HF Matematik B 15. august 2016 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

1

HF Matematik B

15. august 2016

Delprøven med hjælpemidler

hfe162-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 7 a)

Sammenhængen kan beskrives med en lineær model:

𝑓 ( 𝑥) =𝑎 ·𝑥+ 𝑏

Tallet -269 beskriver den årlige udvikling af landbrugsdrifter i Region Sjælland. Dvs. at, hvert år efter år

2006 falder antallet af landbrugsbedrifter i Region Sjælland med 269 landbrug ifølge modellen.

Tallet 8363 beskriver antallet af landbrugsdrifter i Region Sjælland i året 2006. Dvs. at, der i år 2006 var

8363 landbrugsdrifter ifølge modellen.

b)

Vi definerer funktionen 𝑓(𝑥):

𝑓 ( 𝑥) ≔−269 · 𝑥 + 8369

Vi løser ligningen 𝑓 ( 𝑥) =5000:

𝑓 ( 𝑥) =5000

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

2

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=12,52416

Ifølge modellen når antallet af landbrugsbedrifter under 5000 ca. 12,52 år efter år 2006 dvs. ca. i år 2018.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

3

Opgave 8 a)

Sammenhængen kan beskrives med en eksponentiel funktion:

𝑓 ( 𝑥) =𝑏 ·𝑎^{𝑥}

Vi opstiller tabellen og foretager en eksponentiel regression:

Watt | Lumen
15 | 140
25 | 250
40 | 470
60 | 800
75 | 1050
100 | 1520

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9993617

𝑦=4,369772 · 𝑥^{1,269626}

Tallet 𝑎 aflæses til 1,2696 (afrundet til 4 decimaler) og tallet 𝑏 aflæses til 4,3698 (afrundet til 4 decimaler).

b)

Vi definerer regressionsligningen:

𝑓 ( 𝑥) ≔4,369772 · 𝑥^{1,269626}

Vi løser 𝑓(150): 𝑓 ( 150) ≈2530,934

Ifølge modellen svarer en effekt på 150W ca. til en lysstyrke på 2531 lumen (afrundet).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

4

Opgave 9 a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ + 46

290

1,0492^{𝑥} + 0,263

År 2015 er (2015 −1955=60) efter år 1995. Vi løser ligningen 𝑓(60):

𝑓 ( 60) ≈62,01573

Ifølge modellen vil Drejøs indbyggertal være ca. 62 (afrundet) i år 2015.

b)

Vi løser 𝑓′(10):

𝑓^{′} ( 10) ≈−6,373502

Vi løser 𝑓^{′} ( 50):

𝑓^{′} ( 50) ≈−1,203722

Tallet 𝑓^{′} ( 10) bestemmer udviklingen i indbyggertallet på Drejø 10 år efter 1955 dvs. i år 1965. Ifølge

modellen faldt indbyggertallet på Drejø med 6 personer (afrundet til helt antal person) i år 1965.

Tallet 𝑓^{′} ( 50) bestemmer udviklingen i indbyggertallet på Drejø 50 år efter 1955 dvs. i år 2005. Ifølge

modellen faldt indbyggertallet på Drejø med 1 (afrundet til helt antal person) i år 2005.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

5

Opgave 10 a)

Vinklerne i trekant ABC bestemmes med (WordMat trekantsløser):

WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 8, b = 12, c = 8

B A = 41,40962°
B = 97,18076°
C = 41,40962°

a = 8
b = 12
c = 8

Vinkel A og B findes vha. cosinusrelationer

𝐴=cos^{−1} ()

𝑐^{2} + 𝑏^{2} − 𝑎^{2}
2 · 𝑏 · 𝑐

=cos^{−1} ()

8^{2} + 12^{2} − 8^{2}
2 · 12 · 8
=41,40962°

𝐵=cos^{−1} ()

𝑐^{2} + 𝑎^{2} − 𝑏^{2}
2 · 𝑎· 𝑐

=cos^{−1} ()

8^{2} + 8^{2} − 12^{2}
2 · 8 · 8
=97,18076°

Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐶=180° − 𝐴 − 𝐵
=180° − 41,40962°− 97,18076°
=41,40962°

Vinklerne i trekant ABC er fundet til: 𝐴=41,41°, 𝐵=97,18°, 𝐶=41,41°. (Afrundet til 2 decimaler)

b)

Længden af BD bestemmes med (WordMat trekantsløser):

Vinklen 𝐴 er i denne trekant halveret dvs.:

𝐴= =20,705°

41,41

2

A b C c a

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

6

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 20,705°, B = 97,18°, AB = 8

B A = 20,705°
B = 97,18°
D = 62,115°

BD = 3,200011
A AD D AD = 8,979946
AB = 8

Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐷=180° − 𝐴 − 𝐵
=180° − 20,705° − 97,18°
=62,115°

Længden af siderne BD findes vha. sinusrelationerne

𝐵𝐷=𝐴𝐵·

sin ( 𝐴) sin ( 𝐷)

=8 ·

sin ( 20,705°) sin ( 62,115°)

=3,200011

Siden BD aflæses til 3,2 (afrundet til 1 decimal).

AB BD

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

7

Opgave 11 a)

Funktionen og det gældende interval defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔9 · 𝑥− 3𝑥− 6
√

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥>0

Grafen for 𝑓 tegnes med (GnuPlot):

For at bestemme monotoniforholdende bestemmes først evt. ekstrema:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2,25

Herefter undersøges differentialkvotienten på begge sider af ekstrema:

𝑓^{′} ( 2) ≈0,1819805

𝑓^{′} ( 3) ≈−0,4019238

Monotoniforholdene opstilles:

𝑓 er voksende i intervallet ]∞;2,25]

𝑓 er faldende i intervallet [2,25;∞[

𝑓 har maksimum i punktet 𝑥=2,25

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

8 b)

Først bestemmes grænserne, ved at løse 𝑓 ( 𝑥) =0, der bestemmer nulpunkterne for 𝑓(𝑥):

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=1 ∨ 𝑥=4

Herefter bestemmes arealet af det afgrænsede område med det bestemte integral af 𝑓(𝑥) i intervallet

[1;4]:

𝐴=∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = =1,5

4

1

3

2

Arealet af det område som 𝑓(𝑥) afgrænser med førsteaksen er 1,5

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

9

Opgave 12 a)

Der er tale om en fast årlig tilvækst, dvs. der er tale om en eksponentiel udvikling:

𝑓 ( 𝑥) =𝑏· 𝑎^{𝑥} =𝑏· ( 𝑟 + 1)^{𝑥}

Den eksakte funktion opstilles og defineres:

Værdien for 𝑏 aflæses til 31,0 𝑇𝑊ℎ og betegner produktionen af solenergi i år 2010. Vækstraten 𝑟 aflæses

til 𝑟=57,5%=0,575:

𝑓 ( 𝑥) ≔31,0 · ( 0,575 + 1)^{𝑥}

b)

Produktionen af vindenergi defineres:

𝑦≔342,0 · 1,264^{𝑥}

Til at bestemme året, hvor produktionen af solenergi vil overstige produktionen af vindenergi løses

𝑓 ( 𝑥) =𝑦

𝑓 ( 𝑥) =𝑦

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

x=10,91413

Ca. 10,91 år efter år 2010 dvs. ca. i år 2020, vil produktionen af solenergi overstige produktionen af vindenergi ifølge modellerne.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15. august 2016

10

Opgave 13 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥^{3} − 2 · 𝑥^{2} − 𝑥+ 4

En ligning for tangenten 𝑙, der har røringspunkt i (2,𝑓

(

2

)

) bestemmes med formlen for tangentens ligning og udregnes vha.:

𝑦=𝑓^{′} ( 2) · ( 𝑥− 2) + 𝑓 ( 2) =3 · 𝑥− 4

Tangenten 𝑙 har ligningen 𝑦=3 · 𝑥− 4

Den generelle formel for tangentens ligning er 𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) · 𝑓(𝑥_{0})

b)

For at bestemme en ligning til tangenten 𝑚, udnyttes det, at 𝑙 og 𝑚 må have samme hældning siden de er parallelle:

Førstekoordinaten til 𝑚 bestemmes ved at løse følgende ligning:

𝑓^{′} ( 𝑥) =4

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=− ∨ 𝑥 =2

2

3

Vi kan se, at der er to løsninger, hvoraf den ene er førstekoordinaten til tangenten 𝑙. Førstekoordinaten til

                         2
tangenten 𝑚 er således 𝑥=− .
                         3

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: