HF Matematik B 15. august 2017 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

1

HF Matematik B

15. august 2017

hfe172-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 8

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

2

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1 a)

𝑥^{2} + 3=11

Vi undersøger om x = 4 er en løsning til ligningen:

4^{2} + 3
=16 + 3
=19
≠11

Vi kan konkludere, at x = 4 ikke er en løsning til ligningen.

𝑝 · ( 𝑝^{2} + 𝑞) − 𝑝 · 𝑞

Vi reducerer udtrykket:

𝑝 · ( 𝑝^{2} + 𝑞) − 𝑝 · 𝑞
=𝑝^{3} + 𝑝𝑞− 𝑝𝑞
=𝑝^{3}

Opgave 2 a)

Vi har, at sammenhængen kan beskrives lineært, da udviklingen sker med en fast størrelse for hver måned.

𝑉 ( 𝑥) =𝑎𝑥+ 𝑏

Vi indfører passende variable:

V(x) betegner personens vægt (malt i kg.) til x antal måneder efter start.

x betegner x antal måneder efter start.

b betegner personens vægt ved start, dvs. b er lig 42 (malt i kg).

a betegner, hvor meget personens vægt vokser med om måneden, dvs. a er lig 1,25 (malt i kg.)

Vi opstiller et udtryk for V som funktion af x:

𝑉 ( 𝑥) =1,25𝑥+ 42

Vi bestemmer, hvor mange måneder, der går før at personens vægt er oppe på 52 kg, ved at løse for x i V(x)

= 52:

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

3

52=1,25𝑥 + 42

⇕

52 − 42=1,25𝑥+ 42 − 42

⇕

𝑥=

10

1,25

=8,0

Ifølge modellen, går der 8 måneder, før at personens vægt er oppe på 52 kg.

Opgave 3 b)

Vi bestemmer tallet f’(4), som hældningen til tangenten til grafen for f i punktet x = 4. På bilaget aflæser vi

to punkter på tangenten til hhv. (3; 5,5) og (4; 3). Vi bestemmer hældningen til tangenten ved:

𝑎=

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}
=

3 − 5,5
4 − 3
=

−2,5

1

=−2,5

Tallet f’(4) er bestemt til -2,5.

Vi har, at den afledede funktion f’ betegner udviklingen for tangentens hældning til grafen for f, dvs. at

løsningerne til f’(x) = 0 betegner 1. koordinaterne til de steder på grafen for f, hvor tangentens hældning til

grafen er lig 0, dvs. der hvor tangenten er vandret. På bilaget aflæser vi 1. koordinaterne til de vandrette tangenter (se evt. skitse, skitsen er ikke et krav til eksamen):

Vi har, at løsningerne til f’(x) = 0 er aflæst til x = -1 og x = 3.

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

4

Opgave 4

𝑓 ( 𝑥) =𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

( 2,4)

Tallet c betegner grafens skæring med y-aksen, dvs. når c er positiv, så skal grafen skærer y-aksen i en positiv værdi. Da diskriminanten d er positiv har andengradspolynomiet to rødder, dvs. at grafen skal skære x-aksen i to punkter.

Vi tegner en mulig graf for f med informationen beskrevet herover in mente og med toppunkt i T(2, 4).

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

5

Opgave 5 a)

∫ ( 𝑒^{𝑥} + 15𝑥^{2}) 𝑑𝑥

Vi løser integralet:

∫ ( 𝑒^{𝑥} + 15𝑥^{2}) 𝑑𝑥 =𝑒^{𝑥} + 15 · 𝑥^{3} (𝐼)

1

3

=𝑒^{𝑥} + 5𝑥^{3}

(I): Stamfunktioner 𝑓 ( 𝑥) 𝐹 ( 𝑥)

𝑒^{𝑥} 𝑒^{𝑥}
𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

Opgave 6 a)

Vi bestemmer en lineær sammenhæng f(x) = ax + b. Vi bestemmer a ved:

𝑎=

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

6

=

8 − 4
1 − 0
=

4

1

=4

Vi ser, at y er lig 4, når x er lig 0, dvs. b er lig 4. Vi opstiller en lineær model:

𝑓 ( 𝑥) =4 · 𝑥+ 4

Vi bestemmer f(x), når x = 2, dvs. f(2):

𝑓 ( 2) =4 · 2 + 4
=12

Vi bestemmer en eksponentiel sammenhæng f(x) = b · a^{x}. Vi bestemmer a ved:

𝑎=

1
√

2 𝑦_{2}
𝑦_{1}

𝑥 −𝑥

=

√

8

4

1−0

=

√^{1}

8

4

= √^{1} 2
=2

Vi ser, at y er lig 4, når x er lig 0, dvs. b er lig 4. Vi opstiller en eksponentiel model:

𝑓 ( 𝑥) =4 · 2^{𝑥}

Vi bestemmer f(x), når x = 2, dvs. f(2):

𝑓 ( 2) =4 · 2^{2}
=4 · 4
=16

Vi udfylder tabellen:

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

7

Vi begrunder svarene.

Den lineære model vokser konstant med en værdi på 4 for hvert x.

Den eksponentielle model fordobler sin foregående værdi for hvert x. Dette indses ved vækstraten:

𝑟= ( 𝑎− 1) · 100%
= ( 2 − 1) · 100%
=100%

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

8

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 7 a)

Det er oplyst, at udviklingen sker eksponentielt, vi bestemmer derfor tallene a og b med eksponentiel regression.

𝑓 ( 𝑡) =𝑏· 𝑎^{𝑡}

Vi opstiller tabel med data og foretager eksponentiel regression:

Årstal | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014
Antal år | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5

efter år

2009

Reklametid i | 1822 | 2060 | 2560 | 2917 | 3607 | 4165

minutter pr.

dag

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,

𝑦=1790,4952 · 1,1851344^{𝑥}

Vi aflæser tallene a og b fra regressionsligningen herover.

Tallet a er bestemt til 1,19 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b er bestemt til 1790,50 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi definerer konstanten a: 𝑎≔1,1851344

Vi bestemmer fordoblingskonstanten ved:

𝑇_{2} =

log ( 2) log ( 𝑎)

≈4,0807886

Fordoblingskonstanten er bestemt til 4,1 år (afrundet til 1 decimal).

Vi beskriver betydningen af fordoblingskonstanten: Fordoblingskonstanten beskriver, at for hvert 4,1 år

(afrundet til 1 decimal) fordobles reklametiden i minutter pr. dag.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

9

Opgave 8 a)

Vi definerer forskriften for f(x):

𝑓 ( 𝑥) ≔5,0 + 6,5 · 𝑒^{−0,021·𝑥}

Vi bestemmer vægten af vasketøjet efter 15 minutter, ved at bestemme f(15).

𝑓 ( 15) ≈9,7436277

Ifølge modellen er vægten af vasketøjet efter 15 minutter 9,7 kg (afrundet til 1 decimal).

Vægten af vandet, der er fordampet efter 15 minutter, svarer til differensen mellem vægten af vasketøjet efter 0 minutter og vægten af vasketøjet efter 15 minutter. Vi bestemmer vægten af vasketøjet efter 0 minutter ved at bestemme f(0).

𝑓 ( 0) =11,5

Vi bestemmer differensen:

Δ𝑚=11,5 − 9,7436277

≈1,7563723

Ifølge modellen er der fordampet 1,76 kg vand (afrundet til 2 decimaler) efter 15 minutter.

b)

Vi bestemmer f’(15):

𝑓^{′} ( 15) ≈−0,099616181

Tallet f’(15) er bestemt til -0,10 (afrundet til 2 decimaler).

Tallet f’(15) betegner hastigheden, hvormed vægten af vasketøjet ændrer sig efter 15 minutter, dvs. ifølge modellen taber vasketøjet 0,10 kg (afrundet til 2 decimaler) af sin vægt efter 15 minutter.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

10

Opgave 9 a)

Vi bestemmer vinkel C i trekant ABC med WordMats trekantsløser.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: BC = 16,0 , AC = 11,0 , AB = 16,0

B A = 69,89449°
B = 40,21102°
C = 69,89449°

BC = 16
AC = 11
AB = 16

Vinkel A og B findes vha. cosinusrelationer:

𝐵=cos^{−1} ()

𝐴𝐵^{2} + 𝐵𝐶^{2} − 𝐴𝐶^{2}
2 · 𝐵𝐶· 𝐴𝐵

=cos^{−1} ()

16^{2} + 16^{2} − 11^{2}
2 · 16 · 16
=40,21102°

𝐴=cos^{−1} ()

𝐴𝐵^{2} + 𝐴𝐶^{2} − 𝐵𝐶^{2}
2 · 𝐴𝐶·𝐴𝐵

=cos^{−1} ()

16^{2} + 11^{2} − 16^{2}
2 · 11 · 16
=69,89449°

Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant:

𝐶=180° − 𝐴 − 𝐵
=180° − 69,89449°− 40,21102°
=69,89449°

Vinkel C i trekant ABC er bestemt til 69,9 ° (afrundet til 1 decimal).

A AC C

AB BC

Side 11

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

11 b)

Vi bestemmer vinkel C i trekant CDE, da vi i forvejen kender vinkel C i hhv. trekant ABC og firkant CBFE:

𝐶_{𝐶𝐷𝐸} =180 − 𝐶_{𝐴𝐵𝐶} − 𝐶_{𝐶𝐵𝐹𝐸}
=180 − 69,9 − 90

≈20,1

Vinkel C i trekant CDE er bestemt til 20,1° (opgivet med en decimal).

Vi bestemmer længden af siden ED vha. WordMats trekantsløser.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 20,1° , D = 90° , CE = 4,0

E C = 20,1°
E = 69,9°
D = 90°

ED = 1,3746388
CD = 3,756377
CE = 4

Længden af siden ED findes vha. sinus:

𝐸𝐷=𝐶𝐸· sin ( 𝐶)
=4 · sin ( 20,1)
=1,3746388

Længden af siden ED i trekant CDE er bestemt til 1,37 cm (afrundet til 2 decimaler).

c)

Vi har, at højden af kunstkalenderen er lig summen af højden af trekant ABC og højden af trekant CDE, da trekant CDE kan forskydes således, at punktet C ligger i punktet B.

Vi bestemmer højden h i trekant ABC, som modstående katete i den retvinklede trekant som hjørnerne A

og B udgør med halvdelen af grundlinjen AC, dvs. 11/2 = 5,5, vi døber fodpunktet H. Vi bestemmer højden h

med WordMats trekantsløser.

C CD D

CE ED

Side 12

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

12

WordMat's trekantsløser anvendes med input: H = 90° , AH = 5,5 , AB = 16,0

B A = 69,89449°
B = 20,10551°
H = 90°

h = 15,024979
AH = 5,5
AB = 16

Længden af siden h findes vha. Pythagoras

ℎ= 𝐴𝐵^{2} − 𝐴𝐻^{2}

√
= √ 16^{2} − 5,5^{2}
=15,024979

Vi bestemmer højden af kunstkalendere som summen af højden h og siden ED:

ℎ_{𝑘𝑢𝑛𝑠𝑡𝑘𝑎𝑙𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟} =ℎ + 𝐸𝐷
=15,024979 + 1,3746388

≈16,399618

Højden af kunstkalenderen er bestemt til 16,40 cm (afrundet til 2 decimaler). Vi kan konkludere, at der er plads nok til at kunstkalenderen kan stå på en reol, hvor der er 17,0 cm mellem hylderne.

A AH H

AB h

Side 13

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

13

Opgave 10 a)

Vi bestemmer, hvor hurtigt en lastbil må kører, ved at løse uligheden S ≥ 85 for H. WordMat har problemer
med at løse uligheden, vi løser i stedet S = 85 for H:

10,19 · ln ( 𝐻) + 40,32=85

⇕ Ligningen løses for H vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐻=80,213423

Lastbilens hastighed må højst være 80,21 km/t (afrundet til 2 decimaler).

Side 14

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

14

Opgave 11 a)

Vi definerer forskriften for f:

𝑓 ( 𝑥) ≔ ( 9 − 𝑥^{2}) · 2^{𝑥}

Vi løser ligningen f’(x) = 0 for x:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−4,7715641 ∨ 𝑥=1,886174

Løsningerne til ligningen er bestemt til hhv. x = -4,77 og x = 1,89 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi tegner grafen for f:

Vi bestemmer monotoniforhold til f. Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne til den afledede funktion f’:

𝑓^{′} ( −5) ≈−0,03407359

𝑓^{′} ( 1) ≈7,0903549

𝑓^{′} ( 2) ≈−2,1370564

Vi opskriver monotoniforhold til grafen for f:

f er aftagende i intervallerne ]-∞; -4,77] og [1,89; ∞[

f er voksende i intervallet [-4,77; 1,89]

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 15

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

15

Opgave 12 a)

Vi definerer forskriften for f(t):

𝑓 ( 𝑡) ≔−0,56𝑡^{2} + 14,56𝑡 − 82,64

Vi bestemmer solcellepanelets effekt kl. 12 ved at bestemme f(12): 𝑓 ( 12) ≈11,44

Ifølge modellen er solcellepanelets effekt kl. 12 bestemt til 11,4 kW (afrundet til 1 decimal).

b)

Vi bestemmer den samlede energiproduktion i tidsrummet kl. 9 til kl. 16 vha. det bestemte integral herunder i intervallet [9; 16]:

∫ 𝑓 ( 𝑡) 𝑑𝑡 ≈67,013333

16

9

Den samlede energiproduktion i tidsrummet er bestemt til 67,01 kWh (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 16

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2017

16

Opgave 13 a)

Vi definerer forskriften for hhv. f(x) og g(x):

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥^{2} − 9,5𝑥 +23,5

𝑔 ( 𝑥) ≔0,5𝑥 + 2,5

Vi bestemmer 1. koordinaten til skæringspunkterne mellem graferne for hhv. f og g ved at løse for x i f(x) =

g(x):

𝑓 ( 𝑥) =𝑔 ( 𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=3 ∨ 𝑥=7

Vi bestemmer 2. koordinaterne ved at bestemme hhv. f(3) og f(7):

𝑓 ( 3) =4

𝑓 ( 7) =6

Koordinatsættene til skæringspunkterne mellem grafen for hhv. f og g er bestemt til S1(3, 4) og S2(7, 6).

b)

Skal tangenten være parallel med grafen for g, skal tangentens hældning være lig hældningen for grafen til

g. Vi aflæser hældningen til grafen for g til 0,5. Vi bestemmer 1. koordinaten for røringspunktet til

tangenten til grafen for f, der er parallel med grafen for g, ved at løse for x i f’(x) = 0,5:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0,5

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=5

1. koordinaten til røringspunktet er bestemt til x = 5.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: