HF Matematik B 2. juni 2014 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 7 a)

Den viste model for sammenhængen er eksponentiel. Jf. formel 35

Tabellen oprettes i MS Word og en eksponentiel regression over tabellens data foretages herefter vha.

WordMat (Statistik/sands. - Regression - Eksponentiel).

Antal uger efter premieren

1 3 5 7 9

Uge-indtjening

(mio. dollars)

43,7 24,9 15,0 10,6 5,0

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9886497

𝑦 =56,34932 ·0,7714436^{𝑥}

Hermed er værdierne for tallene 𝑎 og 𝑏 bestemt til (resultaterne er afrundet til to decimaler):

𝑎 =0,77 og 𝑏=56,35

b)

Halveringskonstanten 𝑇 1_{2} for en aftagende eksponentiel funktion kan bestemmes som: jf. formel 65

𝑇 =

1

2 log ()

1

2 log (𝑎)

Den fundne værdi for 𝑎 indsættes og halveringskonstanten for 𝑓 bestemmes:

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑇 = =3,8536876 · =2,67117269

1

2 log()

1

2 log ( 0,7714436) log ( 𝑒) log ( 2.0)

Halveringskonstanten er således bestemt til:

𝑇_{1/2} =2,67 𝑢𝑔𝑒𝑟

Side 2

Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-

At halveringskonstanten 𝑇 =2,67 betyder i dette tilfælde, at uge-indtjeningen (if. modellen) for en
                     1/2

spillefilm i de amerikanske biografer er halveret, hver gang der er gået 2,67 uge, - altså knap tre uger.

Opgave 8 a)

Længden af siden 𝐴𝐷 kan bestemmes vha. WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant).

WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 86,8° , a = 10,6 , d = 3,17

WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 86,8° , BD = 10,6 , AB = 3,17

A = 76,30859°
B = 86,8°
AB BD D = 16,89141°

BD = 10,6
AD = 10,893
AB = 3,17

Af resultatet fremgår at længden af siden 𝐴𝐷 er: | 𝐵𝐷 | =10,9

Resultatet er afrundet til én decimal.

b)

Arealet af firkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 kan bestemmes som summen af arealerne for trekanterne 𝐴𝐵𝐷 og 𝐵𝐶𝐷.

Arealet af en trekant 𝐴𝐵𝐶, hvor man kender længden af to sider og den mellemliggende vinkel, kan bestemmes med formlen ”Den halve appelsin”: jf. formel 29

𝑇 = ⋅ 𝑎⋅ 𝑏 ⋅ sin (𝐶)

1

2

For at kunne beregne arealet af trekant 𝐵𝐶𝐷 med denne formel, er det nødvendigt at bestemme længden af siden 𝐶𝐷, hertil benyttes WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant).

WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 39,5° , D = 108° , BD = 10,6

A AD D

B

Side 3

Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-

B = 32,5°
C = 39,5°
D = 108°

CD = 8,953892
BD = 10,6
BC = 15,84899

Længden af siden 𝐶𝐷 er således 9,0 når resultatet afrundes til én decimal.

Anvendes ovenstående arealformel samt aktuelle benævnelser, kan det samlede areal bestemmes som:

𝐴_{𝐴𝐵𝐶𝐷} =𝑇_{𝐴𝐵𝐷} + 𝑇_{𝐵𝐶𝐷}

⇕

𝐴_{𝐴𝐵𝐶𝐷} = ⋅ | 𝐵𝐷 | ⋅ | 𝐴𝐵 | ⋅ sin ( 𝐴𝐵𝐷) + ⋅ | 𝐵𝐷 | ⋅ | 𝐶𝐷 | ⋅ sin ( 𝐵𝐷𝐶)

1 1

2 2

Kendte sidelængder og vinkler indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝐴_{𝐴𝐵𝐶𝐷} = ⋅ 10,6 ⋅ 3,17 ⋅ sin ( 86,8) + ⋅ 10,6 ⋅ 8,953892 ⋅ sin ( 108)

1 1

2 2

=47,4556276 · sin ( 108) + 16,801 · sin ( 86,8)
=16,801 · sin ( 86,8) + sin ( 108) · 47,45563≈ 61,90779

Det er således bestemt, at arealet af firkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 er: 𝐴_{𝐴𝐵𝐶𝐷} =61,9

Resultatet er afrundet til én decimal.

