Eksamensprojekt om en indendørs gokartbane | Matematik B

Side 1

Matematikprojekt

Gokart

HTX 2. år

Skole: LTG

Klasse 2. TD

HTX 2. år

2011

Side 2

Indledning

Dette projekt har til formål at foretage beregninger i forbindelse med en gokart bane.

Der skal bruges beregninger om rumfang, infinitesimalregning, vektorer og trigonometri.

Desuden skal vi designe vores egen mållinjeportal hvor vi selv skal bestemme hvilke beregninger der skal laves på den.

Opgaveanalyse og løsningsmodel

Jeg vil se nærmere på del-opgave h i opgave 1.

Det gør jeg fordi at jeg havde en del problemer med at løse den.

Dette er gokartens bane f(x) i et koordinatsystem. Opgaven går ud på at man skal opstille et udtryk for afstanden fra centrum af cirklen til f(x).

Først undersøgte jeg hvordan man kunne bruge tangenter til f(x) og finde afstanden fra den til centrum, da der ikke var nogen ligning for afstanden fra en funktion til et punkt.

Det viste sig dog at man bare skulle bruge afstandsformlen fra et punkt til et andet.

Man tager altså bare afstandsformlen som ses øverst. f(x) indsætter man så i stedet for y. Det gør

1 man fordi at funktion f(x) bestemmer y's værdi. Derfor sidder man så tilbage med en variabel som er

x. Desuden er afstanden kun i intervallet 14.5 til 21.5 fordi at det er de punkter hvor halvcirklen slutter.

Side 3

Opgave 1
a)
Bestem radius af cirkelbuen
egne tal fra programmet:
h[m] = 2.290 m:
V[°] = 19.5°:
h
40
16 m
80 m
b
r
c
16 m − 2.29 m = 13.71 m:
r = b − 13.71 m:
b² + (40 m)² = (b + 13.71 m)²
b² + 1600 m = b² + 27.42 b + 187.964 m:
1600 m − 187.964 m = 27.42 b:
1412.036 m = 27.42 b:
(1412.036 m)/27.42 = b:
b = 51.497 m:
r² = (51.497 m)² + (40 m)²:
r = 65.207 m
r = 65.207 m (1)

Side 4

b)
Indæg det viste tværsnit i et koordinatsystem og bestem cirklens ligning.

20
-80  -60  -40  -20  20  40  60  80
-20
-40
-60
-80
-100
-120

cirklens ligning : (x − a)^2 + (y + b)^2 = r^2 :
Cirklens ligning : (x − 0)^2 + (y + 51.497)^2 = 65.207^2 :

c)
bestem tagets overflade areal
bygningens længde er 120m

første udregnes vinklen c, som set på figuren i overstående opgave og ganges med 2

tan(C) = a/b
tan(C) = (40 m)/(51.497 m) :
tan(C) = 0.7767 :
atan(0.7767) = 37.838° :
C = 37.838° :
C_total = 37.838° · 2 :
C_total = 75.676° :

Side 5

længden af buen udregnes nu ved hjælp af formlen:

b = (2 · π · r)/(360°) · 75.676° :
b = (2 · π · 65.207 m)/(360°) · 75.676° :
b = 86.119 m

nu udregnes tagets areal som en rektangel.

86.119 m · 120 m = 10334.28 m^2
a = 10334.28 m^2
a = 10334.28 m^2                         (2)

d)
Gokarts kører på benzin og for at holde luften i hallen frisk skal den udskiftes 3 gange i timen.
Bestem mængden af luft der skal passerer igennem ventilationssystemet.i kubicmeter per time.

formel = Q_ventilation = n · v_hal

Q_ventilation = den mængde luft der skal skiftes per time.
n = det ønskede luftskifte
v_hal = volumenet af hallen

Først udregnes arealet af cirkelbuen og ganges med længden af hallen :

formel : A = 1/2 · r^2 · ((v · π)/(180°) − sin(v)) :
A = 1/2 · 65.21^2 · ((75.676 · π)/180 − sin(75.676)) :
A = 748.164 m^2 :
v_bue = 748.164 m^2 · 120 m
v_bue = 89779.680 m^3                    (3)
v_kasse = 80 m · 2.29 m · 120 m
v_kasse = 21984.00 m^3                   (4)
v_hal = 89779.680 m^3 + 21984.00 m^3
v_hal = 111763.68 m^{3.00}               (5)

Q_ventilation = 3 · 111763.68 m^3
Q_ventilation = 335291.04 m^{3.00}       (6)
dvs der skal skiftes 335291m^3 luft i timen.

Side 6

e)

y
25
20
15
10
5
0  5  10  15  20  25  30  35  x

En gokart kører en ideallinje, igennem det gråtonede felt er funktionen således:
f(x) = 0.009375 x^3 − 0.3219 x^2 + 2.391 x + 17.92 :
1 ≤ x ≤ 25 :
x er målt i meter :
når f''(x)=0 begynder gokarten at dreje til venstre
bestem koordinaterne til dette punkt
f'(x) = 3 · 0.009375 x^2 − 2 · 0.3219 x + 2.391 :
f''(x) = 2 · 3 · 0.009375 x − 2 · 0.3219 = 0 :
f''(x) = 0.3219/0.028125 = x :

x = 11.445 :

f(x) = 0.009375 · 11.445^3 − 0.3219 · 11.445^2 + 2.391 · 11.445 + 17.92
f(x) = 17.175                            (7)
koordinater (11.445, 17.175)
koordinater (11.445, 17.175)              (8)

f)
bestem længden af kurven ovenfor

formel : L = ∫_1^25 √(1 + f'(x)^2) dx :
kan omskrives til : [2/3 (1 + f'(x)^2)^{3/2}]_1^25 :

f'(x) = 3 · 0.009375 · 25^2 − 2 · 0.3219 · 25 + 2.391
3 · 0.009375 · 25^2 − 2 · 0.3219 · 25 + 2.391
3.874                                    (9)

Side 7

f'(x) = 3 · 0.009375 · 1^2 − 2 · 0.3219 · 1 + 2.391
3 · 0.009375 · 1^2 − 2 · 0.3219 · 1 + 2.391
1.775                                    (10)
evalf(2/3 (1 + 3.874^2)^{3/2})
42.698                                   (11)
evalf(2/3 (1 + 1.775^2)^{3/2})
5.637                                    (12)
L = 42.69817455 m − 5.637401766 m
L = 37.061 m                             (13)

g)
en anden gokart kører gennem svinget med en linje der kan beskrives ved denne funktion:
g(x) = 0.01063 x^3 − 0.3731 x^2 + 2.910 x + 17.45 :
1 ≥ x ≥ 25 :
Gokart nr. 1 følger kurven f og gokart nr 2 følger kurven g.
Begge gokarts har en gennemsnitsfart på 30km/t.
Hvor meget hurtigerer kommer gokart nr. 1 igennem kurven end gokart nr. 2.

først bestemmes længden af kurven g
[2/3 (1 + f'(x)^2)^{3/2}]_1^25 :
g'(x) = 3 · 0.01063 x^2 − 2 · 0.3731 x + 2.910 :

3 · 0.01063 · 25^2 − 2 · 0.3731 · 25 + 2.910
4.186                                    (14)
3 · 0.01063 · 1^2 − 2 · 0.3731 · 1 + 2.910
2196                                     (15)
2/3 (1 + 4.186^2)^{3/2}
53.145                                   (16)
evalf(2/3 (1 + 1^2)^{3/2})
1.886                                    (17)
L = 53.14489124 m − 1.885618082 m
L = 51.259 m                             (18)

Side 8

(30 km/t)/3.6
8.333 km/t                                      (19)

gokart nr 2
30 km/t = 8.333 m/s :
(51.259 m)/(8.333 m/s)
6.151 s                                         (20)

gokart nr 1
(37.061 m)/(8.333 m/s)
4.447 s                                         (21)

for at finde ud af hvor meget langsommerer gokart nr 2 var skal gokart nr 1's tid trækkes fra gokart nr 2's.
6.151 s − 4.447 s
1.704 s

h)
y
25
20
15
10
0  5  10  15  20  25  x
Figur 4
En gokart kører oftes så tæt på banderne som muligt. en del af banderne kan beskrives ved en halvcirkel
som vist på figur 4.
Cirklen kan beksrives med udtrykket (x − 18)^2 + (y − 16)^2 = 3.5^2, y ≤ 12 :
Bestem forskiften for funktionen d(x), x ∈ [14.5; 21.5] der beskriver afstanden fra f til cirklens
centrum.

