HF Matematik B 4. juni 2012: Delprøven med hjælpemidler

Side 1

HF MAT B hfe121-MAT/B-

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Mange af opgaverne løses med WordMat. Hent den gratis tilføjelse til Word her. (Obs. Virker kun med Windows-computere)

Tip: Genvej til at indsætte ligning (Alt + M). Se flere smarte genveje under ”Hjælp” -> Genveje i

WordMat

Opgave 7 a)

Tallet −4,64 fortæller at produktionen af naturgas i E.U. ifølge modellen er aftaget med 4,64 mia.

kubikmeter om året, i årene efter 2008.

Tallet 217 betyder at der i år 2008 ifølge modellen blev produceret 217 mia. kubikmeter naturgas i E.U.

Dette kan ses af at 𝑦 =217 for 𝑥 =0 og at 2008 netop et 0 år efter 2008.

Side 2

HF MAT B hfe121-MAT/B-

Opgave 8 a)

Da der er tale om eksponentiel model, laver vi en eksponentiel regression for at bestemme tallet a.

Vi indtaster først data i Excel, hvor vi omregner årstal til år efter 2005 ved at trække 2005 fra årstallet.

Derefter trækker vi tabellen over i Word, hvor vi bruger WordMat til at lave regressionen med. (Markér

tabel -> Statistik/sands. -> Regression -> Eksponentiel)

År 2005 2006 2007 2008 2009 2010

År efter 2005 0 1 2 3 4 5

Antal unge med SU-gældsproblemer 43000 45900 48700 51600 54700 57800

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9993478

𝑦 =43175,1· 1,060714^{𝑥}

Tallet 𝑎 er således bestemt til 𝑎 ≈1,06071 b)

Da 𝑎 >1 er der tale om en eksponentiel voksende funktion, (jf. formel 54). Der kan således bestemmes en fordoblingstid, (jf. formel 59).

𝑇_{2} = = = log ( 2) · ≈ 11,75976

log2 log2 16,96575 log𝑎 log1,060714 log ( 𝑒)

Fordoblingstiden er altså

𝑇_{2} ≈ 11,8

Det betyder at antallet af unge med SU-gældsproblemer ifølge modellen vil fordobles for hvert ca. 11,8 år.

Side 3

HF MAT B hfe121-MAT/B-

Opgave 9 a)

Om rektangler gælder at alle vinkler er rette. Trekant 𝐴𝐶𝐷 er således ret.

Vi kan så bestemme de resterende vinkler og sider, da vi kender to sider i trekanten.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: D = 90° , CD = 4,8 , AD = 6,4

A = 36,8699°
C = 53,1301°
D = 90°

CD = 4,8
AD = 6,4
AC = 8

Længden af 𝐴𝐶 er altså 8 meter og vinkel A er 36,9° afrundet til en decimal.

b)

For at bestemme længden af siden AE, betragter vi trekanen ADE. I denne kender vi to vinkler (vi beregnede vinkel A i opgave a)) og en side. Vi kan dermed bestemme de resterende vinkler og sider.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 36,8699° , D = 14° , AD = 6,4

E A = 36,8699°
E = 129,1301°
D = 14°

ED = 4,950272
AD = 6,4
AE = 1,995965

Længden af siden 𝐴𝐸 er altså ca. 2,0 meter afrundet til en decimal.

c)

Arealet af en trekant kan bestemmes ved, jf. formel 29

𝑇 = ⋅ | 𝐴𝐷 | ⋅ | 𝐴𝐸 | ⋅ sin𝐴 ≈ ⋅ 6,4 ⋅ 1,995965 ⋅ sin36,8699 = sin ( 36,8699) · 6,387088≈ 3,832253

1 1

2 2

A AD D

C

AC CD

A AD D

AE ED

Side 4

HF MAT B hfe121-MAT/B-

Arealet der ikke bliver dækket af de to kameraer er altså ca. 3,83 𝑚^{2}.

Side 5

HF MAT B hfe121-MAT/B-

Opgave 10 a)

Funktionen 𝑓 defineres i WordMat og evalueres i 80 med WordMat-funktionen - Beregn.

