HF Matematik B 31. maj 2016 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

1

HF Matematik B

31. maj 2016

Delprøven med hjælpemidler

Hfe161-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 7 a)

Der er tale om en eksponentiel model, så vi anvender eksponentiel regression. Først opstilles data i en tabel, idet vi ved hovedregning bestemmer antal år efter 2006.

Antal år efter 2006 0 1 2 3 4 5 6 7

Installeret solenergi (målt i GW) 6,6 9,1 16 22 40 70 100 137

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9938382

𝑦=6,260982 · 1,576556^{𝑥}

Tallene 𝑎 og 𝑏 aflæses (og afrundes) af regressionsligningen:

𝑎=1,577

𝑏=6,261

b)

Tallet 𝑎=1,577 er fremskrivningsfaktor og fortæller os noget om funktionens vækstrate 𝑟, idet:

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

2

𝑟=𝑎− 1
=1,577 − 1
=0,577
=57,7%

Det vil sige, at den installerede solenergi (målt i GW) vokser med 57,7% om året ifølge modellen.

c)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔6,260982 · 1,576556^{𝑥}

Vi bestemmer, hvornår funktionsværdien er lig med 1000:

𝑓 ( 𝑥) =1000

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=11,14442

For 𝑥=11, vil 𝑓 ( 𝑥) <1000, da 𝑓 er en voksende funktion.
For 𝑥=12 vil 𝑓 ( 𝑥) >1000, da 𝑓 er en voksende funktion.
𝑥=12 svarer til årstallet 2006 + 12=2018.

Hvis udviklingen fortsætter, vil den installerede solenergi komme over 1000 GW i år 2018.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

3

Opgave 8 a)

WordMats trekantsløser anvendes med input: C = 101,8°, BC = 12,1, AC = 10,5

B A = 42,39287°
B = 35,80713°
C = 101,8°

BC = 12,1
AC = 10,5
AB = 17,56765

Vinkel B findes vha. en cosinusrelation:

𝐵=cos^{−1} ()

𝐴𝐵^{2} + 𝐵𝐶^{2} − 𝐴𝐶^{2}
2 · 𝐴𝐵· 𝐵𝐶

=cos^{−1} ()

17,56765^{2} + 12,1^{2} − 10,5^{2}
2 · 17,56765 · 12,1
=35,80713°

Vinkel A findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant:
𝐴=180° − 𝐶− 𝐵
=180° − 101,8°− 35,80713°
=42,39287°

Længden af siden AB findes vha. en cosinusrelation

𝐴𝐵= √ 𝐴𝐶^{2} + 𝐵𝐶^{2} − 2 · 𝐴𝐶· 𝐵𝐶· cos ( 𝐶)
= √ 10,5^{2} + 12,1^{2} − 2 · 10,5 · 12,1 · cos ( 101,8°)
=17,56765

Vi konkluderer, at | 𝐴𝐵 | =17,57.

A AC C

AB BC

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

4 b)

Vinkel 𝐶 i trekant 𝐴𝐵𝐶 og vinkel 𝐶 i trekant 𝐵𝐶𝐷 er supplementære (tilsammen lig med 180 grader). Vi får så:

180=𝐶_{𝐵𝐶𝐷} + 101,8

⇕ Ligningen løses for C_BCD vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐶_{𝐵𝐶𝐷} =78,2

Vinkel 𝐶 i trekant 𝐵𝐶𝐷 er 78,2°.

Arealet af trekant 𝐵𝐶𝐷 kan bestemmes vha. to sider og vinklen mellem dem:

𝑇_{𝐵𝐶𝐷} = · 𝐵𝐶·𝐶𝐷 · sin ( 𝐶_{𝐵𝐶𝐷})

1

2

Den eneste ukendte størrelse er 𝐶𝐷, så vi indsætter kendte størrelser og løser ligningen:

93= · 12,1 · 𝐶𝐷· sin (78,2)

1

2

⇕ Ligningen løses for CD vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐶𝐷=15,70376

Vi konkluderer, at | 𝐶𝐷 | =15,7.

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

5

Opgave 9 a)

Da antallet af medlemmer vokser med en konstant størrelse hvert år, kan vi anvende en lineær model på formen:

𝑦=𝑎𝑥+ 𝑏

Hvor: 𝑦 angiver antallet af medlemmer i de danske fitnesscentre i tusinder.

𝑥 angiver antal år efter år 2006

𝑎 er hældningskoefficienten og kan tolkes som 𝑦-tilvæksten, når 𝑥 vokser med 1. Det vil sige, at 𝑎=43

𝑏 angiver 𝑦-værdien for 𝑥=0. Det vil sige, at 𝑏=460

Den endelige model bliver så:

𝑦=43𝑥+ 460

b)

Vi undersøger modellens bud på antallet af medlemmer i 2014 dvs. for 𝑥=8

𝑦=43 · 8 + 460=804

Modellens bud på antallet af medlemmer er altså 804.000. Den relative afvigelse fra den sande værdi er så:

𝐴𝑓𝑣.=

( 804 − 810)

810

≈−0,007407407
≈−0,74%

Modellen rammer under 1% ved siden af i år 2014, så der er altså tale om en meget præcis forudsigelse.

Udviklingen fra er altså med meget god tilnærmelse fortsat mindst til år 2014.

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

6

Opgave 10 a)

Vi definerer funktionen:

𝑚 ( 𝐿) ≔0,025 · 𝐿^{2,70}

For en 35 cm lang fisk gælder, at 𝐿=35. Vægten bliver så:

𝑚 ( 35) ≈368,9128

Vægten af en 35 cm lang fisk er altså ca. 369 𝑔 ifølge modellen.

b)

𝐿 vokser med 25% og bliver således til 𝐿 + 0,25𝐿=1,25𝐿

Den relative tilvækst i vægt kan da bestemmes som:

𝑟_{𝑚} =

( 𝑚 ( 1,25𝐿) − 𝑚 ( 𝐿))

𝑚 ( 𝐿)

≈0,8266571

=82,7%

Det vil sige, at fiskens vægt vokser med 82,7%, når dens længde vokser med 25%.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

7

Opgave 11 a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔0,125𝑥^{3} − 4,5𝑥^{2} + 48𝑥 − 151

Vi løser ligningen:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=8 ∨ 𝑥=16

Vi undersøger fortegnet for 𝑓′ på begge sider af nulpunkterne:

𝑓^{′} ( 7) =3,375

𝑓^{′} ( 9) =−2,625

𝑓^{′} ( 17) =3,375

Funktionen går i 𝑥=8 fra at være voksende til at være aftagende, mens funktionen i 𝑥=16 går fra at
være aftagende til at være voksende. Der er således et lokalt maksimum i 𝑥 =8 og et lokalt minimum i
𝑥=16. Vi bestemmer funktionsværdier:

𝑓 ( 8) =9

𝑓 ( 16) =−23

𝑓 har lokalt maksimum i 𝑃(8,9), og 𝑓 har lokalt minimum i 𝑄(16,−23).

b)

Vi definerer røringspunktets førstekoordinat:

𝑥_{0} ≔4

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 et punkt ( 𝑥_{0},𝑓 ( 𝑥_{0})) kan bestemmes som:

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
=18 · 𝑥− 95

Vi konkluderer, at tangenten til grafen for 𝑓 i punktet ( 4,𝑓 ( 4)) kan beskrives ved ligningen:

𝑦=18𝑥− 95

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

8 c)

Hældningskoefficienten til tangenten for grafen for en funktion i et givet punkt ( 𝑥_{0},𝑓 ( 𝑥_{0})) er lig med

differentialkvotienten for funktionen, når 𝑥=𝑥 . Vi løser så:
                                       0

𝑓^{′} ( 𝑥) =−4,5

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=10 ∨ 𝑥=14

Førstekoordinaten til hver af de to tangenter er hhv. 𝑥 =10 og 𝑥 =14.
                                            1        2

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

9

Opgave 12 a)

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔0,5𝑥^{2} + 1

Arealet af 𝑀 kan udregnes som det bestemte integral af funktionen med 𝑥=0 og 𝑥=3 som grænser:

𝐴_{𝑀} =∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 =7,5

3

0

Arealet af området 𝑀 er 7,5.

b)

Når de to delområder er lige store, vil de hver især være halvt så store som 𝑀:

𝐴_{𝑀_{1}} =𝐴_{𝑀_{2}} = 𝐴_{𝑀} = · 7,5=3,75

1 1

2 2

Arealet af 𝑀_{1} kan udregnes som det bestemte integral af funktionen med 𝑥=0 og 𝑥=𝑘 som grænser. Vi

løser så:

3,75=∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑘

0

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘=2,132874

Vi konkluderer, at de to områder har samme areal for 𝑘=2,133.