HF Matematik B 29. maj 2017 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

1

HF Matematik B

29. maj 2017

hfe171-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

2

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1

( 𝑎 + 𝑏)^{2} + 3𝑎· ( 𝑎− 𝑏) − 𝑏^{2}

Vi reducerer udtrykket:

( 𝑎+ 𝑏)^{2} + 3𝑎 · ( 𝑎− 𝑏) − 𝑏^{2} =𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 2𝑎𝑏 + 3𝑎^{2} − 3𝑎𝑏 − 𝑏^{2} (𝐼)
=4𝑎^{2} − 𝑎𝑏

Udtrykket er blevet reduceret.

(I): Kvadratsætninger

( 𝑎 + 𝑏)^{2} =𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 2𝑎𝑏

Opgave 2

𝑓 ( 𝑥) =2𝑥 − 5

𝑔 ( 𝑥) =−2𝑥+ 11

Vi bestemmer førstekoordinaten for koordinatsættet til skæringspunktet mellem graferne for hhv. f og g

ved at løse for x i f(x) = g(x) dvs.:

𝑓 ( 𝑥) =𝑔 ( 𝑥)

⇕

2𝑥− 5=−2𝑥+ 11

⇕

4𝑥− 5=11

⇕

4𝑥=16

⇕

𝑥=4

Vi bestemmer anden koordinaten ved at bestemme f(4):

𝑓 ( 4) =2 · 4 − 5
=8 − 5
=3

Koordinatsættet til skæringspunktet er bestemt til S(4, 3).

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

3

Opgave 3

𝑦=𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

Graferne er alle grafer for andengradspolynomier, vi aflæser grafernes udseende på bilaget.

Vi kan konkludere, at a er positiv for hhv. P_{3} og P_{1}. Da fortegnet for a afgør om parablen er konkav eller

konveks. Er a > 0 er parablen konveks, er a < 0 er parablen konkav

Vi kan konkludere, at diskriminanten d er positiv for hhv. P_{1} og P_{2}. Da d > 0 betyder at grafen for

andengradspolynomiet har to nulpunkter.

Opgave 4

Udviklingen kan beskrives med en eksponentiel funktion, da antallet af arbejdsulykker falder med 1,7 % om året:

𝑓 ( 𝑥) =𝑏 ·𝑎^{𝑥}

Vi indfører og beskriver passende variable: f(x) betegner antallet af anmeldte arbejdsulykker til x antal år efter år 2005.

x betegner x antal år efter år 2005.

b betegner antallet af anmeldte arbejdsulykker i år 2005, dvs. tallet b er bestemt til 47295.

a betegner fremskrivningsfaktoren. Med vækstraten r = - 0,017 % kan vi bestemme fremskrivningsfaktoren

a:

𝑎=𝑟+ 1
=−0,017 + 1
=0,983

Vi opskriver en model, der beskriver udviklingen i antal anmeldte arbejdsulykker i perioden efter år 2005:

𝑓 ( 𝑥) =47295 · 0,983^{𝑥}

Modellen er bestemt til udtrykket herover.

Opgave 5

Vi har, at p og T er proportionale dvs.:

𝑇=𝑘 · 𝑝

Vi bestemmer proportionalitetsfaktoren k ved at løse for k, når p = 100 og T = 300 dvs.:

300=𝑘· 100

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

4

⇕

𝑘=

300

100

⇕

𝑘=3

Vi bestemmer T, når p = 50:

𝑇=3 · 50
=150

Vi bestemmer P, når T = 360 ved at løse for p i udtrykket herunder:

360=3 · 𝑝

⇕

𝑝=

360

3

=120

Vi udfylder tabellen på bilaget:

Opgave 6

𝑓 ( 𝑥) =5 · 𝑒^{𝑥} + − 4

1 𝑥 𝑥>0

Vi bestemmer samtlige stamfunktioner F(x) til f(x) ved at integrere f(x):

𝐹 ( 𝑥) =∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

=∫5 · 𝑒^{𝑥} + − 4𝑑𝑥

1 𝑥

=5 · 𝑒^{𝑥} + ln ( 𝑥) − 4𝑥+ 𝑘(𝐼)

Samtlige stamfunktion er bestemt til udtrykket herover.

