hvorfor den rigtige trekant let kan vælges.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 22° , DC = 5 , AC = 8

A = 22°
D = 143,1752°
C = 14,82483°

DC = 5
AC = 8
AD = 3,415112

Af ovenstående resultat fremgår det, at: |𝐴𝐷| =3,4

Resultatet er afrundet til én decimal.

Arealet af trekant 𝐴𝐶𝐷 kan bestemmes vha. arealformlen: (jf. formel 29)

𝑇 = ⋅ 𝑎⋅ 𝑏⋅ sin (𝐶)

1

2

A AC C

D

AD DC

A AC C

B

BC

AB

Side 5

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013

5

Med de anvendte betegnelser, fås:

𝑇_{𝐴𝐶𝐷} = ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ |𝐴𝐷| ⋅ sin (𝐴)

1

2

De kendte værdier indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑇_{𝐴𝐶𝐷} = ⋅ 8 ⋅ 3,4 ⋅ sin ( 22) = sin ( 22) · 13,6 ≈5,09465

1

2

Arealet af trekant 𝐴𝐶𝐷 er således bestemt til: 𝑇_{𝐴𝐶𝐷} = 5,1

Resultatet er afrundet til én decimal.

Side 6

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013

6

Opgave 9 a)

Den angivne sammenhæng er en potensfunktion (jf. formel 66).

Tallene 𝑎 og 𝑏 for potensfunktionen 𝑓 gennem punkterne 𝑃(1,2) og 𝑄(5,7) kan bestemmes vha. en potensregression, hvor koordinaterne til punkterne 𝑃 og 𝑄 oprettes i en tabel i MS Word.

WordMat (Statistik/sands. - Regression - Potens) benyttes.

𝑃 𝑄 𝑥 1 5 𝑦 2 7

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 2 · 𝑥^{0,7783854}

Af regressionens resultat fremgår det, at:

𝑎 = 0,778

𝑏 = 2

Værdien for 𝑎 er afrundet til tre decimaler.

Side 7

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013

7

Opgave 10 a)

Den angivne model defineres i WordMat, - hertil benyttes definitionslighedstegnet :=

𝐶 ( 𝑡) ≔ 67 ⋅ (𝑒^{−0,041⋅𝑡} − 𝑒^{−3,1⋅𝑡})

Grafen for 𝐶 kan tegnes vha. WordMat (Graftegning - Vis Graf - GNU plot)

Østrogenkoncentrationen i blodet 20 timer efter indtagelse af P-pillen kan bestemmes som værdien 𝐶(20).

Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn).

𝐶 ( 20) = 29,50892

Det er således bestemt, at Østrogenkoncentrationen efter 20 timer er: 𝐶_{𝑚𝑙} ( 20) = 29,5^{𝑝𝑖𝑐𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚}

Resultatet er afrundet til én decimal.

b)

Tiden, fra indtagelse af P-pillen til østrogenkoncentrationen er maksimal, kan bestemmes ved at løse

ligningen 𝐶^{′} ( 𝑡) = 0, hvorved eventuelle ekstrema for sammenhængen bestemmes.

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.

𝐶^{′} ( 𝑡) = 0

Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡 ≈ 1,414052

Side 8

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013

8

For at undersøge, om det fundne ekstrema faktisk er en maksimal værdi (fremgår af grafen) undersøges som kontrol fortegnene for et par udvalgte funktionsværdier for den afledte funktion på hver side af det fundne ekstrema.

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝐶^{′} ( 1) = 6,720069

𝐶^{′} ( 2) = −2,109221

                                              ′
Heraf følger, at 𝐶 er voksende i intervallet [0;1,41] da 𝐶 > 0

samt at 𝐶 er aftagende i intervallet [1,41;36] da 𝐶^{′} < 0

Det konkluderes sluttelig, at koncentrationen af østrogen er størst til tiden: 𝑡 = 1,41 𝑡𝑖𝑚𝑒𝑟

efter indtagelsen af P-pillen (resultatet er afrundet til to decimaler).

c)

Da koncentrationen først når sin maksimale værdi efter 1,41 timer (efter indtagelsen), sættes 𝑡 > 1,41 for at kunne bestemme tiden 𝑡, hvor koncentrationen er faldet til 25 picogram pr. milliliter.

