HF Matematik B 15. maj 2007 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15, maj 2007

1

HF Matematik B

15. maj 2007

HFE071-MAB

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver med hjælpemidler er for så vidt muligt regnet med WordMat. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1

𝑓 ( 𝑥) =ln ( 𝑥) − 5𝑥^{2}

a)

Vi differentierer:

𝑓^{′} ( 𝑥) = ( ln ( 𝑥) − 5𝑥^{2})^{′}
= − 10𝑥

1 𝑥

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝑓′(𝑥) 𝑙𝑛 ( 𝑥)

1 𝑥

𝑘𝑥^{𝑛} 𝑘𝑛 · 𝑥

𝑛−1

Opgave 2 a)

( 𝑎+ 𝑏)^{2} − 𝑎 ( 𝑎+ 2𝑏) =𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 2𝑎𝑏 − 𝑎^{2} − 2𝑎𝑏(𝐼)
=𝑏^{2}

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15, maj 2007

2

(I) ( 𝑎+ 𝑏)^{2} =𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 2𝑎𝑏

Opgave 3 a)

Vi tegner en mulig graf.

Grafen er tegnet baggrund i følgende:

Grafen aftager når f’ er negativt.

Grafen vokser når f’ er positivt.

Grafen har vendetangent når f’(x) = 0, dvs. nulpunkter for f’.

Det er oplyst at grafen skal gå igennem punktet (2, -4).

Funktionen f har minimum i punktet (2,-4), da fortegnet for f’ skifter fra negativt til positivt i punktet x = 2.

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15, maj 2007

3

Opgave 4

∫ ( 𝑒^{𝑥} + 6𝑥^{5} − 1) 𝑑𝑥

a)

Vi integrerer:

∫ ( 𝑒^{𝑥} + 6𝑥^{5} − 1) 𝑑𝑥=𝑒^{𝑥} + 𝑥^{6} − 𝑥+ 𝑘(𝐼)

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝐹(𝑥)

𝑒^{𝑥} 𝑒

𝑥 𝑘 𝑘𝑥

𝑥^{𝑛} 𝑥^{𝑛+1}

1

𝑛+1

Opgave 5

𝑓 ( 𝑥) =20𝑥 − 33760

a)

Tallet 20 fortæller at personens elforbrug har været 20 (målt i kWh) om dagen i perioden.

Tallet 33760 betegner personens eksisterende elforbrug dvs. personens elforbrug i begyndelsen af perioden.

Vi bestemmer f(x) = 33 900:

20𝑥 − 33760=33900

⇕

20𝑥=33900 − 33760

⇕

20𝑥=140

⇕

𝑥=

140

20

⇕

𝑥=7

Ifølge modellen vil måleren vise 33 900 (målt i kWh) den 7. dag i perioden.

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15, maj 2007

4

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 6 a)

Vi bestemmer siden |BC| med WordMats trekantsløser.

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 79°, C = 64°, AC = 11

B A = 79°
B = 37°
C = 64°

BC = 17,94222
AC = 11
BA BC BA = 16,42819

Længden af siderne BC og BA findes vha. sinusrelationerne

𝐵𝐶=𝐴𝐶·

sin ( 𝐴) sin ( 𝐵)

=11 ·

sin ( 79°) sin ( 37°)

=17,94222

Siden |BC| er bestemt til 17,94 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Højden fra B i trekant ABC bestemmes som modstående katete i den retvinklede trekant, der dannes af vinkel C og siden |BC|. Højden bestemmes i WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: D = 90°, C = 64°, BC = 17,94

A AC C

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15, maj 2007

5

B D = 90°
B = 26°
C = 64°

BC = 17,94
DC = 7,864378
h BC h = 16,12437

Længden af siden h findes vha. sinus

ℎ=𝐵𝐶· sin ( 𝐶)
=17,94 · sin ( 64)
=16,12437

Flodens bredde er bestemt til 16,12 m.

D DC C

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15, maj 2007

6

Opgave 7 a)

Sammenhængen kan beskrives med potensfunktion, vi bestemmer derfor tallene a og b ved potentielregression.

Vi opstiller tabel med data og foretager regression:

Vanddybde 10 50 200 2000 4000 7000

(meter)

Hastighed 36 79 159 504 713 943

(km/t)
Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9999796

𝑦=11,30132 · 𝑥^{0,4995231}

Tallene a og b aflæses fra regressionsligningen:

Tallet a aflæses til 0,5, og tallet b aflæses til 11,3 (afrundet til 1 decimaler).

b)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔11,30132 · 𝑥^{0,4995231}

Vi bestemmer f(120): 𝑓 ( 120) ≈123,5174

Hastigheden for en tsunamibølge på 120 meter dybt vand er ifølge modellen 123,5 km/t (afrundet til 1

decimal).

c)

Vi definerer fremskrivningen af vanddybden r og tallet a:
                                     d

𝑟_{𝑑} ≔1,00

𝑎≔0,4995231

Vi bestemmer den relative vækst ved r_{h}:

1 + 𝑟_{𝑑} = ( 1 + 𝑟_{ℎ})^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{ℎ} =3,005298

Ifølge modellen vil tsunamibølgens hastighed være ca. 301% større ved P end Q.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15, maj 2007

7

Opgave 8 a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔−𝑥^{2} + 4𝑥+ 2

Vi bestemmer førstekoordinaten til toppunktet ved:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2

Vi bestemmer anden koordinaten til toppunktet ved:

𝑓 ( 2) =6

Toppunktet for grafen f er bestemt til T(2,6).

Vi tegner grafen for f i GnuPlot:

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15, maj 2007

8 b)

Vi definerer førstekoordinaten for røringspunktet:

𝑥_{0} ≔6

Vi bestemmer en ligning for tangenten ved:

𝑦_{𝑡} =𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
=−8 · 𝑥+ 38

En ligning for tangenten til f i punktet (6, -10) er bestemt til ovenstående udtryk.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15, maj 2007

9

Opgave 9 a)

Da vi har med en fordobling af antal bakterier efter et fast antal minutter, er der tale om en eksponentialfunktion:

𝑓 ( 𝑥) =𝑏 · 𝑎^{𝑥}

f(x) betegner antallet af bakterier til tiden x efter forsøgets start b betegner antallet af bakterier ved forsøgets start dvs. tallet b er lig 15 a betegner fremskrivningsfaktoren og fortæller noget om, hvordan antallet af bakterier udvikler sig. Vi beregner tallet a vha. formlen for fordoblingskonstanten:

22= (𝐼)

log ( 2) log ( 𝑎)

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎=1,032008

Vi opskriver modellen:

𝑓 ( 𝑥) =15 · 1,032008^{𝑥}

(I)

Fordoblingskonstanten er generelt givet ved:

𝑇_{2} =

𝑙𝑜𝑔 ( 2) 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑎)

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15, maj 2007

10

Opgave 10 a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥^{3} − 11𝑥^{2} + 38𝑥 − 40

Vi løser f’(x) = 0:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2,78475 ∨ 𝑥=4,548584

Nulpunkterne beskriver punkterne, hvor grafen for f har vandrette tangenter.

b)

Vi løser f(x) = 0:

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2 ∨ 𝑥=4 ∨ 𝑥=5

Vi tegner grafen for at se, hvilke nulpunkter der betegner arealets grænser:

Side 11

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15, maj 2007

11

Vi kan se at det er nulpunktet 2 og 4 der betegner arealets grænser:

Vi bestemmer arealet ved:

∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 ≈2,666667

4

2

Arealet af området er bestemt til 2,667 (afrundet til 3 decimaler).

Side 12

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15, maj 2007

12

Opgave 11 a)

Vi bestemmer isens fart i dybden 16 m, ved at bestemme v når h = 16:

𝑣=100 − 0,00046 · 16^{4} =69,85344

Vi bestemmer isens fart i overfladen, ved at bestemme v når h = 0:

𝑣=100 − 0,00046 · 0^{4} =100

Isens fart ved overfladen er bestemt til 100 cm/år, og isens fart i dybden 16 m er bestemt til 69,9 cm/år

(afrundet til 1 decimal).

b)

Vi bestemmer højden ved at løse for h når v = 0:

0=100 − 0,00046 · ℎ^{4}

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

ℎ=−21,59288 ∨ ℎ=21,59288

Gletscherens dybde er bestemt til 21,59 m dvs. at gletscherens højde er 21,59 m.

Side 13

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15, maj 2007

13

Til eksamen skal du kun udvælge én af de to følgende opgaver, 12a og 12b. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 12a a)

Rumfanget af en æske er generelt givet ved:

𝑅=ℎ· 𝑏· 𝑙

Dvs. siderne kan beskrives ved:

ℎ=𝑥

𝑏= ( 20 − 2𝑥)

𝑙= ( 28 − 2𝑥)

Det samlede udtryk for volumen bliver da:

𝑅 ( 𝑥) =𝑥· ( 20 − 2𝑥) · ( 28 − 2𝑥)

Ovenstående udtryk er identisk med udtrykket i opgaveformuleringen:

Tallet x er under begrænsningen 0 < x < 10 eftersom pappet på det bredeste sted er 20,0 cm dvs. hvis x er større eller lig 10 cm, vil det svare til at pappet foldes på midten og ikke udgør en æske. Er x lig 0 vil pappet forblive fladt og en afstand på mindre end 0 for x, giver ikke mening.

b)

Vi definerer udtrykket for æskens rumfang og definitionsmængden for x:

𝑅 ( 𝑥) ≔𝑥· ( 20 − 2𝑥) · ( 28 − 2𝑥)

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0<𝑥<10

Vi optimerer funktionen:

Vi bestemmer først evt. ekstrema og vendetangent:

𝑅^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=3,836668

Vi undersøger differentialkvotienten på begge sider af punktet:

𝑅^{′} ( 1) =380

Side 14

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15, maj 2007

14

𝑅^{′} ( 4) =−16

Vi kan på baggrund af undersøgelsen konkluderer at x = 3,84 (afrundet til 2 decimaler) gør æskens rumfang

størst muligt.

Side 15

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 15, maj 2007

15

Opgave 12b a)

Vi definerer funktionen: 𝑓 ( 𝑡) ≔331 ·

√

𝑡+ 273

273

Vi løser f(t) = 340:

𝑓 ( 𝑡) =340

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=15,04775

Ifølge modellen er luftens temperatur 15,05 °C, når lydens hastighed er 340 m/s.

b)

Vi bestemmer f’(25):

𝑓^{′} ( 25) ≈0,5802412

Vi giver en fortolkning af tallet: f’(25) er bestemt til 0,58 (afrundet til 2 decimaler). Dvs. at når luftens temperatur er 25 °C vokser lydens

hastighed med 0,58 m/s.