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

5

(I): Stamfunktioner 𝑓 ( 𝑥) 𝐹(𝑥)

𝑘𝑒^{𝑥} 𝑘𝑒

𝑥

1 𝑥 𝑙𝑛 ( 𝑥) 𝑘 𝑘𝑥

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

6

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 7 a)

Det er oplyst, at sammenhængen kan beskrives med en lineær funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med lineær regression af dataet.

Vi opstiller tabel med data og foretager regression.

Tid efter 0 1 3 5 7 9 11 start

(sekunder)

Hastighed 0 3 7 12 16 23 27

(m/s)
Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,

𝑦=2,4532578𝑥− 0,045325779

Tallene aflæses fra regressionsligningen.

Tallet a er bestemt til 2,45 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b er bestemt til 0,045 (afrundet til 3 decimaler).

b)

Vi definerer forskriften for f(x):

𝑓 ( 𝑥) ≔2,4532578𝑥 − 0,045325779

Vi bestemmer, hvor lang tid der går, før raketten har en hastighed på 50 m/s ved at løse for x, når f(x) = 50:

𝑓 ( 𝑥) =50

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=20,39954

Ifølge modellen går der 20,40 s, før at raketten har en hastighed på 50 m/s (afrundet til 2 decimaler).

c)

Vi beregner rakettens højde over jorden 10 sekunder efter start vha. det bestemte integral herunder:

ℎ=∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

10

0

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

7

≈122,20963

Ifølge modellen er rakettens fart 10 sekunder efter start 122,21 s (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 8 a)

Vi definerer forskriften for f samt definitionsmængden for x:

𝑓 ( 𝑥) ≔3𝑥· ln ( 𝑥) − 𝑥^{2}

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥>0

Vi definerer førstekoordinaten til punktet P som x :
                                        0

𝑥_{0} ≔1

Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P ved:

𝑦_{𝑡} =𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
=𝑥− 2

En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P er bestemt til udtrykket herover.

Vi tegner grafen for f:

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

8 b)

Vi løser ligningen f’(x) = 0 for x:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥≈0,52047241 ∨ 𝑥≈3,2832512

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.

De to løsninger til ligningen er hhv. bestemt til x = 0,52 og x = 3,28 (afrundet til 2 decimaler).

Vi bestemmer monotoniforhold for f. Vi har bestemt nulpunkterne til den afledede funktion f’, vi undersøger nu differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne til den afledede funktion:

𝑓^{′} ( 0,25) ≈−1,6588831

𝑓^{′} ( 2) ≈1,0794415

𝑓^{′} ( 4) ≈−0,84111692

Vi opskriver monotoniforhold (nulpunkter er afrundet):

f er aftagende i intervallerne ]0; 0,52] og [3,28; ∞[

f er voksende i intervallet [0,52; 3,28]

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 9 a)

Vi bestemmer radius af hulrummet ved en sprængkraft på 8 kiloton ved at bestemme R, når x = 8:

𝑅=17 · 8

1

3

≈34

Radius af hulrummet er bestemt til 34 m.

Vi bestemmer, hvor stor bombens sprængkraft skal være, for at danne et hulrum på 40 m, ved at løse for x,

når R = 40:

40=17 · 𝑥

1

3

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=13,026664

Side 9

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

9

Bombens sprængkraft skal være 13,03 kiloton (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi definerer tallet 1/3 som a og væksten for sprængkraften for bombe A som r_{x}:

𝑎≔

1

3

𝑟_{𝑥} ≔0,40

Vi bestemmer, hvor mange procent større hulrummet er efter bombe A end bombe B ved at løse for r_{y} i

udtrykket herunder:

𝑟_{𝑦} + 1= ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} =0,11868894

Ifølge modellen er radius for bombe A bestemt til at være 11,87 % større end bombe B (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 10 a)

Vi bestemmer længden af linjestykket BC med WordMats trekantløser.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 51° , CA = 88 , BA = 36

C B = 105,8218°
C = 23,178204°
A = 51°

CA = 88
BA = 36
BC = 71,081826

B BA A

BC CA

Side 10

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

10

Længden af siden BC findes vha. en cosinusrelation:

𝐵𝐶= √ 𝐵𝐴^{2} + 𝐶𝐴^{2} − 2 · 𝐵𝐴 · 𝐶𝐴 ·cos ( 𝐴)
= √ 36^{2} + 88^{2} − 2 · 36 · 88 · cos ( 51°)
=71,081826

Længden af linjestykket BC er bestemt til 71,08 cm (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer først arealet af trekant ABC med en sinusrelation:

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = · | 𝐵𝐴 | · | 𝐴𝐶 | · sin ( 𝐴)

1

2

= · 36 · 88 · sin ( 51)

1

2

≈1230,9992

Vi bestemmer arealet af trekant DEC som differensen mellem arealet af hele sejlet og arealet af trekant ABC dvs.:

𝑇_{𝐷𝐸𝐶} =1680 − 1230,9992
=449,0008

VI bestemmer vinkel D ved at løse for Di udtrykket herunder, hvor 0 < D < 90:

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = · | 𝐷𝐶 | · | 𝐷𝐸 | · sin ( 𝐷)

1

2

⇕

449,0008= · | 64 | · | 16 | · sin ( 𝐷)

1

2

⇕ Ligningen løses for D vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner: 0<𝐷<90
𝐷=61,277163

Vinkel D er bestemt til 61,28° (afrundet til 2 decimaler).

Opgave 11 a)

Vi definerer forskriften for N:

𝑁 ( 𝑡) ≔15000 · 1,021^{𝑡}

Vi bestemmer tallet N’(10):

𝑁^{′} ( 10) ≈383,74903

Side 11

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

11

Tallet N’(10) er bestemt til 384 (afrundet op til hel bakterie). Tallet fortæller, at 10 minutter efter forsøgets start vokser antallet af bakterier med 384 bakterier (afrundet op til hel bakterie) i minuttet.

b)

Vi bestemmer fordoblingstiden ved:

𝑇_{2} =

log ( 2) log ( 𝑎)

=

log ( 2) log ( 1,021)

≈33,352382

Fordoblingstiden for antallet af bakterier er bestemt til 33,35 minutter (afrundet til 2 decimaler).

c)

I det andet forsøg er udviklingen oplyst til at være eksponentiel, vi bestemmer fremskrivningsfaktoren a for det andet eksperiment ved:

𝑎=
√

2 1 𝑦_{2}
𝑦_{1}

𝑥 −𝑥

=

√

95000

15000

80

≈1,0233411

Vi bestemmer fordoblingstiden ved:

𝑇_{2} =

log ( 2) log ( 𝑎)

=

log ( 2) log ( 1,0233411)

≈30,041664

Fordoblingstiden for det andet forsøg er bestemt til 30,04 minutter (afrundet til 2 decimaler).

Opgave 12 a)

Rumfanget af en kasse er generelt givet ved V_{kasse} = h • l • b. Længden af kassen er givet ved l = 60 - 2x,
bredden af kassen er givet ved b = 80 - x, og højden af kassen er givet ved x, dvs. rumfanget af kassen

udtrykt ved x er givet ved:

Side 12

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. maj 2017

12

𝑉(𝑥)=𝑥· ( 60 − 2𝑥) · ( 80 − 𝑥)

Udtrykket er identisk med udtrykket i opgaveformuleringen, vi har dermed gjort rede.

Vi gør rede for, at definitionsmængden af x er givet ved 0 < x < 30:

Er x = 0 vil det svare til, at kassen er uden sider og endeflade, er x < 0 vil det resultere i negative længder,

som ikke giver mening. Desuden har vi, at x < 30 da to gange x ikke må overstige 60 da den totale længde af kasses inklusive sider er lig 60.

b)

Vi definerer forskriften for V(x) samt definitionsmængden for x:

𝑉 ( 𝑥) ≔𝑥· ( 80 − 𝑥) · ( 60 − 2𝑥)

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0<𝑥<30

Vi bestemmer x, så kassens rumfang bliver størst muligt ved at optimere x. Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion V’(x):

𝑉^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=13,333333

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion:

𝑉^{′} ( 10) =1000

𝑉^{′} ( 20) =−1600

Vi kan konkludere, at x = 13,333333 er et maksimum.

Værdien for x, så rumfanget af kassen bliver størst muligt er bestemt til 13,33 cm (afrundet til 2 decimaler).