HF Matematik B 14. maj 2008 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

1

HF Matematik B 14. maj 2008

HFE081-MAB

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Delprøven med hjælpemidler er for så vidt muligt regnet med WordMat. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1 a)

Der er tale om en lineær sammenhæng da udviklingen foregår med en fast størrelse.

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

x betegner måneden efter april 2005., y betegner antallet af ledige til måneden x efter april 2005.

Tallet 2900 betegner at antallet af ledige falder 2900 om måneden dvs. tallet a er lig -2900.

Tallet 165200 betegner udviklingens begyndelsesværdi b dvs. der i april 2005 var 165200 ledige.

Vi opstiller modellen:

𝑦 = −2900𝑥 + 165200

Opgave 2

3𝑥^{2} − 4𝑥 + 1 = 0

a)

Vi løser ligningen vha. diskriminanten:

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

2

𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐
= ( −4)^{2} − 4 · 3 · 1
= 4

Vi bestemmer rødderne ved:

𝑥_{1} =

−𝑏 − √ 𝑑

2𝑎

=

4 − √ 4
2 · 3
=

2

6

=

1

3

Og:

𝑥_{2} =

−𝑏 + √ 𝑑

2𝑎

=

4 + √ 4
2 · 3
=

6

6

= 1

Løsningen til ligningen er henholdsvis x = 1/3 og x = 1.

Opgave 3 a)

( 𝑥+ 2𝑦)( 𝑥− 2𝑦) (𝐼)
= 𝑥^{2} − 4𝑦^{2}

Og:

𝑎𝑏− 𝑏 ( 𝑎− 3𝑏)
= 𝑎𝑏 − 𝑏𝑎+ 3𝑏^{2}
= 3𝑏^{2}

(I)

( 𝑎+ 𝑏)( 𝑎 − 𝑏) = 𝑎^{2} − 𝑏^{2}

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

3

Opgave 4 a)

Vi bestemmer først stamfunktionen:

𝐹 ( 𝑥) = ∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

= ∫−3𝑥^{2} + 6𝑥𝑑𝑥(𝐼)
= −𝑥^{3} + 3𝑥^{2} + 𝑘

Vi bestemmer arealet af det markerede område ved:

∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = [ 𝐹 ( 𝑥)]_{0}^{2}

2

0

= [ −𝑥^{3} + 3𝑥^{2}]_{0}^{2}
= ( −2^{3} + 3 · 2^{2}) − ( −0^{3} + 3 · 0^{2})
= ( −8 + 12) − 0
= 4

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝐹(𝑥)

                1
                  2
𝑛𝑥           𝑛 · 𝑥
                2

𝑥^{𝑛} · 𝑥^{𝑛+1},𝑛 ≠ −1

1

𝑛+1

Opgave 5 a)

Vi løser f’(x) = 0, ved at indtegnet tangenten med en hældning lig 0 på grafen og derefter aflæse

førstekoordinaten til røringspunktet mellem grafen og tangenten:

f’(x) = 0 er bestemt til x = 2.

Vi løser f’(x) = 1 ved at indtegne tangenten med en hældning lig 1 på grafen og derefter aflæse

førstekoordinaten til røringspunktet mellem grafen og tangenten:

f’(x) = 1 er bestemt til x = 4,5.

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

4

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

5

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 6 a)

Udviklingen kan beskrives ved en lineærfunktion, vi bestemmer derfor tallene ved lineærregression:

Vi opstiller tabel og foretager regression:

Distance 100 200 400 800 1500

(meter)

Tid (sekunder) 47,45 103,12 215,36 447,81 863,13

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9998828

𝑦 = 0,5833338𝑥 − 14,62631

Vi aflæser tallene a og b fra regressionsligningen.

Tallet a aflæses til 0,583 (afrundet til 3 decimaler), og tallet b aflæses til 14,626 (afrundet til 3 decimaler).

b)

Vi definerer modellen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 0,5833338𝑥 − 14,62631

Vi bestemmer f(10000): 𝑓 ( 10000) ≈ 5818,712

Vi omregner til time og minutter:

5818,712 𝑠

60

≈ 96,97853 𝑚𝑖𝑛

Dvs. 1 time og 36,98 minutter (afrundet til 2 decimaler).

Vi kommenterer modellen:

Sammenligner vi modellens resultat på 1 time og 36,98 minutter med det faktiske resultat på 1 time og 54 minutter, står det klart at modellens resultat er langt hurtigere end det faktiske. Eftersom modellen er baseret på kortere distancer, tager modellen muligvis ikke højde for, at atletens gennemsnitlige hastighed på længere distancer er mindre end ved korte distancer. Det kan konkluderes at modellen ikke er pålidelig på længere distancer.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

6

Opgave 7 a)

Vi definerer funktionen f:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{2} − 6𝑥 + 10

Vi tegner grafen med GnuPlot:

Vi beregner grafens toppunkt ved:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 3

b)

Vi definerer funktionen g:

𝑔 ( 𝑥) ≔ −𝑥 + 6

Vi tegner grafen f og g i samme koordinatsystem:

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

7

Vi bestemmer skæringen mellem graferne ved:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑔 ( 𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 4

Skæringspunkterne mellem g og f er bestemt til x = 1 og x = 4.

c)

Arealet er begrænset af skæringspunkterne mellem f og g. Vi bestemmer arealet ved. I hele området ligger g(x) > f(x):

∫ 𝑔 ( 𝑥) − 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈ 4,5

4

1

Arealet af området er bestemt til 4,5.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

8

Opgave 8 a)

Vi definerer funktionen og førstekoordinaten for punktet:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{3} + 2 · ln ( 𝑥)

𝑥_{0} ≔ 1

Vi bestemmer tangentens ligning ved:

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
= 5 · 𝑥 − 4

Tangenten til f i punktet (1, f(1)) er bestemt til ovenstående udtryk.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

9

Opgave 9 a)

Vi bestemmer siden |AC| i WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 72,3°, B = 46,5°, AB = 342

A C = 61,2°
A = 72,3°
B = 46,5°

AB = 342
CB = 371,7993
AC = 283,095

Længden af siden AC findes vha. sinusrelationerne

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 ·

sin ( 𝐵) sin ( 𝐶)

= 342·

sin ( 46,5°) sin ( 61,2°)

= 283,095

Siden |AC| er bestemt til 283,1 m (afrundet til 1 decimal).

b)

Vi bestemmer broens højde, ved at beregne modstående katete i den retvinklede trekant, der fremkommer med vinklen A og siden |AC|.

Vi benytter WordMats trekantsløser.

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 72,3°, D = 90°, AC = 283,095

D A = 72,3°
D = 90°
C = 17,7°

DC = 269,6937
AC = 283,095
AD = 86,07024

C CB B

AC AB

A AC C

AD DC

Side 10

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

10

Længden af siden DC findes vha. cosinus

𝐷𝐶 =𝐴𝐶 · cos ( 𝐶)
= 283,095· cos ( 17,7)
= 269,6937

Siden DC svarer til broens højde. Broens højde aflæses til 269,6937 m.

Forskellen mellem broen og Eiffeltårnets højde svarer til den afstand som Eiffeltårnet når op over broen:

320 − 269,6937≈ 50,3063

Eiffeltårnet når 50,3 m op over broen (afrundet til 1 decimal).

Side 11

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

11

Opgave 10 a)

Amfetaminmængden i kroppen kan beskrives vha. en eksponentiel funktion:

𝑓 ( 𝑡) = 15 · 0,84^{𝑡}

Tallet a er fremskrivningsfaktoren og er aflæst til 0,84. Den beskriver, hvordan funktionen udvikler sig. Ud fra fremskrivningsfaktoren kan vækstraten r bestemmes:

𝑟 = ( 𝑎− 1)
= 0,84 −1
= −0,16 ·100%
= −16%

Ifølge modellen aftager amfetaminmængden i kroppen med 16 % for hver time efter indtagelse.

Tallet b betegner funktionsværdien i t = 0, dvs. funktionens begyndelsesværdi, og er aflæst til 15. Ifølge

modellen er amfetaminmængden til tiden 0 timer dvs. lige efter indtagelse således 15 mg.

b)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑡) ≔ 15 · 0,84^{𝑡}

Vi bestemmer f(2,0): 𝑓 ( 2,0) ≈ 10,584

Ifølge modellen er amfetaminmængden i kroppen 2 timer efter indtagelse 10,58 mg (afrundet til 2 decimaler).

Vi bestemmer halveringstiden ved:

𝑇 =

1

2 log()

1

2 log ( 𝑎)

=

log()

1

2 log ( 0,84)

≈ 3,97553

Halveringstiden er bestemt til 3,98 timer (afrundet til 2 decimaler).

c)

Vi bestemmer f’(3):

Side 12

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

12

𝑓^{′} ( 3) ≈ −1,550099

f’(3) er bestemt til -1,55 dvs. at til tiden 3 timer efter indtagelse aftager amfetaminmængden i kroppen med

1,55 mg.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 13

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

13

Opgave 11 a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{4} − 2𝑥^{3} + 4𝑥^{2} + 3

1

4

Vi løser f’(x) = 0:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = 4

b)

Vi foretager en funktionsundersøgelse.

Vi har allerede bestemt evt. ekstrema og vendetangent. Vi tjekker nu differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne:

𝑓^{′} ( −1) = −15

𝑓^{′} ( 1) = 3

𝑓^{′} ( 3) = −3

𝑓^{′} ( 5) = 15

Vi opskriver monotoniforholdet:

f er aftagende i intervallet ]-∞; 0] og [2; 4]

f er voksende i intervallet [0; 2] og [4; ∞[

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 14

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 14. maj 2008

14

Opgave 12 a)

Sammenhængen kan beskrives vha. af en eksponentialfunktion. Vi bestemmer tallene a og b ved eksponentielregression.

Vi kender allerede 1 punkt for funktionen, punkt 2 bestemmes vha. oplysninger i teksten.

Punkt 2:

𝑥_{2} = 15 + = 18

15 · 20

100

𝑦_{2} = 75 − = 51

75 · 32

100

Vi indsætter data i tabel:

Neddykningsdybde (målt i | Neddykningstid (målt i minutter)

meter)

15 | 75
18 | 51

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 23058,56· 𝑥^{−2,115287}

Tallet a og b aflæses fra regressionsligningen.

Tallet a aflæses til -2,115 og tallet b aflæses til 23058,56.