dist = √((x_2 − x_1)^2 + (y_2 − y_1)^2) :
Nu indsættes cirklens centrum i x_2 og y_2 og på y_1 indsættes f(x) sådan at vores eneste variabel er x

d(x) = √((18 − x)^2 + (16 − (0.009375 x^3 − 0.3219 x^2 + 2.391 x + 17.92))^2), x ∈ [14.5, 21.5]

Side 9

i)
Hvor tæt kommer gokarten på banden i intervallet [14.5; 21.5] når den følger grafen f

d(x) = √((18 − x)^2 + (16 − (0.009375 x^3 − 0.3219 x^2 + 2.391 x + 17.92))^2) − 3.5, 14.5 ≤ x ≤ 21.5

Nu indsættes funktionen for afstanden til banden for at kunne aflæse hvor afstanden er mindst.
plot(√((18 − x)^2 + (16 − (0.009375 x^3 − 0.3219 x^2 + 2.391 x + 17.92))^2) − 3.5, x = 14..22)

1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
14  15  16  17  18  19  20  21  22
x

Nu aflæses hvor afstanden til banden er mindst på grafen og indsættes i funktionen.
x := 21.5
21.500                                          (22)

Derved udregnes minimumsafstanden.

evalf(√((18 − x)^2 + (16 − (0.009375 x^3 − 0.3219 x^2 + 2.391 x + 17.92))^2) − 3.5)
minimumsafstanden til banden = 0.688 m
minimumsafstanden til banden = 0.688 m           (23)

Side 10

j)
Funktionen s der beskriver den tilbagelagte strækning for gokarten som funktion af tiden kan på
langsiden af banen beskrives ved denne forskrift.

s(t) { 2 t^2 + 10 t              0 ≤ t ≤ 3.75
       −4 t^2 + 55 t − 84.375     3.75 < t ≤ 6 } :
farten bestemmes som den afledede af funktionen s
tegn funktion for s'(t)

s'(t) { 4 t + 10                 0 ≤ t ≤ 3.75
        −8 t + 55                3.75 < t ≤ 6 } :

ds(t) := { 4 t + 10              0 ≤ t ≤ 3.75
           −8 t + 55             3.75 < t ≤ 6 }
t → piecewise(0 ≤ t and t ≤ 3.750, 4 t + 10, 3.750 < t and t ≤ 6, −8 t + 55)    (24)
plot(ds(t), discont)

20
15
10
5
−10  −5  0  5  10
t

k)
bestem den største fart gokarten opnår på langsiden

25 km/t, 3.75 s
25 km/t, 3.750 s                                (25)

Side 11

l)
når banderne bliver lagt ind i et koordinatsystem som set nedenfor kan kanten beskrives af funktionen h,
givet ved forskriften

y
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
−3  −2.5  −2  −1.5  −1  −0.5  0.5  1  1.5  2  2.5  3  x

h(x) = (1/x^2), −3 ≤ x ≤ −0.5 og (4), −0.5 < x ≤ 0.5 og 1/x^2, 0.5 < x ≤ 3 :
alle mål er i decimeter

bestem arealet af det grå område.

formelen for arealet under en kurve er givet ved integralet af funktionen. A = ∫_a^b f(x) dx :

kurven udregnes ud fra de tre seperate funktioner, og så ligges det sammen til sidst. Men da den første
kurve og den sidste kurve i koordinatsystemet er ens kan den ganges med to.

A = ∫_{−3}^{−0.5} (1/x^2) dx
[−1/x]_{−3}^{−0.5} = [−1/(−0.5)] − [−1/(−3)]
A_graf := [−1/(−0.5)] − [−1/(−3)]
A_graf = [1.667]                                (26)
A af funktionen 4 kan udregnes som en rektangel.

A_firkant = 4 · 1

A_total = 1.667 dm^2 · 2 + 4 dm^2
A_total = 7.334 dm^2                             (28)
Hvis det skulle være helt korrekt ville arealerne under den første kurve og den sidste ikke være nøjagtigt
den samme, men da ændringen i resultatet ville være marginal, har jeg rundet op.