WordMat (CAS - definitioner - Definer variabel) benyttes hertil.

For at bestemme hvor lang tid, der går, inden der skal indtages en ny pille, løses ligningen 𝐶 ( 𝑡) = 25 mht. 𝑡

Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑡 > 1,41

𝐶(𝑡)= 25

Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡 ≈ 24,04431

Det er således bestemt, at en ny P-pille skal indtages senest 24 𝑡𝑖𝑚𝑒𝑟 efter indtagelsen af forrige pille

(resultatet er afrundet til et helt tal).

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013

9

Opgave 11 a)

Forskriften for 𝑓 defineres i WordMat, - hertil benyttes definitionslighedstegnet :=

𝑓 ( 𝑥) ≔ ( 𝑥− 7) ⋅ 𝑒^{−𝑥}

Tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃(2,𝑓

(

2

)

) bestemmes vha. tangentligningen (jf. formel 70)

Den findes i WordMat (Formelsamling - Funktioner - Lineær)

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

𝑥_{0} = 2 indsættes i ligningen og WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑦 = 𝑓^{′} ( 2) · ( 𝑥− 2) + 𝑓 ( 2) ≈ 0,8120117· 𝑥 −2,3007

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃(2,𝑓

(

2

)

) er således bestemt til:

𝑦 = 0,81 · 𝑥 − 2,30

Resultatet er afrundet til to decimaler.

b)

                                                         ′
For at kunne redegøre for monotoniforholdene, løses først ligningen 𝑓 ( 𝑥 ) = 0 for at finde eventuelle

ekstrema for 𝑓. Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 8

En fortegnsundersøgelse for 𝑓′ før og efter det fundne ekstrema vil afgøre, om der er tale om et maksimum, minimum eller eventuelt en vandret vendetangent.

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑓^{′} ( 7) ≈ 0,000911882

𝑓^{′} ( 9) ≈ −0,0001234098

På baggrund af ovenstående kan der tegnes en monotonilinje.

WordMat (Diverse - Figurer) benyttes.

Side 10

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013

10

• 𝑓 er voksende i intervallet ] − ∞;8] da 𝑓^{′} > 0
• 𝑓 er aftagende i intervallet [8;∞[ da 𝑓^{′} < 0

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: x f’(x) 0 - f(x)

8

+

Side 11

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013

11

Opgave 12 a)

Nulhypotenusen 𝐻_{0}: Der er ikke sammenhæng mellem kundernes valg af kaffe og deres nationalitet.

De forventede værdier kan bestemmes vha. WordMat (Statistik/sands. - Test - 𝜒^{2} test),

hvor tabellens data indtastes i det fremkomne regneark, hvorpå de forventede værdier bestemmes.

χ²-test

Observationer I alt

Caffé latte Espresso Cappuccino danske kunder 712 159 218 1089 udenlandske kunder 251 62 105 418

I alt 963 221 323 1507

Forventede I alt

Caffé latte Espresso Cappuccino

696 160 233 1089

267 61 90 418

963 221 323 1507

(Screendumps fra Excel)

De forventede værdier er beregnet med WordMat.

I ovenstående tabel er de forventede værdier markeret med gult.

b)

                          2                                       2
Af det fremkomne resultat fra 𝜒 -testen med WordMat (Statistik/sands. - Test - 𝜒 test) i det forrige

                                                     2
delspørgsmål a), bestemmes tillige 𝑃-værdien i forbindelse med 𝜒 -testen.

P-værdi: 8,11 % Der er ikke en sammenhæng

Signifikans niveau: 5 %

(Screendump fra Excel)

Det fremgår af resultatet, at P-værdien er på 8,11 % hvilket er større end signifikansniveauet på 5 %.

Nulhypotesen accepteres derfor og derfor kan det ikke afvises, at der ikke er en sammenhæng mellem kundernes nationalitet og deres valg af kaffe.

Side 12

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013

12

Opgave 13 a)

Funktionerne defineres i WordMat (definitionslighedstegnet := benyttes hertil).

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥

√

𝑔 ( 𝑥) ≔ ⋅ 𝑥^{2}

1

8

Graferne for funktionerne tegnes med WordMat (Graftegning - Vis Graf - GNU plot).

Punktmængden 𝑀 oplyses at være afgrænset af graferne for 𝑓 og 𝑔.

For at kunne bestemme arealet af 𝑀 vha. integralregning, bestemmes først skæringspunkterne mellem graferne. Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligninger - Numerisk).

𝑓 ( 𝑥) = 𝑔(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 4

Graferne skærer således hinanden, hvor 𝑥 = 0 og hvor 𝑥 = 4.

Side 13

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013

13

Det fremgår af graferne for 𝑓 og 𝑔 på forrige side, at 𝑓 >𝑔 i intervallet [0;4], der for kan arealet af punktmængden 𝑀 kan bestemmes værende lig med integralet (jf. formel 97)

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝐴_{𝑀} = ∫ ( 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥)) 𝑑𝑥 = ≈ 2,666667

4

0

8

3

Arealet af punktmængden 𝑀 er således bestemt til:

𝐴_{𝑀} =

8

3 𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 14

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013

14

Løsning med Maple

Alle opgaver er regnet med Maple, da vores erfaring viser, at det er et stærkt værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af Maple som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra Maples Gym-pakken egen formelsamling. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Side 15

(1.1.1)(1.1.1)

Alle beregninger er udført med Maple som CAS-værktøj . Maple bruger "." som decimaladskiller.

Opgave 7 a)

Vi definerer dataserien:

Vi foretager en lineær regression:

Side 16

(1.2.2)(1.2.2)

(1.2.1)(1.2.1)

94 (1.3.1)(1.3.1)

(1.1.2)(1.1.2)

Af regessionen fremgår det:

Værdien for er fundet til 46,089 og værdien for blev fundet til -0,732. Afrundet til 3 decimaler.

b)

Konstanten (koefficienten) a = -0,732 betyder, at for hver breddegrad , man kommer nordpå, så

falder den årlige middeltemperatur med 0,732°C, idet er negativ.

Den lineære sammenhæng mellem den nordlige breddegrad og middeltemperaturen , som en funktion af , defineres:

Den årlige middeltemperatur, når den nordlige breddegraf er bestemmes ved:

Den årlige middeltemperatur på den 'ende nordlige breddegrad er således -2,2°C. Afrundet til 1 decimal.

c)

Den nordlige breddegrad, hvor den årlige middeltemperatur er , bestemmes ved:

Den nordlige breddegrad, hvor den årlige temperatur er er således bestemt til .

Side 17

(2.1.1)(2.1.1)

(2.2.2)(2.2.2)

(2.2.1)(2.2.1)

Opgave 8 a)

Vinklen bestemmes med trekantsløser:

Det er opolyst at vinklen er spidst.

Vinklen aflæses til 36,8°. Afrudnet til 1 decimal.

b)

Længden af siden i trekant bestemmes med trekantløser:

Det oplyses at vinkel , der svarer til vinkel , er stum.

Siden svarer til siden og aflæses til 3,4. Afrundet til 1 decimal.

Arealet af trekant kan bestemmes ved:

Siden |AD| svarer til siden og har længden 8.

Arelaet udregnes:

Arealet af trekant er således bestemt til 5,1. Afrudnet til 1 decimal.

Side 18

(3.1.1)(3.1.1)

(3.1.2)(3.1.2)

Opgave 9 a)

Tallene for og for potensfunktoienn gennem punkterne og kan bestemmes ved potensregression:

Dataet defineres:

Vi foretager en potensregression:

Af regressionen fremgår det:

Værdien for aflæses til 0,778 (afrundet til 3 decimaler) og værdien for aflæses til 2,0 (afrundet til 1 decimal).

Side 19

studienet.dk Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013 19

Side 20

(4.1.1)(4.1.1)

85 (4.1.2)(4.1.2)

84 (4.2.1)(4.2.1)

Opgave 10 a)

Modellen defineres:

Grafen for tegnes:

Østrogenkoncentrationen i blodet 20 timer efte indtagelsen af P-pillen bestemmes ved:

Det er således bestemt, at Østrogenkoncentrationen efter 20 timer er 29,5 . Afrundet til

1 decimal.

b)

Tiden, fra indtagelsen af P-pillen er maksimal, kan bestemmes ved:

Side 21

(4.3.1)(4.3.1)

For at være sikker på at det fundme ekstrema rent faktisk er maksimum fortages en funktionsundersøgelse: er voksende i intervallet 1,41 er aftagende i intervallet 1,41

Vi kan konkluderer at t = 1,41 er et maksimum.
Derfor er østrogenkoncentrationen størst til tiden t = 1,41 timer.

c)

For at bestemme, hvor lang tid, der går, inden der skal tages en ny pille løses , med hensyn til t.

Maple har svært ved at løse ligningen med solve. I stedet benyttes kommandoen fintervalsolve, hvor intervallet approximeres til t > 1,41:

Det er således bestemt, at en ny -pille skal indtages senest efter indtagelsen af forrige pille. Afrundet til helt antal pille.

Side 22

(5.1.4)(5.1.4)

(5.1.5)(5.1.5)

(5.1.1)(5.1.1)

(5.1.3)(5.1.3)

2 (5.1.2)(5.1.2)

8 (5.2.1)(5.2.1)

Opgave 11 a)

Forskriften for defineres:

En ligning for tangenten til grafen i punktet P bestemmes ved:

Vi definerer først punktest førstekoordinat:

Ligningen for tangenten til grafen for i punktet P er da:

Ligningen for tangenten afrundet til 2 decimaler: b)

For at bestemme monotoniforholdende bestemmes først eventuelle ekstrema:

En funktionsundersøgelse inden for intervallet, hvor ekstrema befinder sig foretages:

Side 23

studienet.dk
Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 6. december 2013
x
2 4 6 8 10 12 14 16
y
0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7
f er voksende i intervallet ]−∞; 8]
f er aftagende i intervallet [8; ∞[
f har maksimum i x = 8
restart :
23

Side 24

(6.1.1)(6.1.1)

(6.1.2)(6.1.2)

Opgave 12 a)

Nulhypotesen : Der er ikke sammenhæng mellem kundernes valg af kaffe og deres nationalitet:

De forvemtede værdier med udgangspunkt i at nulhypotesen er sang bestemmes ved:

Først opskrives det observerede værdier:

De forventede værdier beregnes: b)

Der foretages en test på et signifikansniveua:

Side 25

P-værdien aflæses til 0,8011 (afrundet til 3 decimaler), det svarer til en mæssig P-værdi på 8,

11.

Det fremgår af resultatet, af P-værdien er på 8,11 hvilket er større end signifikansniveauet på

.

Nulhypotesen accepteres derfor og derfor kan det ikke afvises, at der ikke er en sammenhæng mellem kundernes nationalitet og deres valg af kaffe.

Side 26

(7.1.3)(7.1.3)

(7.1.1)(7.1.1)

(7.1.2)(7.1.2)

Opgave 13 a)

Funktionerne defineres:

Graferne for og tegnes:

Punktmængden oplyses at være afgrænset af graferne for og .

For at bestemme arealet af vha. integralregning, bestemmes først skæringspunkterne mellem graferne:

Graferne skærer således hinaden, hvor og hvor .

Side 27

(7.1.4)(7.1.4)

Det fremgår af graferne for og , i intervallet , derfor kan arealet af punktmængden bestemems værende lig med integralet:

Arealet af puntmængden er således fundet til .