HF Matematik B 29. august 2014 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

1

HF Matematik B 29. august 2014

Delprøven med hjælpemidler

hfe142-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 7 a)

Vi indsætter data’et i et koordinatsystem og foretager en lineær regression:

Ud fra forskriften for tendenslinjen, kan vi aflæse følgende værdier for a og b:

y = -0,493x + 3,232
R² = 0,9978

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Minutpris (kr.)

År(juli) efter 2011

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

2

𝑎=−0,493

𝑏=3,232

b) a er linjens hældningskoefficient, som viser tilvæksten af y for hvert x. Da er negative, kan vi konkludere, at linjen er aftagende, og at maksimalprisen falder for hvert år, der går. Den numeriske værdi af a siger noget om, hvor stor tilvæksten er. Vi kan derved udlede, at maksimalprisen i gennemsnit falder med ca. 0,5 kr. for hvert år der går efter 2011.

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

3

Opgave 8 a)

Vi definerer funktionen f:

𝑓 ( 𝑥) ≔−0,2𝑥^{4} + 1,6𝑥^{3} − 3,2𝑥^{2} + 1,6𝑥 −3

Vi sætter funktionen lig nul og isolerer for x:

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=3 ∨ 𝑥=5

Løsningen viser koordinaterne til funktionens skæring med x-aksen. Vi kan derved udlede, at funktionen

skærer x-aksen to gange i henholdsvis x=3 og x=5.

b)

Vi benytter følgende formel for arealet under en funktion afgrænset af x-aksen og grænseværdierne a og b:

𝐴=∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Grænseværdierne a og b er lig funktionens skæring med x-aksen, som netop er beregnet i forrige opgave:

𝑎=3

𝑏=5

Vi indsætter grænseværdierne og funktionen i formlen:

𝐴=∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

5

3

=

619695308726180329

135107988821114880

≈4,586667

Arealet af det røde område er lig 4,59.

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

4

Opgave 9 a)

Vi beregner størrelsen af længden AB ud fra den retvinklede trekant ABH.

Størrelsen af siden AH er lig følgende:

𝐴𝐻=5,35 + 3,2
=8,55

Vi benytter Pythagoras til beregning af længden AB:

𝑎^{2} + 𝑏^{2} =𝑐^{2}

⇕

𝐴𝐻^{2} + 𝐵𝐻^{2} =𝐴𝐵^{2}

⇕

8,55^{2} + 3,05^{2} =𝐴𝐵^{2}

⇕ Ligningen løses for AB vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐴𝐵=−9,07772 ∨ 𝐴𝐵=9,07772

Da en længde kun kan være positiv er længden AB lig 9,08 m.

Vi beregner længden BC ud fra den retvinklede trekant BCH. Vi benytter Pythagoras til beregning af længden BC:

𝐶𝐻^{2} + 𝐵𝐻^{2} =𝐵𝐶^{2}

⇕

3,2^{2} + 3,05^{2} =𝐵𝐶^{2}

⇕ Ligningen løses for BC vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐵𝐶 =−4,42069 ∨ 𝐵𝐶=4,42069

BC er lig 4,42 meter.

b)

Vi bestemmer vinkel A ud fra trekant ABC, hvor vi kender længden af alle sider. Vi benytter WordMats trekantløser:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: BC = 4,42069 , AC = 5,35 , AB = 9,07772

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

5

B A = 19,6326°
B = 23,99257°
C = 136,3748°

BC = 4,42069
AC = 5,35
AB = 9,07772

Vinkel A finds vha. cosinusrelationer

𝐴=cos^{−1} ()

𝑐^{2} + 𝑏^{2} − 𝑎^{2}
2 · 𝑏 · 𝑐

=cos^{−1} ()

9,07772^{2} + 5,35^{2} − 4,42069^{2}
2 · 5,35 · 9,07772
=19,6326°
Taghældningen er 19,63^{o}

c)

Vi bestemmer længden MC ud fra trekant AMC, hvor vi kender to sider og en vinkel.

Længden AM beregnes:

𝐴𝑀=

𝐴𝐵

2

=

9,07772

2

=4,53886

Vi benytter WordMats trekantløser:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 19,6326° , m = 5,35 , c = 4,53886

M A = 19,6326°
M = 105,5481°
AM MC C = 54,8193°

MC = 1,865811
AC = 5,35
AM = 4,53886

Længden af siden a findes vha. en cosinusrelation

𝑀𝐶 = √ 𝑚^{2} + 𝑐^{2} − 2 · 𝑚 · 𝑐· cos ( 𝐴)

A AC C

BC

AB

A AC C

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

6

= √ 5,35^{2} + 4,53886^{2} − 2 · 5,35 · 4,53886 ·cos ( 19,6326°)
=1,865811

Spæret MC er lig 1,87 meter.

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

7

Opgave 10 a)

Vi opstiller en eksponentiel funktion, for udviklingen i antallet af computere pr. 100 indbygger, på følgende form:

𝑓 ( 𝑥) =𝑏 · 𝑎^{𝑥}

Vi bestemmer vækstraten a:

11,7= ( 𝑎− 1) · 100

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎=1,117

B er lig startværdien:

𝑏=29

Vi har følgende funktion:

𝑓 ( 𝑥) ≔29 · 1,117^{𝑥}

Da der går 5 år fra 1994 til 1999, sætter vi x=5 og beregner funktionsværdien:

𝑓 ( 5) ≈50,42708

I 1999 er der 50,43 computere pr. 100 indbygger.

b)

Fordoblingskonstanten er givet ved:

𝑇_{2} =

ln (2) ln (𝑎)

Vi indsætter størrelsen af a:

𝑇_{2} =

ln ( 2) ln ( 1,117)

=ln ( 2) · 9,03779

≈6,264519

Fordoblingskonstanten er lig 6,26.

Fordoblingskonstanten fortæller, hvor lang tid det tager at fordoble antallet af computere pr. 100 indbygger. I dette tilfælde tager det 6,26 år før at antallet af computere pr. 100 indbygger er fordoblet siden år 1994.

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

8

Opgave 11 a)

Vi definerer funktionen og de gældende værdier for x: 𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥−

3 𝑥 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑥>0

Vi bestemmer den afledet funktion:

𝑓^{′} ( 𝑥) = + 1

3

𝑥^{2}

                                               2
Differentialkvotienten f’ er lig funktionens hældning. Da 𝑥

altid vil give et positivt tal uanset x-værdien, vil

brøken_{𝑥^{2}}^{3} ligeledes altid give et positivt tal. Derved er differentialkvotienten positiv, og funktionen f er

derfor voksende.

b)

Ligningen for tangenten bestemmes vha. tangentligningen:

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

Hvor tangenten tangerer funktionen f i punktet (𝑥_{0},𝑓(𝑥_{0}). Vi indsætter punktet P’s koordinater i

tangentligningen:

𝑦=𝑓^{′} ( 1) · ( 𝑥− 1) + 𝑓 ( 1)
=4 ( 𝑥− 1) + ( −2)
=4𝑥− 6

Tangenten har følgende forskrift:

𝑦=4𝑥 − 6

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

9

Opgave 12 a)

Vi definerer funktionen: 𝑓 ( 𝑥) ≔

1206

1 + 6,06 · 𝑒^{−0,922𝑥}

Der er gået 3 fra 2008 til 2011. Vi sætter derfor x=3 i funktionen og beregner funktionsværdien:

𝑓 ( 3) ≈873,1198

Ifølge modellen er der i 2011 873,12 mio. Facebook-brugere.

b)

For at få et udtryk for hastigheden, som funktion af x, differentierer vi f. Vi lader x være lig 3:

𝑓^{′} ( 3) ≈222,2007

Antallet af Facebook-brugere voksede med en hastighed på 222,2 mio. brugere/år.

c)

Vi plotter funktionen vha. Graph.

𝑓 ( 𝑥) =

1206

1 + 6,06 · 𝑒^{−0,922𝑥}

Side 10

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

10

f(x)=(1206)/(1+6.06*e^(-0.922*x))

-

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600 x y

Tallet 1206 er funktionsværdien til kurvens asymptote. Asymptoten har derved følgende forskrift:

𝑦=1206

Udviklingen af facebookbrugere vil derved gå mod 1206 mio. antal brugere, men vil aldrig nå denne værdi.