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = 0,0025 ⋅ 𝑥^{2}

𝑓 ( 80) = 16

Det årlige antal bilulykker med personskade på vejstrækningen hvis den tilladte hastighed er 80 km/t vil

altså ifølge modellen være 16.

b)

Den relative vækst i antallet af bilulykker hvis den tilladte hastighed øges 12,5 % bestemmes.

𝑓 ( 1,125 ⋅ 𝑥) 𝑓 ( 𝑥)

− 1 = 0,265625

Hvis den tilladte hastighed sættes op med 12,5 % vil antallet af bilulykker med personskade altså stige med ca. 26,6 %.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

HF MAT B hfe121-MAT/B-

Opgave 11 a)

Først defineres funktionerne i WordMat:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = 0,5 ⋅ 𝑥^{1,5}

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑔 ( 𝑥) = 2 ⋅ 𝑥
√

Arealet mellem to grafer for funktionerne 𝑓 og 𝑔 i intervallet [1;3] bestemmes ved, jf. formel 97. Af grafen ses det, at på hele intervallet er g > f. Derfor sættes der et minus foran integralet, som beregnes med WordMat (Beregn)

𝐴 = −∫ ( 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥)) 𝑑𝑥 = √ 3 · 4 − 4,251025≈ 2,677178

3

1

Arealet af det område der afgrænses mellem graferne for 𝑓 og 𝑔 i intervallet [ 1;3] er altså ca. 2,68.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

HF MAT B hfe121-MAT/B-

Opgave 12 a)

Funktionen 𝑓 defineres i WordMat og evalueres i 𝑡 =5.

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑡) = −15𝑒^{−0,12⋅𝑡} + 20

𝑓 ( 5) = 11,76783

Sodavandens temperatur efter 5 minutter er altså ca. 11,8°C.

b)

For at bestemme den hastighed hvorved sodavandens temperatur vokser med bestemmes funktionens

første afledede i punktet 𝑡 = 5 med WordMat - Beregn

𝑓^{′} ( 5) = 0,9878609

Fem minutter efter sodavanden er taget ud af køleskabet vokser dens temperatur altså med en hastighed

på knap 1°C/min.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

HF MAT B hfe121-MAT/B-

Opgave 13 a)

Funktionen 𝑓 defineres i WordMat og evalueres i 8 med funktionen ”Beregn” i WordMat.

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = 𝑥^{2} − 30 ⋅ 𝑥+400 +

500 𝑥

𝑓 ( 8) = ≈ 286,5

573

2

Når der produceres 8 ton er omkostningerne altså 286,5 kr pr ton.

Grafen for 𝑓 tegnes med WordMat (Marker f(x) -> Graftegning -> Vis graf -> GnuPlot). x-aksen tilpasses definitionsmængden.

𝑓(𝑥)

Side 9

HF MAT B hfe121-MAT/B-

b)

For at bestemme hvor mange ton der kan produceres hvis omkostningerne pr. ton skal være mindre end

250 kroner løses ligningen

𝑓 ( 𝑥) = 250

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −2,247449 ∨ 𝑥 = 10 ∨ 𝑥 = 22,24745

Da 5 < 𝑥 < 25 bortkastes den negative løsning. Vi beregnermed WordMat værdien af f i et punkt mellem

𝑥 = 10 og 𝑥 = 22,24745.

𝑓 ( 15) = ≈ 208,3333

625

3

Da f er kontinuert er 𝑓(𝑥) således mindre end 250 for 𝑥 ∈]10;22,24745[.

c)

For at bestemme det antal ton, der giver de mindste omkostninger, skal vi minimere f. Dette gør vi ved først at bestemme nulpunkter for f’. Dette gøres med Løs ligning(er ) i WordMat.

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 15,97912

Vi bestemmer nu f’ på hver side af 𝑥 = 15,97912 med funktionen ”Beregn” i WordMat.

𝑓^{′} ( 15) = − ≈ −2,222222

20

9

𝑓^{′} ( 16) = ≈ 0,046875

3

64

Dermed har vi at f er aftagende i intervallet [ 5,15,97912] og f er voksende i intervallet [15,97912,25]

og af f har minimum for 𝑥 = 15,97912

Det antal tons der giver de mindste omkostninger pr. tons er altså ca. 15,98.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

4.