STX Matematik B 7. December 2012 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

Opgaver uden hjælpemidler - den 7. december 2012

Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling

stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 1

Da trekanterne AB𝐶 og 𝐷EF er ensvinklede gælder, at forholdet mellem ensbeliggende sider i de to trekanter er den samme, hermed kan den ene trekant skaleres med faktor 𝑘 på alle sider, således at trekanterne bliver kongruente (jf. formlerne 19 og 20).

Skalafaktoren 𝑘 bestemmes:

𝑘 = = = 5 (formel 19)

|𝐷F | 30

|A𝐶| 6

STX 3.g

Da er retvinklet kan længden af siden BC bestemmes vha. Pythagoras’ læresætning (jf. formel 21):

|B𝐶| = |AB|^{2} − |A𝐶|^{2} = 10^{2} − 6^{2} = 64 = 8

√
√
√

STX 3.g

Længderne af siderne E𝐷 og EF bestemmes som produktet af skalafaktor 𝑘 og længden STX 3.g

|𝐷E| = 𝑘 ·|AB| = 5 ·10 = 50

|EF | = 𝑘 · |B𝐶| = 5 · 8 = 40

Opgave 2

Givet polynomiet: P (𝑥) = 3𝑥^{2} − 6𝑥 + 7

kan koordinatsættet til toppunktets bestemmes som (jf. formel 37):

T_{𝑃} =,,hvor: 𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

()

−𝑏 −𝑑

2𝑎 4𝑎

Aktuelle værdier indsættes (𝑎 = 3 , 𝑏 = −6 , 𝑐 = 7):

T_{𝑃} =, =, = (1, 4)

−(−6) −((−6)^{2} − 4 · 3 · 7) 6 48
2 · 3 4 · 3 6 12

)

()

Grafen for P har således toppunkt i punktet: T_{𝑃} = (1, 4)

1

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

Opgave 3

En lineær model har formen: 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 (formel 35)

Tiden, efter vasen er blevet fyldt, kaldes 𝑡 og måles i uger.

Hver uge fordamper 0,2 liter vand fra vasen, hvilket er en negativ tilvækst.

Koefficienten 𝑎 sættes derfor til: 𝑎 = −0, 2

Når vasen er fyldt, rummer den 1,5 liter vand, derfor sættes konstanten 𝑏 = 1, 5
𝑏 er således en "startværdi", idet der til tiden 𝑡 = 0 er 1,5 liter vand i vasen.

En lineær model, der beskriver mængden af vand i vasen, fra det tidspunkt, hvor den blev fyldt, er:

𝑓(𝑡) = −0, 2 · 𝑡 + 1, 5

hvor 𝑡 er tiden, målt i uger og 𝑓 (𝑡) er mængden af vand i vasen målt i liter.

Opgave 4

Isolering af h:

𝑝 · h

4

= 4 · M

⇕ multiplicerer begge sider med 4

𝑝 · h = 16 · M

⇕ dividerer begge sider med 𝑝

h =

16 · M

𝑝

                          16·𝑀
h er således isoleret: h =
                           𝑝

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

Opgave 5

På grafen for N indtegnes i (rørings)punktet (50, N (50)) en tangent til grafen.

Væksthastigheden for populationen til tiden 𝑡 = 50 er lig med hældningskoefficienten 𝑎_{t}

for tangenten i punktet (50, N(50))

Hældningskoefficienten bestemmes ved at aflæse koordinatsættene til to punkter på denne tangent (se tegning herunder).

De to punkter aflæses til: (𝑥_{1}, 𝑦_{1}) = (20, 70) og (𝑥_{2}, 𝑦_{2}) = (80, 110)

Tangentens hældningskoefficient bestemmes som:

𝑎_{t} = (formel 30)

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}

Koordinaterne indsættes:

𝑎_{t} = N^{′} (50) = =

110 − 70 4
80 − 20 6

                                                                  ′      4
Hvilket betyder, at væksthastigheden for populationen til tiden 𝑡 = 50 er N (50) =
                                                                         6

Tilvæksten er således mindre end et dyr pr. døgn, når 𝑡 = 50 døgn.

3

Side 4

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B stx123-MAT/B-

Opgave 6

𝑓(𝑥) er en stamfunktion til 𝑔(𝑥), hvis 𝑓^{′} (𝑥) = 𝑔(𝑥). Dette undersøges:

𝑓^{′} (𝑥) = 2𝑥^{3,5} + 𝑥^{2} + 10

()_{′}

= 2𝑥^{3,5} + 𝑥^{2} + (10)^{′} (formel 72)

()_{′} ()_{′}

= 3, 5 · 2𝑥^{(3,5−1)} + 2 · 𝑥^{(2−1)} + 0 (formel 78)
= 7𝑥^{2,5} + 2𝑥

Da 𝑓^{′} (𝑥) = 𝑔(𝑥) = 7𝑥^{2,5} + 2𝑥 kan det konkluderes, at 𝑓 er en stamfunktion til 𝑔

4