HF Matematik B 29. august 2008 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august

1

HF Matematik B

29. august 2008

HFE082-MAB

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaverne med hjælpemidler er for så vidt muligt regnet med WordMat. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1 a)

4𝑥− 6=3𝑥 − 2(𝑥− 3)

⇕

4𝑥− 6=3𝑥 − 2𝑥+ 6

⇕

4𝑥=1𝑥+ 12

⇕

3𝑥=12

⇕

𝑥=4

Opgave 2

𝑦=14 · 1,023^{𝑥}

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august

2 a)

Tallet 14 betegner funktionens værdi i x = 0 dvs. i år 2000 ifølge modellen var 14 millioner indbyggere i

Angola.

Tallet 1,023 betegner fremskrivningsfaktoren a, med fremskrivningsfaktoren kan vi beregne vækstraten r.

𝑟=𝑎 − 1
=1,023 − 1

≈0,023

=2,3%

Dvs. ifølge modellen vil befolkningstallet i Angola vokse med 2,3% om året efter år 2000.

Opgave 3

𝑓 ( 𝑥) =3𝑥+ 10 · 𝑒^{2𝑥}

a)

Vi bestemmer den afledte funktion f’(x):

𝑓^{′} ( 𝑥) = ( 3𝑥+ 10 · 𝑒^{2𝑥}) ′(𝐼)
=3 + 20 · 𝑒^{2𝑥}

Vi bestemmer f’(0):

𝑓^{′} ( 0) =3 + 20 · 𝑒^{2·0} (𝐼𝐼)
=3 + 20 · 1
=23

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝑓 ( 𝑥)

′ 𝑘𝑥 𝑥

𝑒^{𝑘𝑥} 𝑘𝑒

𝑘𝑥

(II) 𝑒^{0} =1

Opgave 4

𝑦=𝑥^{2} − 4𝑥 + 3

a)

Vi bestemmer diskriminanten:

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august

3

𝑑=𝑏^{2} − 4𝑎𝑐
= ( −4)^{2} − 4 · 1 · 3
=16 − 12
=4

Vi bestemmer toppunktet ved:

( 𝑇_{𝑥},𝑇_{𝑦}) =(,)

−𝑏 −𝑑

2𝑎 4𝑎

=(,−)

4 −4
2 · 1 4 · 1
= ( 2,−1)

Toppunktet for parablen er bestemt til T(2, -1).

For at tegne grafen bestemmer vi rødderne:

𝑥_{1} =

−𝑏 − √ 𝑑

2𝑎

=

4 − √ 4
2 · 1
=

2

2

=1

Og:

𝑥_{2} =

−𝑏 + √ 𝑑

2𝑎

=

4 + √ 4
2 · 1
=

6

2

=3

Vi tegner parablen. Parablen skærer desuden y-aksen i 3:

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august

4

Opgave 5 a) f’(2) svarer til hældningen for tangenten i punktet P(-2,3). Vi aflæser afstanden mellem 2 punkter på grafen for tangenten i x og y og beregner hældningen:

∝ =

Δ𝑦

Δ𝑥

=

2

1

=2

Løsningen til f’(x) = 0 vil svare til førstekoordinaten for grafens ekstrema. Vi aflæser førstekoordinaten for

grafens ekstrema til:

𝑥= −1

Og:

𝑥=3

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august

5

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august

6

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 6 a)

Sammenhængen kan beskrives ved en potensfunktion. Vi bestemmer derfor tallene a og b ved potentiel regression.

Vi opstiller tabel med data og foretager en lineær regression:

Bringemål 62,0 75,0 82,5 97,0 113,0 148,5 162,5

(cm)

Vægt (kg) 25,4 32,6 46,3 82,1 126 236 335

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R2 = 0,9903448

𝑦=0,000251698 · 𝑥^{2,762331}

Tallene aflæses fra regressionsligningen:

Tallet a aflæses til 0,00025 (afrundet til 5 decimaler), og tallet b aflæses til 2,76 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi definerer regression ligningen:

𝑓 ( 𝑥) ≔0,000251698 · 𝑥^{2,762331}

Vi bestemmer f(130): 𝑓 ( 130) ≈173,8966

Vægten af en kvie med et bringemål på 130 cm vejer ifølge modellen 173,9 kg (afrundet til 1 decimaler).

c)

Vi definerer tallet 2,762331 som a, og væksten for væksten for bringemålet: 𝑎≔ 2,762331

𝑟_{𝑥} ≔0,10

Vi bestemmer den relative tilvækst ved:

𝑟_{𝑦} + 1= ( 𝑟_{𝑥} + 1)^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} =0,3011887

Når kviens bringemål stiger med 10% stiger kviens vægt med 30,11% (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august

7

Opgave 7 a)

Siden AB bestemmes med WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 39°, C = 90°, BC = 213

B A = 51°
B = 39°
C = 90°

BC = 213
AC = 172,484
AB = 274,0798

Længden af siden AB findes vha. sinus

𝐴𝐵=

𝐵𝐶 sin ( 𝐴)

=

213 sin ( 51)

=274,0798

Længden af siden AB er bestemt til 274,08 (afrundet til to decimaler).

A AC C

AB BC

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august

8

Opgave 8 a)

Modellen er lineær:

𝑦=𝑎𝑥+ 𝑏

Vi sætter x = 0 til året 2006, dvs. vi modellens begyndelsesværdi b er lig 8000.

Vi aflæser to punkter og bestemmer hældningen a:

𝑃_{1} (0,8000)

𝑃_{2} ( 9,35000)

Vi bestemmer hældningen ved:

𝑎=

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}
=

35000 − 8000
9 − 0
=3000

Vi opstiller modellen:

𝑦=3000 · 𝑥+ 8000

Side 9

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august

9

Opgave 9 a)

Vi definerer funktionen:

𝐴 ( 𝑡) ≔148 · 0,956^{𝑡}

Vi bestemmer A(10):

𝐴 ( 10) ≈94,37145

Antallet af henfald pr. sekund til tiden 10 s er bestemt til 94,37.

Vi bestemmer halveringstiden ved.

𝑇 =

1

2 log()

1

2 log ( 𝑎)

=

log()

1

2 log ( 0,956)

≈15,40417

Halveringstiden af det radioaktive stof er bestemt til 15,40 s.

b)

Vi bestemmer A(t) = 5:

𝐴 ( 𝑡) =5

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=75,28828

Til tiden 75,29 s er der 5 henfald pr. sekund.

c)

Vi sætter p = 10 og løser det bestemte integral:

∫ 𝐴 ( 𝑡) 𝑑𝑡 ≈1191,815

10

0

I løbet af de første 10 s er det samlede antal henfald bestemt til 1191,82 henfald.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august

10

Opgave 10 a)

Vi bestemmer arealet af trekanten ved:

𝑇= · 𝑏 · 𝑐·sin ( 𝐴)

1

2

Vinkel A bestemmes i WordMats trekantsløser.

WordMats trekantsløser anvendes med input: a = 1535, b = 1661, c = 1666

B A = 54,9517°
B = 62,35857°
C = 62,68973°

a = 1535
b = 1661
c = 1666

Vinkel A findes vha. cosinusrelationer

𝐴=cos^{−1} ()

𝑐^{2} + 𝑏^{2} − 𝑎^{2}
2 · 𝑏 · 𝑐

=cos^{−1} ()

1666^{2} + 1661^{2} − 1535^{2}
2 · 1661 · 1666
=54,9517°

Vinkel A aflæses til 54,9517°:

Vi bestemmer arealet:

𝑇= · 1661 · 1666 · sin ( 54,9517)

1

2

≈1132720

Arealet af Bermudatrekanten er bestemt til 1132720 km^{2}.

A b C c a

Side 11

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august

11

Opgave 11 a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{3} − 4𝑥^{2} + 12𝑥

1

3

Vi tegner grafen for f:

Vi foretager en funktionsundersøgelse. Vi bestemmer evt. ekstrema samt vendetangenter:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2 ∨ 𝑥=6

Vi undersøger differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne:

𝑓^{′} ( 1) =5

𝑓^{′} ( 3) =−3

𝑓^{′} ( 7) =5

f er voksende i intervallet ]-∞; 2] og [6; ∞[

f er aftagende i intervallet [2; 6]

Side 12

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august

12 b)

Vi løser f’(x) = -5:

𝑓^{′} ( 𝑥) =−5

𝑥∈∅

Ligningen havde ingen løsninger indenfor ℝ for variabel x

Der findes ingen reelle løsninger for f’(x) = -5 dvs. grafen for f ikke har nogen tangenter med

hældningskoefficienten -5.

c)

Grænsen for arealet er bestemt af skæringen mellem 1. aksen (x-aksen) og f.

Vi bestemmer førstekoordinaten:

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0 ∨ 𝑥=6

Vi bestemmer arealet ved at løse det bestemte integral herunder:

∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 =36

6

0

Arealet er bestemt til 36.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 13

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august

13

Til eksamen skal du kun udvælge én af de to følgende opgaver, 12a og 12b. Her bringes alle løsninger, så du kan bruge dem til at øve de forskellige opgavetyper.

Opgave 12a a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑡) ≔114,6 · ( 1 − 0,927 · 𝑒^{−0,14·𝑡})

Vi bestemmer f(4): 𝑓 ( 4) ≈53,91806

Ifølge modellen er længden af en 4 år gammel gedde 53,92cm (afrundet til 2 decimaler).

Vi løser f(t) = 35
𝑓 ( 𝑡) =35

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=2,061657

Ifølge modellen er en 35 cm lang gedde ca. 2,1 år gammel (afrundet til 1 decimal).

b)

Vi bestemmer f’(5):

𝑓^{′} ( 5) ≈7,385608

f’(5) er bestemt til 7,39 dvs. at i geddens 5. leveår, vokser geddens længde med 7,39 cm.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 14

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august

14

Opgave 12b a)

Det er oplyst at modellen kan beskrives ved en eksponentiel funktion, vi bestemmer derfor tallene ved eksponentiel regression.

Vi aflæser to punkter på grafen og opstiller en tabel, og foretager derefter eksponentielregression:

Tid (minutter) 0 75

Temperaturforskel °C 20 10

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=20 · 0,9908006^{𝑥}

Vi aflæser tallet a og b fra regressionsligningen.

Tallet a aflæses til 0,99 (afrundet til to decimaler), og tallet b aflæses til 20.

b)

Vi definerer regressionsligningen:

𝑓 ( 𝑡) ≔20 · 0,9908006^{𝑡}

1 time svarer til 60 minutter. Vi løser f(4·60):

𝑓 ( 4 · 60) ≈2,176369

Temperaturforskellen mellem øllet og køleskabet er bestemt til 2,18°C (afrundet til 2 decimaler).

Køleskabet er 5 °C varm dvs. at øllets temperatur ifølge modellen er:

2,18 + 5=7,18°𝐶

Sammenligner vi resultatet fra modellen med udklippet, kan vi konkludere, at afkølingen af øllet ifølge modellen sker en langsommere end påstået i udklippet. Det hænger muligvis sammen med, at udklippet tager sig ud som en reklame, hvor det er til producentens fordel, at påstå over for forbrugeren, at køleskabet er effektivt.