Side 12

m) bestem vinklen v_ACD

Figur 6 viser en forsimplet geometrisk figur af speederens vandring, når der trykkes på den. Vinklen V er 19.5° og linjestykket fra A til B repræsenterer fjederen, der holder speederen tilbage i hviletilstand. Linjestykket AC repræsenterer fjederen, når der trykkes på speederen svarende til vinklen V. Alle mål er i cm. Vinkel fra program 19.5° Figur 6 A B C D v 10 5 5 8 Figur 7 A B C D v F⃗_1 F⃗_2 F⃗_3

Formel
Cos A = (b² + c² − a²)/(2 · b · c)

nu indsættes tallene fra figur 6
Cos A = (8² + 10² − 5²)/(2 · 8 · 10) :
acos(0.869) = 29.657° :
acos(0.869) = 29.657°                         (29)

A = 29.657°
A = 29.657°                                  (30)
D = 97.932 + 19.5
D = 117.432                                   (31)
D = 117.432°
D = 117.432°                                  (32)

Formel
|d²| = c² + a² − 2 · c · a · cos(D)
Nu indsættes tallene i formlen
|d²| = 8² + 5² − 2 · 8 · 5 · cos(117.432)
|d|² = 118.505                                (33)
|d²| = 118.404 :
Nu ophæves potensen
|d| = √118.505
|d| = 6.708                                   (34)
|d| = 10.886 cm
|d| = 10.886 cm                               (35)

Formel
C = 180 − (A + D)
C = 32.911
C = 32.911                                    (36)

Side 13

n) F⃗_1 F⃗_2 F⃗_3 Figur 8

Summen af kræfterne på figur 7, |F⃗_1| + |F⃗_2| + |F⃗_3| = 0 som illustreret på figur 8.
|F_1| er fjederens træk i speederen
|F_2| og |F_3| sidder vinkelret på hinanden.
bestem |F⃗_1| og |F⃗_2| når |F⃗_3| = 3 N

∠F_3 = 180° − 90° − C
Nu indsættes C fra opgaven m
∠F_3 = 180° − 90° − 32.911°
∠F_3 = 57.089°

Formel
|F⃗_2| = (|F⃗_3|/sin(∠F_3)) · sin(C)
Nu Indsættes tallene
|F⃗_2| = 3 N/sin(57.089)
|F⃗_2| = 3.753 N
|F⃗_2| = 3.753 N

Nu udregnes |F_1| ved hjælp af pythagoras
formel
|F⃗_1| = √(|F⃗_3|² + |F⃗_2|²)
Nu indsættes tallene
|F⃗_1| = √(3² + 3.753²)
|F⃗_1| = 4.805

Side 14

Opgave 2
20m
4m
B
A
5m
10m
Dette er et tværsnit af mållinjeportalen. Den er 5 meter dyb.
Først vil jeg udregne Trekanten givet ved ABC.
a = 4 m:
b = 10 m:
Udregnes ved hjælp af pytagoras
c² = a² + b²:
c² = 4² + 10²
c² = 116 (37)
evalf(c = √116 m)
c = 10.770 m (38)

Side 15

Nu udregnes vinklerne

C = 90° :
A = acos(10/10.77) :
A = 21.797°
A = 21.797°                                  (39)
B = 180 − (A + C) :
B = 180 − (21.797 + 90)
B = 68.203                                    (40)
B = 68.203°
B = 68.203°                                   (41)

Højden fra banen til bunden af elipsen kan udreges
  evalf(h = 10 m − (5 m)/2)
h = 7.500 m                                   (42)
Arealet af Elipsen kan også udregnes.
a = halvdelen af den store akse :
b = halvdelen af den lille akse :
  evalf(A = π · (20 m)/2 · (5 m)/2)
A = 78.540 m²                                 (43)
Nu kan rumfanget af elipsen udregnes da vi ved at den er 5 meter dyb.
V = 78.54 m² · 5 m
V = 392.700 m³                                (44)
Excentriteten af elipsen kan også udregnes.
formlen er således:
e = √(1 − b²/a²) :
e vil ligge imellem 0 og 1. 0 er en helt rund cirkel og 1 vil være en cirkel så udstrækt at den er blevet til
en lige linje imellem to punkter. Derfor kan e kun være imellem 0 og 1.
e = √(1 − 2.5²/10²)
e = 0.968                                     (45)
Heraf kan vi se at elipsen er meget flad.

Omkredsen af elipsen kan også udregnes således:
O ≈ 2 · π · √((a² + b²)/2) :
O ≈ 2 · π · √((10² + 2.5²)/2) :
O = 45.796 m
O = 45.796 m                                  (46)

Side 16

Elipsen kan også indsættes i et koordinatsystem, hvorved man kan bestemme dens ligning.

8 6 4 2 −2 −4 −6 −8 a b 0 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

lingningen for en elipse er således:
1 = (x − x_0)²/a² + (y − y_0)²/b² :
for en elipse med centrum i (0, 0) vil x_0 og y_0 være lig 0 og derfor kan de slettes fra ligningen. for
elipsen ovenfor vil den se således ud.

1 = x²/10² + y²/2.5² :

Side 17

Vurdering resultaterne i opgave 1

a) er blevet udregnet ved hjælp af pythagoras, og siden den formel er bevist at være korrekt på resultatet være rigtigt.

b) er en meget simpel opgave hvor man skal lave cirklens ligning. Det krævede bare at aflæse på koordinatsystemet og indsætte det i cirklens ligning. Det resultat må være rigtigt.

c) der to formler til, den ene var formlen for længden af et buestykke. Formlen er meget simpel og er sådan set bare en modificeret version af formlen for at udregne omkredsen af en cirkel. Efter det

krævede det ikke mere end formlen for arealet af en firkant. a*b.

d) denne opgave krævede bare at man skulle finde rumfanget af hallen og gange det med tre. Den

tricky del af denne opgave var sådan set bare at finde ud af hvad 3 time^{-1} betød, men fordi at det
svare til en over tre, altså 1/3, skulle luften skiftes tre gange i timen.

e) denne opgave var også ret lige til. Den krævede bare at man brugte differential regnings reglerne

og så sætte det =0 og isolerer x. Så kunne man sætte x ind i f(x) og så have man to koordinater. Der

var ikke meget der kunne gå galt.

f) denne opgave krævede brugen af formlen for længden af f(x) så længe formlen er korrekt, må resultatet også være rigtigt.

g) dette var præcis samme opgave, bare med en anden funktion, g(x). Så skulle man bare omregne

km/t til m/s, men siden det er noget vi har brugt meget i fysik var det ret ligetil. Resultaterne i denne

opgave er teoretisk set korrekt, men forskellen i hvor hurtigt de to gokarts kører igennem svinget er meget stor. Køreren af gokart nr. 2 er nødt til at have lavet en fejl i det sving for at kunne tage en linje der var så markant langsommere end gokart nr. 1.

h) er beskrevet i opgaveanalysen, men da opgaven sådan set er meget lige til kan resultatet kun være rigtigt.

i) opgaven var ret simpel. Det sværeste var at få Maple 14 til at lave funktionen. Resten af opgaven var ikke svær. Desuden brugte jeg Maple til at regne det ud så, så længe at Maple fungerer kan resultatet kun være rigtigt.

k) krævede ikke andet end at man aflæste det på grafen fra opgaven ovenfor. Resultatet er nødt til at være rigtigt.

i) det var en simpel integralregnings opgave som ikke krævede mere end at kunne integrerer. Jeg har dog afrundet i udregningerne, som gør at resultatet ikke er 100% rigtigt, men opgaven ville være blevet en del mere kompliceret hvis jeg ikke havde gjort det, i forhold til en lille ændring på de sidste decimaler.

m) en opgave der krævede brug af cosinus-relationerne. Der kan ske at man tager fejl af nogle længder, men resultatet ser meget rigtigt ud og den er blevet regnet igennem to gange.

n) Resultaterne ser rigtige ud, og det samme gør udregningerne.

opgave 2

I opgave 2 lavede jeg et design og fandt på nogle mål sådan at det var muligt at udregne noget.

Alle udregninger er tjekkede og er korrekte.

Side 18

Evaluering

Denne rapport har været meget interessant at arbejde med, blandt andet fordi at jeg er meget interesseret i motorsport, og det gjorde det da ekstra interessant at projektet handlede om gokarts og noget med racerbaner.

Desuden var opgave 2 meget sjov at lave, at man selv kunne sidde og pusle med det. Jeg synes at det var svært at få brugt integralregning og differential regning til noget i denne opgave, hvilket var ærgerligt, da det havde været en god afslutning på projektet og vores forløb med integralregning.

Det var et lidt stresset projekt da det ikke var det eneste eksamensprojekt vi havde for. Det har måske forringet kvaliteten en smule, i hvert fald har det stresset mig en del. Dog har jeg planlagt min tid bederer i forhold til sidste projekt, og det har lettet arbejdsbyrden.