HF Matematik B 1. juni 2015 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

1

HF Matematik B 1. juni 2015

Delprøven med hjælpemidler

hfe151-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 7 a)

Vi indsætter data’et i et koordinatsystem og foretager en lineær regression:

Ud fra tendenslinjes forskrift, kan vi aflæse værdierne for a og b:

y = 0,3785x + 3,2848
R² = 0,9995

0

5

10

15

20

25

45 50

Antal brugere (mio)

Antal måneder

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

2

𝑎 =0,3785

𝑏 =3,2848

b)

Tallet a angiver, at ifølge modellen vokser antallet af brugere med 0,3785 mio. pr. måned. Stigningen i antallet af brugere i løbet af 12 måneder bestemmes:

12 · 0,3785=4,542

Ifølge modellen vokser antallet af brugere af Plaxo med 4,542 mio. i løbet af 12 måneder.

c)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔0,3785𝑥 + 3,2848

Vi beregner hvor mange måneder der går fra september 2004 til september 2014:

𝑥 =10 · 12
=120

Vi bestemmer den tilhørende funktionsværdi:

𝑓 ( 120) =48,7048

Ifølge modellen var der 48,7 mio. brugere i september 2014. Resultatet beregnet ud fra modellen stemmer nogenlunde overens med det faktiske tal. Afvigelsen viser dog, at tilvæksten i antallet af brugere er større, end hvad modellen forudsagde.

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

3

Opgave 8 a)

Vi opstiller først en model, der beskriver sammenhængen mellem y, der er mængden af træ i indhegningen,

og x, der er tiden målt i år efter det tidspunkt, hvor der var 6000 m^{3} træ. Da mængden af træ vokser med

3% om året, er der tale om eksponentiel vækst. Vi opstiller derfor en model på formen

𝑦 = 𝑏· ( 1 + 𝑟)^{𝑥}

b er begyndelsesværdien, dvs. mængden af træ i begyndelsen, så b = 6000.

r er den årlige procentvise stigning i mængden af træ, så r = 3% = 0,03.

Sammenhængen mellem x og y kan altså beskrives ved:

𝑦 = 6000 · ( 1 + 0,03)^{𝑥}

Vi beregner mængden af træ efter 5 år, dvs. når x = 5:

𝑦 = 6000 · ( 1 + 0,03)^{5}

≈6955,644

5 år senere indeholder indhegningen 6955,6 m^{3} træ.

b)

Vi opstiller en ny model, der beskriver sammenhængen mellem mængden af træ, y, og tiden, x, målt fra det

tidspunkt, hvor træerne fældes. Mængden af træ bliver reduceret til 4000 m^{3}, så b = 4000. Mængden af træ
øges stadig med 3% om året, så r = 0,03.

Sammenhængen mellem x og y er nu givet ved:

𝑦 = 4000 · ( 1 + 0,03)^{𝑥}

Antallet af år der går, før der igen er 6000 m^{3}, bestemmes ved at løse ligningen y = 6000:

6000=4000· ( 1 + 0,03)^{𝑥}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 =13,71724

Der går 13,7 år efter fældningen af træerne, før der igen er 6000 m^{3} træ i indhegningen.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

4

Opgave 9 a)

Vi sætter x = 10 og beregner y:

𝑦 =241 · 10^{−0,25}

≈135,5243

Et dyr på 10 kg har, ifølge modellen, en hvilepuls på 135,5 hjerteslag pr. minut.

For at bestemme vægten af et dyr med en hvilepuls på 90 slag pr. minut, sætter vi y = 90 og isolerer x:

90=241 · 𝑥^{−0,25}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 =51,41598

Et dyr med en hvilepuls på 90 hjerteslag pr. minut vejer 51,4 kg, ifølge modellen.

b)

Dyr A vejer dobbelt så meget som dyr B, så A’s vægt er 100% større end B’s vægt. Når vægten, x, er 100%

større, så er hvilepulsen, y, r % større. Sammenhængen mellem r = 100% og r er givet ved:

y x y

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

Vi aflæser a = -0,25 i ligningen og omskriver r til decimaltal:

x

𝑟_{𝑥} =100%=1,0

Værdien af a og r x y indsættes i ligningen og r bestemmes:

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 1)^{−0,25}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} =−0,1591036

Ifølge modellen er A’s hvilepuls 15,9% lavere end B’s hvilepuls.

