HF Matematik B 26 maj 2011 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik B hfe111-MAT/B-

Opgaver uden hjælpemidler - HF B 26. maj 2011

Alle formelnumre i de nedenstående løsningsforslag henviser til

Matematisk formelsamling stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 1 a)

𝑓 er en lineær funktion efter modellen 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, hvor hældningskoefficienten 𝑎 = 1.
Konstanten 𝑏 = 4 betyder at grafen for 𝑓 skærer 𝑦-aksen i punktet (0, 4) jf. formel 31

𝑔 er ligeledes en lineær funktion, hvor hældningen 𝑎 = −2.

𝑏 kan bestemmes ved indsættelse af det kendte punkt og hældningskoefficienten i modellen for den lineære funktion:

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

kendte værdier indsættes

4 = −2 · 3 + 𝑏

⇕

𝑏 = 10

På baggrund af disse oplysninger kan graferne indtegnes i et koordinatsystem.

Side 1

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik B hfe111-MAT/B-

Opgave 2 a)

For at bestemme højdeforskellen h isoleres først h i udtrykket:

𝑠 =

h · 100

𝐿

⇕

h =

𝑠 · 𝐿

100 kendte værdier indsættes

h =

5 · 8

100

⇕

h = 0, 4 km

Strækningens højdeforskel er bestemt til: h = 0, 4 km

Side 2 1

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik B hfe111-MAT/B-

Opgave 3 a)

Eventuelle løsninger til andengradsligningen er givet ved jf. formel 39

𝑥 =

−𝑏 ± 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

√

2𝑎 kendte værdier indsættes

𝑥 =

−6 ± 6^{2} − 4 · 3 · 3

√

2 · 3

⇕

𝑥 =

−6 ± 0

√

6

⇕

𝑥 = −1

Andengradsligningen har netop én løsning (rod), 𝑥 = −1

Side 3

Side 4

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik B hfe111-MAT/B-

Opgave 4 a)

Løsningerne til ligningen 𝑓(𝑥) = 0 kan aflæses som grafens skæringspunkter med 𝑥-aksen.
Disse aflæses til : 𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 8

Løsningen til ligningen 𝑓^{′} (𝑥) = 0 kan aflæses som den 𝑥-værdi, hvor grafen for 𝑓 har

en vandret tangent

Ligningen 𝑓^{′} (𝑥) = 0 har således løsningen: 𝑥 = 3

Bilag

Side 4

Side 5

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik B hfe111-MAT/B-

Opgave 5 a)

Grundet en fast procentvis ændring (𝑝% = −2 %) pr. tidsenhed (i dette tilfælde år), kan

familiens elforbrug beskrives med en eksponentiel (aftagende) udvikling.

En sådan udvikling følger modellen:

𝑦 = 𝑏 · (1 + 𝑟)^{𝑥} jf. formel 60

hvor 𝑏 er startværdien og 𝑟 er vækstraten.

Familiens årlige elforbrug, som en funktion af antal år (𝑥) efter 2005, betegnes 𝑓(𝑥) 𝑏 er givet ved 4770, da det er familiens elforbrug i år 2005, 𝑓 (0).

Den årlige procentvise ændring 𝑝% = −2 % omregnes til vækstraten 𝑟:

𝑟 = = = −0, 02

𝑝% −2%

100 % 100 %

En model for udviklingen i familiens elforbrug er dermed:

𝑓(𝑥) = 𝑏 · (1 + 𝑟)^{𝑥}

værdierne indsættes

= 4770 · (1 − 0, 02)^{𝑥}

= 4770 · 0, 98^{𝑥}

Elforbruget udvikler sig således eksponentiel efter modellen: 𝑓(𝑥) = 4770 · 0, 98^{𝑥}

hvor 𝑥 er antal år efter 2005 og 𝑓(𝑥) måles i kWh.

Side 5

Side 6

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik B hfe111-MAT/B-

Opgave 6 a)

𝑓 er en stamfunktion til 𝑔, hvis 𝑓^{′} (𝑥) = 𝑔(𝑥). Dette undersøges:

𝑓^{′} (𝑥) = 3𝑥^{2} + ln(𝑥) + 3

()_{′}

jf. formel 72

= 3𝑥^{2} + (ln(𝑥))^{′} + (3)^{′}

()_{′}

jf. formel 74+78
bemærk 𝑘^{′} = 0
= 6𝑥 + + 0

1 𝑥

= 6𝑥 +

1 𝑥

                                  ′                 1
𝑓(𝑥) er en stamfunktion til 𝑔(𝑥), idet 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥) = 6𝑥 +
                                                    𝑥

Side 6