Opgave 9 a)

Modellen defineres som en funktion af 𝑥 i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=

𝑓 ( 𝑥) ≔17,6 ⋅ 𝑥^{0,20}

Hvor 𝑥 er fuglens vægt, målt i kg og 𝑦=𝑓(𝑥) er fuglens levetid, målt i år.

Levetiden for en fugl, der vejer 0,100 kg, kan bestemmes som tallet 𝑓(0,100).

WordMat (CAS - Beregn) benyttes hertil.

𝑓 ( 0,100) ≈11,10485

Levetid for en fugl, der vejer 0,100 kg, er således bestemt til 11 å𝑟,

Resultatet er afrundet til et helt antal år.

B BD D

C

BC CD

Side 4

Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-

b)

Fugl 𝐵 vejer 0,100 kg, da fugl 𝐴 vejer fem gange så meget, er fugl 𝐴’s vægt 0,500 kg.

Hvor mange procent fugl 𝐴 kan leve længere end fugl 𝐵, kan bestemmes som:

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑓 ( 0,500) − 𝑓 ( 0,100)

𝑓 ( 0,100)

· 100≈37,97297

Fugl 𝐴 vil, ifølge modellen, kunne leve 38,0 % længere end fugl 𝐵.

Resultatet er afrundet til én decimal.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 10 a)

Ligningen for den parabel, der beskriver den blå kurve defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=

som en funktion af 𝑥.

𝑓 ( 𝑥) ≔−0,177 ⋅ 𝑥^{2} + 6,15

Den blå parabelkurve, med grenene vendende nedad, er symmetrisk omkring 𝑦-aksen, derfor kan buens højde bestemmes som tallet 𝑓(0), hvilket er den 𝑦-værdi, hvor i parablen skærer 𝑦-aksen.

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑓 ( 0) =6,15

Buens højde er således bestemt til 6,15 𝑚.

Bredden af buen kan bestemmes ved at løse ligningen 𝑓 ( 𝑥) =0.

Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk)

𝑓 ( 𝑥) =0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈ −5,894554 ∨ 𝑥 ≈ 5,894554

De fundne værdier er rødderne for den blå parabel, hvilket betyder, at buens bredde er den vandrette

afstand mellem disse skæringspunkter med 𝑥-aksen (−5,89;0) og (5,89;0), hvis resultaterne af forrige

beregning afrundes til to decimaler.

Side 5

Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-

Afstandsformlen til bestemmelse af afstanden mellem to punkter i et koordinatsystem:

𝑑𝑖𝑠𝑡 = √ ( 𝑥_{2} − 𝑥_{1})^{2} + ( 𝑦_{2} − 𝑦_{1})^{2}

Indsættes koordinaterne for skæringspunkterne, kan buens bredde bestemmes:

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑏𝑟𝑒𝑑𝑑𝑒 = 𝑑𝑖𝑠𝑡 = ( 5,894554 − ( −5,894554))^{2} − ( 0 − 0)^{2} =11,78911

√

Buens bredde er således bestemt til 11,79 𝑚

Resultatet er afrundet til to decimaler.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 11

De to temperaturforløb defineres som funktioner i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=

med isolering: 𝑓 ( 𝑥) ≔0,114 ⋅ 𝑥 + 17

uden isolering: 𝑔 ( 𝑥) ≔ 0,040 ⋅ 𝑥+ 17

a)

Begge temperaturforløb er lineære og følger begge modellen 𝑦 = 𝑎𝑥+ 𝑏 jf. formel 35

Det betyder, at temperaturstigningen pr. minut er lig med hældningskoefficienten 𝑎, hvilket kan aflæses direkte af forskriften for temperaturforløbet.

