STX Matematik B 7. december 2015 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

1

STX Matematik B

7. december 2015

Delprøven uden hjælpemidler

Stx153-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1

Der er tale om en andengradsligning på den generelle form 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

Da gælder, at:

𝑥 =

−𝑏 ± √𝑏^{2} − 4 · 𝑎· 𝑐

2𝑎

=

−4 ± √4^{2} − 4 · 1 · 3
2 · 1
=

−4 ± √ 16 − 12

2

=

−4 ± √ 4

2

Det vil sige:

𝑥_{1} =

−4 + 2

2

= −1

Og

𝑥_{2} =

−4 − 2

2

= −3

Ligningen har altså løsningen 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = −3

Side 2

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

2

Opgave 2

En lineær funktion kan beskrives ved den generelle forskrift:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏

𝑎 er hældningskoefficienten og kan beregnes vha. koordinatsættene for 2 punkter på grafen som:

𝑎 =

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}

Vi bruger nu punkterne 𝑃 og 𝑄:

𝑎 =

5 − 9
4 − 2
= −

4

2

= −2

Funktionsforskriften bliver nu:

𝑓 ( 𝑥) = −2𝑥+ 𝑏

Vi finder nu 𝑏 ved at anvende koordinatsættet for punkt 𝑃. Vi ser heraf, at 𝑓 ( 2) = 9, så:

9 = −2 · 2 + 𝑏

⇕

𝑏 = 9 + 4
= 13

Den endelige forskrift for 𝑓 bliver da: 𝑓 ( 𝑥) = −2𝑥+ 13.

Opgave 3 a)

Da den samlede vægt stiger med en fast andel for hver klods, man lægger i kassen, kan vi beskrive sammenhængen med en lineær model på formen:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏

𝑓(𝑥) angiver den samlede vægt i gram af kasse med klodser i 𝑥 angiver antallet af klodser i kassen 𝑏 angiver 𝑓(0). Det vil sige vægten af kassen uden klodser i 𝑎 er hældningskoefficienten. Denne kan tolkes som 𝑦-tilvæksten, når 𝑥 vokser med 1. 𝑎 angiver således vægten i gram af 1 klods.

Side 3

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

3

Vi kan nu skrive:

𝑓 ( 𝑥) = 8𝑥+ 480

Opgave 4

Følgende regler gælder om konstanterne i den generelle forskrift for en parabel (𝐼):

Hvis 𝑎 > 0, vender benene opad

Hvis 𝑎 < 0, vender benene nedad 𝑏 angiver hældningskoefficienten af tangenten til grafen i skæringspunktet med 𝑦-aksen. Dvs. i punktet

(0,𝑐)

𝑐 angiver 𝑦-værdien i skæringspunktet ml. grafen og 𝑦-aksen. Dvs. 𝑓 ( 0) = 𝑐

𝑑 er defineret som 𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

Hvis 𝑑 < 0 har grafen ingen skæringspunkter med 𝑥-aksen

Hvis 𝑑 = 0 har grafen 1 skæringspunkt med 𝑥-aksen

Hvis 𝑑 > 0 har grafen to skæringspunkter med 𝑥-aksen

Først gennemgås parablen 𝑃

Da parablen vender benene opad, må der gælde, at 𝑎 > 0

Da tangenten til parablen i punktet (0,𝑐) er vandret, må der gælde, at 𝑏 = 0

Da 𝑓 ( 0) > 0, må der gælde, at 𝑐 > 0

Da parablen ikke skærer med 𝑥-aksen, må der gælde, at 𝑑 < 0

Nu gennemgås parablen 𝑄

Da parablen vender benene nedad, må der gælde, at 𝑎 < 0

Da hældningen for tangenten til parablen i punktet (0,𝑐) er positiv, må der gælde, at 𝑏 > 0 Da 𝑓 ( 0) < 0, må der gælde, at 𝑐 < 0

Da parablen har to skæringspunkter med 𝑥-aksen, må der gælde, at 𝑑 > 0

(𝐼):

Hvis man ikke kan/ønsker at huske ovenstående regler, kan de også udledes matematisk. Det tager lidt længere tid, men når man har udledt dem én gang, bliver reglerne nemmere at huske.

Side 4

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

4

For alle parabler gælder, at 𝑎 ≠ 0

Reglen om 𝑎:

For parabler er grænseværdierne ens for 𝑥 → −∞ og 𝑥 → +∞:

𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑥→±∞

𝑥 sættes udenfor parentes

𝑙𝑖𝑚 (𝑎𝑥+ 𝑏+) ·𝑥
𝑥→±∞ 𝑥

𝑐

Heraf ses, at

                             𝑐
Hvis 𝑎 > 0 ⇒ 𝑙𝑖𝑚   (𝑎𝑥+ 𝑏+   ) ·𝑥 = +∞ (glad parabel: mundvige opad)
              𝑥→±∞
                             𝑥

                             𝑐
Hvis 𝑎 < 0 ⇒ 𝑙𝑖𝑚   (𝑎𝑥+ 𝑏+   ) ·𝑥 = −∞ (sur parabel: mundvige nedad)
              𝑥→±∞
                             𝑥

Reglen om 𝑏:

𝑦 = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑦^{′} = 2𝑎𝑥+ 𝑏

𝑦^{′} ( 0) = 𝑏

Reglen om 𝑐:

𝑦 = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑦 ( 0) = 𝑐

Reglen om 𝑑: Den generelle løsningsmodel finder 𝑥-værdierne i evt. skæringspunkter med 𝑥-aksen (𝑦 = 0).

Formlen skal huskes udenad:

𝑥 =,𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

−𝑏 ± √ 𝑑

2𝑎

Hvis 𝑑 < 0 ⇒ √ 𝑑 ∉ ℝ (Ingen reelle løsninger). Altså ingen skæringspunkter med 𝑥-aksen.

               −𝑏
Hvis 𝑑 = 0 ⇒ 𝑥 = . Altså et skæringspunkt (røringspunkt).
               2𝑎

Hvis 𝑑 > 0 ⇒ √ 𝑑 ∈ ℝ og √ 𝑑 > 0. Altså to skæringspunkter.

Side 5

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

5

Opgave 5

Funktionen integreres, hvorved vi får en forskrift for samtlige stamfunktioner til 𝑓

𝐹 ( 𝑥) = ∫6𝑥^{2} + 4𝑥− 3𝑑𝑥

= 6 · 𝑥^{3} + 4 · 𝑥^{2} − 3𝑥 + 𝑘 (𝐼)

1 1

3 2

= 2𝑥^{3} + 2𝑥^{2} − 3𝑥+ 𝑘

Koordinatsættet for punktet 𝑃 fortæller os, at 𝐹 ( 1) = 10. Dvs.:

10 = 2 · 1^{3} + 2 · 1^{2} − 3 · 1 + 𝑘

⇕

10 = 1 + 𝑘

⇕

𝑘 = 9

Den endelige funktionsforskrift kan nu opskrives: 𝐹 ( 𝑥) = 2𝑥^{3} + 2𝑥^{2} − 3𝑥+ 9

(𝐼):

Ubestemt integral hvor F(x) er stamfunktion til f(x)

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 ( 𝑥) + 𝑐

Sætte konstant udenfor ∫ 𝑘· 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘· ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫ 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1
𝑘 𝑘· 𝑥

Side 6

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

6

Opgave 6

Situationen skitseres, og vi inddeler figuren i to mindre stykker:

For at beregne omkredsen mangler vi længden af siden CD

Af tegningen kan vi se, at den kan bestemmes vha. Pythagoras som:

𝐶𝐷 = 𝐷𝐸^{2} + 𝐶𝐸^{2}

√

Vi ser nu, at:

𝐶𝐸 = 𝐴𝐵 = 8

Og

𝐷𝐸 = 𝐴𝐷 − 𝐴𝐸
= 𝐴𝐷− 𝐶𝐵
= 10 − 4
= 6

Vi får nu:

𝐶𝐷 = 6 + 8^{2}

√^{2}
= √ 36 + 64
= √ 100
= 10

Omkredsen kan nu beregnes som:

𝑂 = 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷
= 8 + 4 + 10 + 10

Side 7

Matematik B STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

7

= 32

Indhegningens omkreds er 32.

Arealet kan bestemmes som arealet af trekant CDE plus arealet af rektanglet med hjørnepunkter ABCE.

𝐴 = 𝑇_{𝐶𝐷𝐸} + 𝐴_{𝐴𝐵𝐶𝐷}
= · 𝐷𝐸· 𝐶𝐸+ 𝐴𝐵· 𝐵𝐶

1

2

= · 6 · 8 + 4 · 8

1

2

= 24 + 32
= 56

Indhegningens areal er 56.