HF Matematik B 14. august 2007 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. august 2007

1

HF Matematik B

14. august 2007

HFE072-MAB

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver med hjælpemidler er for så vidt muligt regnet med WordMat. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1 a)

Vi differentierer:

𝑓^{′} ( 𝑥) = ( 2𝑥^{3} + 𝑥− 5)^{′} (𝐼)
=6𝑥^{2} + 1

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝑓′(𝑥)

𝑘𝑥^{𝑛} 𝑘· 𝑛𝑥^{𝑛−1}

𝑘𝑥 𝑘 𝑘 0

Opgave 2 a)

𝐶 =

𝐹− 32

1,8

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. august 2007

2

⇕

𝐶· 1,8= · 1,8

( 𝐹− 32)

1,8

⇕

𝐶· 1,8=𝐹− 32

⇕

𝐹=𝐶· 1,8 + 32

Opgave 3 a)

𝑥^{2} + 2𝑥− 3=0

Vi løser ligningen vha. diskriminanten:

𝑑=𝑏^{2} − 4𝑎𝑐
=2^{2} − 4 · 1 · ( −3)
=4 + 12
=16

Vi bestemmer rødderne ved:

𝑥_{1} =

−𝑏+ √ 𝑑
2 · 𝑎
=

−2 + √ 16
2 · 1
=

−2 + 4

2

=

2

2

=1

Og:

𝑥_{2} =

−𝑏− √ 𝑑
2 · 𝑎
=

−2 − √ 16
2 · 1
=−

6

2

=−3

Løsningen x = -3 og x = 1 er løsning til ligningen.

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. august 2007

3

Opgave 4

𝑓 ( 𝑥) =𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

a) a: Fortegnet for a er negativt, da grafen for parablen er konkav.

c: Fortegnet for c er positivt, da parablen skærer y-aksen i en positiv værdi.

d: fortegnet for d er positivt, da parablen har to skæringer med x-aksen dvs. parablen har to løsninger.

Opgave 5

𝑓 ( 𝑥) =3𝑒^{𝑥} + 4

( 0,2) a)

Vi bestemmer stamfunktionen til f:

𝐹 ( 𝑥) = ∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

=∫ ( 3𝑒^{𝑥} + 4) 𝑑𝑥 (𝐼)
=3 · 𝑒^{𝑥} + 4𝑥+ 𝑘

Vi indsætter punktet (0, 2) og bestemmer k:

2=3 · 𝑒^{0} + 4 · 0 + 𝑘

⇕

2=3· 1 + 𝑘

⇕

2 − 3=𝑘

⇕

𝑘=−1

Vi opskriver stamfunktionen til f, der går gennem (0, 2):

𝐹 ( 𝑥) =3 · 𝑒^{𝑥} + 4𝑥− 1

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝐹(𝑥)

𝑘𝑒^{𝑥} 𝑘𝑒^{𝑥}

𝑘 𝑘𝑥

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. august 2007

4

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 6 a)

Sammenhængen kan beskrives vha. en lineær funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b ved lineær regression:

Vi opstiller tabel med date og foretager regression:

År efter 1999 Produktion af ved varende energi

(målt i TJ)

0 6681

3 9311

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=876,6667𝑥 + 6681

Tallet a og b aflæses fra regressionsligningen. Tallet a aflæses til 876,7 (afrundet til 1 decimal), og tallet b aflæses til 6681.

Vi beskriver konstanten a:

Tallet a er hældningskoefficienten, og er aflæst til 876,6. Den beskriver, hvordan funktionen udvikler sig.

Ifølge modellen vokser produktionen af vedvarende energi med 876,6 TJ for hvert år efter år 1999.

(afrundet til 1 decimal).

b)

Vi definerer modellen:

𝑓 ( 𝑥) ≔876,6667𝑥 + 6681

Vi bestemmer f():

𝑓 ( 2005 − 1999) ≈11941

Ifølge modellen vil produktionen af vedvarende energi i år 2005 være af størrelsen 11941 TJ.

Vi kommenterer modellen:

Sammenligner vi den faktiske produktion af vedvarende energi i år 2005 på 10417 TJ, står det klart at det faktiske tal er væsentligt lavere end tallet på 11941 TJ forudsagt af modellen. Vi kan konkludere at produktionen af vedvarende energi i virkeligheden foregår med end lavere hastighed end forudsagt af modellen.

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. august 2007

5

Opgave 7 a)

Vi bestemmer vinkel C og vinkel B med WordMats trekantsløser.

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 51°, BC = 6,9, AB = 4,5

B A = 51°
B = 98,54681°
C = 30,45319°

BC = 6,9
AC = 8,780042
AB = 4,5

Længden af siden AC findes vha. en cosinusrelation

𝐵𝐶^{2} =𝐴𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 2𝐴𝐶· 𝐴𝐵· cos ( 𝐴)

2. gradsligningen løses for AC og har to løsninger:

𝐴𝐶 =𝐴𝐵· cos ( 𝐴) + √ 𝐵𝐶^{2} − 𝐴𝐵^{2} · sin ( 𝐴)^{2}
=8,780042
𝐴𝐶_{2} =𝐴𝐵· cos ( 𝐴) − √ 𝐵𝐶^{2} − 𝐴𝐵^{2} · sin ( 𝐴)^{2}
=−3,116158

Men den anden løsning er negativ, og vi kan jo ikke have negative sidelængder.