Med isolering er temperaturstigningen pr. minut således 0,114°

Temperaturen efter 35 minutter kan bestemmes som tallet 𝑓(35). WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑓 ( 35) ≈20,99

Afrundes resultatet til én decimal, så er temperaturen efter 35 minutter 21,0° med isolering.

b)

Det antal minutter, der skal gå, før temperaturen uden isolering når op på 21°, kan bestemmes ved

at løse ligningen 𝑔 ( 𝑥) =21. hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).

𝑔 ( 𝑥) =21

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 100

Der skal således gå 100 𝑚𝑖𝑛. før temperaturen når op på 21°, når boligen er uisoleret.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-

Opgave 12 a)

Forskriften defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=

𝑓 ( 𝑥) ≔ + 5

10000

1 + 30762 ⋅ 0,478^{𝑥}

Vægten af en 14 år gammel T-Rex kan bestemmes som tallet 𝑓(14). WordMat(CAS - Beregn) benyttes.

𝑓 ( 14) ≈5004,971

Vægten af en 14 år gammel T-Rex er således 5005,0 𝑘𝑔

Resultatet er afrundet til én deciamal.

b)

Tallet 𝑓^{′} (14) bestemmes med WordMat (CAS - Beregn)

𝑓^{′} ( 14) ≈1845,361

Tallet 𝑓^{′} ( 14) =1845,0 (afrundet til én decimal) er vægtforøgelsen i kg pr. år, når T-Rex’en er netop 14 år

gammel.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 13

De tre funktioner og intervallet for 𝑥 defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥

𝑔 ( 𝑥) ≔𝑥^{3}

ℎ ( 𝑥) ≔𝑥− 𝑥^{3}

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

a)

Da 𝑓 > 𝑔 i intervallet 0≤ 𝑥 ≤ 1 (ifølge den viste figur), kan den lodrette afstand mellem graferne
for 𝑓 og 𝑔 (når 𝑥 = 0,8) bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn) som tallet ( 𝑓 ( 0,8) − 𝑔 ( 0,8)):

𝑑𝑖𝑠𝑡_{(}_{𝑥=0,8} ( 𝑓,𝑔) =𝑓 ( 0,8) − 𝑔 ( 0,8) ≈0,288

)

Afstanden mellem graferne for 𝑓 og 𝑔, når 𝑥 = 0,8, er bestemt til: 𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝑓,𝑔) =0,288

Side 7

Skriftlig matematik HF B hfe141-MAT/B-

b)

Den maksimale afstand mellem graferne kan bestemmes ved finde maksimum for h(x).

For at finde maksima stater vi med at løse ligningen ℎ′ ( 𝑥) =0

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.

ℎ^{′} ( 𝑥) =0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈0,5773503

Afrundet til fire decimaler, er denne værdi: 𝑥 = 0,5774

Det kontrolleres, om den fundne værdi er maksimum for ℎ i det givne interval. Dette gøres ved at foretage en fortegnsundersøgelse for ℎ′ med værdier for 𝑥, der vælges før og efter den fundne værdi.

ℎ^{′} ( 0,5) =0,25

ℎ^{′} ( 0,6) ≈−0,08

Da ℎ^{′} > 0 i intervallet: 0≤ 𝑥 < 0,5774 og ℎ^{′} <0 i intervallet 0,5774< 𝑥 ≤ 1, er den fundne værdi for 𝑥

maksimum for ℎ i det givne interval. Den maksimale lodrette afstand mellem graferne kan derfor bestemmes som tallet ℎ(0,5774). WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

ℎ ( 0,5773503) =0,3849002

Den maksimale lodrette afstand mellem graferne 𝑓 og 𝑔 i intervallet 0≤ 𝑥 ≤ 1 er således bestemt til:

𝑑𝑖𝑠𝑡_{𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑎𝑙} ( 𝑓,𝑔) =0,385

Resultatet er afrundet til tre decimaler.

c)

Da 𝑓 > 𝑔 i det givne interval, kan arealet 𝐴 af det afgrænsede område bestemmes som integralet:

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

jf. formel 97

𝐴 = ∫ ( 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥)) 𝑑𝑥 = =0,25

1

0

1

4

                                                                           1
Arealet 𝐴 af det afgrænsede område mellem graferne for 𝑓 og 𝑔 er således bestemt til: 𝐴=
                                                                           4

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: