Stx Matematik B 24. maj 2011 | Uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 2stx111-MAT/B-

Delprøven uden hjælpemidler Stx matematik B 24. maj

2011

Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling

stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Bemærk at formelsamlingen må ikke medbringes til selve prøven uden hjælpemid-ler.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 1 (Løs førstegradsligning)

𝑓(2) bestemmes ved indsættelse af 𝑥 = 2 i ligningen

𝑓(2) = 3 · 2 − 7 = −1

𝑓(2) er dermed 7.

Ligningen løses

𝑓(𝑥) = 17

⇕

3𝑥 − 7 = 17

⇕

3𝑥 = 24

⇕

𝑥 =

24

3

⇕

𝑥 = 8

Løsningen på ligningen 𝑓(𝑥) = 17 er således: 𝑥 = 8

Opgave 2 (Bestem tallene 𝑎 og 𝑏 i eksponentiel funktion)

Da funktionen 𝑓(𝑥) = 𝑏 ·𝑎^{𝑥} går gennem punkterne P (0, 8) og 𝑄(3, 64), ved vi at følgende
to ligninger gælder: 8 = 𝑏 ·𝑎^{0} og 64 = 𝑏 ·𝑎^{3}. Da 𝑎^{0} = 1 for alle værdier af 𝑎 får vi fra første

1

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 2stx111-MAT/B-

ligning 8 = 𝑏 ·𝑎^{0} = 𝑏 ·1 = 𝑏. Vi indsætter nu den fundne værdi for 𝑏 i anden ligning.

64 = 8 ·𝑎^{3}

⇕

64

8

= 𝑎^{3}

⇕

√_{3}
8 = 𝑎

⇕

𝑎 = 2

Vi har dermed bestemt tallene til 𝑎 = 2 og 𝑏 = 8.

Her skal man ikke gå kold selvom man skal tage den tredje rod af 8 - man må bare

prøve sig frem 2 · 2 · 2 = 8 - ja der var den!

Man kan også benytte formel 57 til at bestemme a, men vi foretrækker altid at løse to ligninger med to ubekendte, da man så ikke behøver at huske formlen. I dette tilfælde er det let at løse to ligninger med to ubekendte, da b er direkte givet i første ligning.

Opgave 3 (Bestemmelse af sidelængde i retvinklet trekant)

Vi kalder punktet hvor højden fra C på siden AD står på siden AD for E.

Vinkel E i firkant ABCE er ret, da alle øvrige vinkler i firkanten er rette. Dermed er

vinkel E i trekanten CDE også ret. Vi har dermed at |𝐷E| = |A𝐷|−|B𝐶| = 9 −6 = 3 og
|𝐶E| = |AB| = 4.

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 2stx111-MAT/B-

Da trekant CDE er ret kan vi bruge Pytagoras til at bestemme |CD| (jf. formel 21):

|𝐶𝐷|^{2} = |𝐷E|^{2} + |E𝐶|^{2}

⇕ den negative løsning udelades da |𝐶𝐷| > 0

|𝐶𝐷| = |𝐷E|^{2} + |E𝐶|^{2}

√

⇕

|𝐶𝐷| = 3^{2} + 4^{2}

√

⇕

|𝐶𝐷| = 25

√

⇕

|𝐶𝐷| = 5

Opgave 4 (Løsning af andengradsligning)

Da der er tale om en andengradsligning beregner vi først diskriminanten (jf. formel 39)

𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐 = (−3)^{2} − 4 · 1 · 2 = 9 − 8 = 1

Da 𝑑 > 0 har ligningen to løsninger som er givet ved

𝑥 =

−𝑏 ± 𝑑

√

2 · 𝑎

⇕

𝑥 =

−(−3) ± 1

√

2

⇕

𝑥 =

3 ± 1

2

⇕

𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2

Opgave 5 (Bestem 𝑓^{′} (𝑥))

𝑓^{′} (𝑥) = 3𝑒^{𝑥} + 5𝑥^{7}

()_{′}

(jf. formel 72)

= (3𝑒^{𝑥})^{′} + 5𝑥^{7}

()_{′}

(jf. formel 71)

= 3 (𝑒^{𝑥})^{′} + 5 𝑥^{7}

()_{′}

(jf. formel 75,78)

= 3𝑒^{𝑥} + 35𝑥^{6}

3

Side 4

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX B 2stx111-MAT/B-

Opgave 6 (Bestem 𝑁^{′} (10) (ved tangents hældning))
Vi kan bestemme N^{′} (10) ved at bestemme hældningen for tangenten til grafen for N i

punktet (10, N(10)). Tangenten indtegnes på bilaget og to punkter på tangenten aflæses til (6, 100) og (15, 1000).

Hældningskoefficienten 𝑎 for tangenten bestemmes som (jf. formel 30):

𝑎 =

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}

punkterne indsættes

𝑎 =

1000 − 100
15 − 6

⇕

𝑎 = 100

Vi har dermed at N^{′} (𝑡) = 100. Dette betyder, at antallet af individer i den pågældende
population vokser med 100 indvider pr. døgn til tiden 𝑡 = 10 døgn.

4