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

5

Opgave 10 a)

Vi definerer funktionen og det gældende interval:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥− 𝑥+ 7
√

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑥 > 0

Vi sætter den differentierede ligning lig nul og isolerer for x:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 =

1

4

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥− 𝑥+ 7
√

Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af nulpunktet:

𝑓^{′} ( 0,2) ≈0,118034

𝑓^{′} ( 0,3) ≈−0,08712907

Vi sammenfatter dette i en monotonilinje: 𝑥 ¼

𝑓^{′} ( 𝑥) 0

+ -

𝑓 ( 𝑥) ↗ ↘

Vi kan dermed opstille følgende monotoniforhold for f, hvor det er gældende at x>0:

                         1
f er voksende i intervallet: ]0, [
                         4

                       1
f er aftagende i intervallet ] ,∞[
                       4

                    1
f har maksimum for 𝑥 =
                    4

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

6

Opgave 11 a)

Vi opstiller trekant ABC og bestemmer længden AB vha. WordMats trekantløser:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 90° , b = 43,6 , a = 30,2

B C = 90°
B = 55,29118°
A = 34,70882°

c = 53,03772
b = 43,6
a = 30,2

Længden af siden c findes vha. Pythagoras.

𝑐 = 𝑎 + 𝑏^{2}

√^{2}
= √ 30,2^{2} + 43,6^{2}
=53,03772

Længden AB er 53 meter.

Vinkel A bestemmes vha. tangens:

𝐴 = tan^{−1} ()

𝑎 𝑏

=tan^{−1} ()

30,2

43,6

=34,70882°

Vinkel A er 34,7^{o}

b)

Vi bestemmer vinkel A i trekant ABD:

𝐴_{1} =90 − 34,70882
=55,29118

Vi kender nu to vinkler om en side i trekant ABD og kan derved bestemmes længden AD. Vi benytter WordMats trekantløser:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 57,6° , A = 55,29118° , AB = 53,03772

C b A a c

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

7

D B = 57,6°
D = 67,10882°
A = 55,29118°

AD = 48,60945
AB = 53,03772
BD = 47,32724

Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐷 = 180° − 𝐵− 𝐴
=180° − 57,6° − 55,29118°
=67,10882°

Længden af siden AD findes vha. sinusrelationerne

𝐴𝐷 = 𝐴𝐵·

sin ( 𝐵) sin ( 𝐷)

=53,03772 ·

sin ( 57,6°) sin ( 67,10882°)

=48,60945

Skorstenen er 48,6 meter høj.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

B AB A

BD AD

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

8

Opgave 12 a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔4𝑥^{2} − 𝑥^{4}

Vi sætter funktionen lig nul og isolerer for x:

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 =−2 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 2

Vi har nu beregnet funktionens skæring med y-aksen. Vi plotter funktionen i GeoGebra: b)

Tangenten for funktionen f gennem punktet (x

0 0

, f(x

)) er givet på følgende form:

𝑦 =𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

𝑦 = 𝑓^{′} ( −2) · ( 𝑥− ( −2)) + 𝑓 ( −2)

Forskriften for tangent er følgende:

𝑦 =16 · 𝑥+ 32

Side 9

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 1. juni 2015

9 c)

Grænseværdierne a og b er følgende:

𝑎 =0

𝑏 =2

Vi bestemmer længde af grafen ud fra den givne formel:

𝐿 = ∫ 1 + ( 𝑓^{′} ( 𝑥))^{2} 𝑑𝑥

√

2

0

≈8,429213

Længden af f i første kvadrant er 8,43.