Vinkel B findes vha. en cosinusrelation

𝐵=cos^{−1} ()

𝐵𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 𝐴𝐶^{2}
2 · 𝐵𝐶· 𝐴𝐵

=cos^{−1} ()

6,9^{2} + 4,5^{2} − 8,780042^{2}
2 · 6,9 · 4,5
=98,54681
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐶=180° − 𝐴 − 𝐵
=180° − 51° − 98,54681°
=30,45319°

Vinkel C er bestemt til 30,45°, og vinkel B er bestemt til 98,55° (afrundet til 2 decimaler).

b)

Længden af medianen m_{a} går fra vinkel A til midten af siden BC. Vi bestemmer længden af medianen m_{a} i

WordMats trekantsløser.

Vi beregner siden ½ BC:

A AC C

AB BC

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. august 2007

6

1 1

2 2

· 𝐵𝐶= · 6,90=3,45

Vi indsætter i WordMats trekantsløse.

WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 98,55°, BC = 3,45, AB = 4,50

B A = 34,23815°
B = 98,55°
C’ = 47,21185°

BC’ = 3,45
m_{a} = 6,063727
AB = 4,5

Længden af siden m_{a} findes vha. en cosinusrelation
𝑚_{𝐴} = √ 𝐵𝐶′^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 2 · 𝐵𝐶′ · 𝐴𝐵· cos ( 𝐵)
= √ 3,45^{2} + 4,5^{2} − 2 · 3,45 · 4,5 · cos ( 98,55°)
=6,063727

Længden af medianen m_{a} er bestemt til 6,1 (afrundet til 1 decimaler).

A m_{a} C’

AB BC’

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. august 2007

7

Opgave 8 a)

Vi definerer funktionen: 𝑓 ( 𝑥) ≔

89000

1 + 0,263 · 𝑒^{−0,211·𝑥}

Vi bestemmer f():

𝑓 ( 2010 − 2005) ≈81533,59

Ifølge modellen vil antallet af elever i 2010 være 81534 (afrundet til hel elev).

Væksthastigheden i 2010 bestemmes ved f’():

𝑓^{′} ( 2010− 2005) ≈1443,247

Differentialkvotienten er bestemt til 1443,25.

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. august 2007

8

Opgave 9 a)

Begge svar er aflæst fra grafen:

• Når vindhastigheden er 4,0 m/s, er vindmøllens effekt ca. 55 kW. (blå streg).
• Når møllens effekt er 1400 kW, er vindhastigheden ca. 10,5 m/s. (grøn streg).

Side 9

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. august 2007

9

Opgave 10 a)

Sammenhængen kan beskrives vha. en eksponentialfunktion, vi bestemmer derfor tallene a og b ved eksponentielregression.

Tabel med data opstilles, og der foretages regression:

Temperatur (°C) 0 8 15 25

Holdbarhed (døgn) 300 80 28 6

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9996187

𝑦=290,8715 · 0,8556705^{𝑥}

Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen:

Tallet a er bestemt til 0,856, og tallet b er bestemt til 290,872 (afrundet til 3 decimaler).

b)

Halveringskonstanten bestemmes ved:

𝑇 =

1

2 log()

1

2 log ( 𝑎)

=

log()

1

2 log ( 0,8556705)

≈4,44696

Halveringskonstanten er bestemt til 4,45. Ifølge modellen vil holdbarheden for rejer i lage halveres, når temperaturen falder med 4,45 °C (afrundet til 2 decimaler).

Side 10

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. august 2007

10

Opgave 11 a)

Vi beskriver sammenhængen ved:

ℎ_{𝑏} =𝑘· 𝑉^{2}

Hvor h_{b} er højden på bølgen, V^{2} er kvadratet på vindhastigheden, og k er en konstant.

Side 11

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. august 2007

11

Opgave 12 a)

Vi definerer funktionen og definitionsmængden, samt førstekoordinaten for punktet: 𝑥>0

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥^{2} − 5𝑥 + 4 + 2 ·ln ( 𝑥)

𝑥_{0} ≔3

Vi bestemmer ligningen for tangenten i punktet P(3, f(3)):

𝑦_{𝑡} =𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
≈1,666667· 𝑥− 4,802775

En ligning for tangenten til f i punktet P(3, f(3)) er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

Vi tegner grafen i GnuPlot:

Vi foretager en funktionsundersøgelse.

Vi bestemmer først evt. ekstrema samt vendetangenter:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Side 12

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. august 2007

12

𝑥=0,5 ∨ 𝑥=2

Vi undersøger differentialkvotienten på begge sider af punkterne:

𝑓^{′} ( 0,2) =5,4

𝑓^{′} ( 1) =−1

𝑓^{′} ( 3) = ≈1,666667

5

3

Vi opskriver monotoniforholdet for f:

f er voksende i intervallet ]0; 0,5] og [2; ∞[

f er aftagende i intervallet [0,5; 2]

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 13

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. august 2007

13

Opgave 13 a)

Vi definere funktionen:

𝑦=𝑓 ( 𝑥) ≔−0,030𝑥^{2} + 3,6𝑥

Vi tegner funktionen:

Vi bestemmer målrammens bredde ved:

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0 ∨ 𝑥=120

Vi kan være sikre på at parablens nulpunkter betegner målets bredde da y ≥ 0 i hele intervallet [0; 120]

Vi bestemmer målrammens højde som parablens toppunkt. Vi kan være sikre på at f’(x) = 0 resulterer i

førstekoordinaten for parablens toppunkt, da de udgår fra forskriften af parablen er konkav.

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

Side 14

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. august 2007

14

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=60

Anden koordinaten for parablens toppunkt betegner målets højde:

𝑓 ( 60) =108

Målets højde er bestemt 108 cm, og målets bredde er bestemt til 120 cm.

b)

Vi bestemmer arealet af målrammen ved det bestemte integral for y i intervallet [0; 120]:

𝐴_{𝑚å𝑙} =∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

120

0

=8640

Arealet af målet er bestemt til 8640 cm^{2}.