HF Matematik B 6. dec. 2013 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 7 a)

Tabellen oprettes i MS Word.

Den angivne sammenhæng er en potenssammenhæng. Tallene 𝑎 og 𝑏 bestemmes vha. en

potensregression over tabellens data. Hertil benyttes WordMat (Statistik/sands. - regression - Potens).

Galapagos- Humboldt- Magellan- Konge-pingvin pingvin pingvin pingvin

Højde (meter) 0,50 0,65 0,70 0,95

Vægt (kg) 2,2 4,5 4,9 15

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9850875

𝑦 = 16,26417· 𝑥^{2,980641}

HF 2. år

𝑎 = 2,985

𝑏 = 16,264

Resultaterne er afrundet til tre decimaler.

b)

Sammenhængen mellem højde som en funktion af vægten (for pingvinerne) defineres som funktion i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion).

Alternativt kan definitionslighedstegnet := benyttes.

𝑓 ( 𝑥) ≔ 16,264⋅ 𝑥^{2,985}

For at undersøge om sammenhængen gælder for en kejserpingvin (1,20 m / 40 kg), indsættes 𝑥 = 1,2

i forskriften for 𝑓 og det undersøges, om 𝑓 ( 1,20) ≈40.

Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn).

𝑓 ( 1,20) ≈ 28,02744

Side 2

Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-

Skulle kejserpingvinens vægt følge dens højde efter den fundne model, så skulle en kejserpingvin med en højde på 1,20 m veje ca. 28 kg. Da det er oplyst, at den pågældende kejserpingvin vejer 40 kg, kan det konkluderes, at den fundne sammenhæng mellem højde og vægt, ikke gælder for kejserpingviner.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 8 a)

Forskriften for 𝑓 defineres i WordMat (definitionslighedstegnet := benyttes).

𝑓 ( 𝑥) ≔ √ 2𝑥+ 4

Ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 0 løses vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk)

𝑓 ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −2

Løsningen på den givne ligning er således: 𝑓 ( 0) = −2

Den fundne løsning betyder, at grafen for 𝑓 tangerer 𝑦-aksen, hvor 𝑥 = −2 i punktet (−2,0).

b)

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet (0,𝑓

(

0

)

) kan bestemmes vha. tangentligningen:

(jf. formel 70)

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

𝑥_{0} = 0 indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes til bestemmelse af en ligning.

𝑦 = 𝑓^{′} ( 0) · ( 𝑥− 0) + 𝑓 ( 0) = 0,5 · 𝑥+ 2

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet (0,𝑓 ( 0)) er således: 𝑦 = 0,5 · 𝑥+ 2

c)

Arealet af det farvede område kan bestemmes som værende lig med integralet: (jf. formel 96) WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

∫ √ 2𝑥+ 4 𝑑𝑥 ≈ 5,641946

3

1

Arealet af området, der afgrænses af grafen for 𝑓, førsteaksen, linjen 𝑥 = 1 samt linjen 𝑥 = 3,

er således bestemt til (resultatet er afrundet til to decimaler):

𝐴𝑟𝑒𝑎𝑙 = 5,64

Side 3

Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-

Opgave 9 a)

Stigningen for bruttotonnagen (BT) i årene efter 1999 er oplyst værende fast 0,33 mio. BT om året,

hvilket betyder, at der er tale om en lineær udvikling efter modellen 𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏 (jf. formel 35)

Hvis 𝑥 angiver antal år efter 1999 og 𝑓

( 𝑥

) angiver bruttotonnagen (målt i mio.) som en funktion af antal år efter 1999, kan følgende lineære sammenhæng opstilles:

𝑓 ( 𝑥) = 0,33 ⋅ 𝑥+ 2,46

b)

Den fundne forskrift defineres i WordMat (definitionslighedstegnet := benyttes).

𝑓 ( 𝑥):= 0,33 ⋅ 𝑥+ 2,46

Det år, hvor bruttotonnagen oversteg 5,0 mio., kan bestemmes ved at løse ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 5,0

Denne løses vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk)

𝑓 ( 𝑥) = 5,0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 7,69697

Af resultatet fremgår det, at bruttotonnagen oversteg 5,0 mio. godt og vel 7 år efter 1999, hvilket var i år 2006 (i løbet af august måned).

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 10 a)

Længden af korden 𝐴𝐶 kan bestemmes vha. de givne oplysninger |𝐴𝐵|, |𝐵𝐶| samt ∠𝐵

hertil benyttes WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant) med input: B = 135° , BA = 7,7 , BC = 7,7

B = 135°
C = 22,5°
A = 22,5°

CA = 14,22774
BA = 7,7
BC = 7,7

Længden af 𝐴𝐶 er således bestemt til: | 𝐴𝐶 | = 14,2 𝑚

(resultatet er afrundet til én decimal)

B BA A

C

CA

BC

Side 4

Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-

b)

Arealet af trekant 𝐴𝐵𝐶 kan bestemmes som: (jf. formel 29)

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = ⋅ |𝐴𝐵| ⋅ |𝐵𝐶| ⋅ sin (∠𝐵)

1

2

De givne værdier indsættes og arealet bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn).

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = ⋅ 7,7 ⋅ 7,7 ⋅ sin ( 135) ≈ 20,96218

1

2

Arealet af trekant 𝐴𝐵𝐶 er således bestemt til: 𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = 20,96 𝑚^{2}

Resultatet er afrundet til to decimaler.

Arealet af hele grundplanen (polygonen) kan bestemmes som summen af trekanternes arealer og arealet for firkant 𝐴𝐵𝐶𝐷. Trekanterne er identiske og har dermed samme areal.

Arealet for hele grundplanen kan således bestemmes som:

𝐴_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} = 4 ⋅ 𝑇_{𝐴𝐵𝐶} + 𝐴_{𝐴𝐵𝐶𝐷} = 4 ⋅ ( ⋅ | 𝐴𝐵 | ⋅ | 𝐵𝐶 | ⋅ sin ( ∠𝐵)) + | 𝐴𝐶 |^{2}

1

2

De givne værdier indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝐴_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} = 4 ⋅ ( ⋅ 7,7 ⋅ 7,7 ⋅ sin ( 135)) + 14,2^{2} ≈285,4887

1

2

Arealet er således bestemt til: 𝐴_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} = 285,5 𝑚^{2}

Resultatet er afrundet til én decimal.

c)

Trekant 𝐴𝐵𝐶 og trekant 𝐹𝐺𝐻 er ligedannede (ensvinklede) trekanter. Man kan derfor opstille forhold mellem ens beliggende sider i de to trekanter og bestemme en skalafaktor 𝑘 (jf. formel 19) Længden af siden 𝐹𝐺 kan derfor bestemmes som:

| 𝐹𝐺 | = | 𝐴𝐵 | ⋅ 𝑘 = | 𝐴𝐵 | ⋅

|𝐹𝐻|

|𝐴𝐶|

De kendte værdier indsættes og WordMat (CAS - Beregn) benyttes til beregningen.

| 𝐹𝐺 | = 7,7 ⋅ ≈ 4,609155

8,5

14,2

Længden af siden 𝐹𝐺 er således bestemt til: | 𝐹𝐺 | = 4,6 𝑚

Resultatet er afrundet til én decimal.

Side 5

Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-

Opgave 11 a)

Sammenhængen mellem 𝐵𝑀𝐼 og fedtprocenten 𝐹 defineres i WordMat (vha. definitionslighedstegnet :=),

hvor fedtprocenten 𝐹 er en funktion af 𝐵𝑀𝐼, herefter benævnt med 𝑥.

𝐹 ( 𝑥) ≔ 42,9 ⋅ ln ( 𝑥) − 102,7

Fedtprocenten for en kvinde med et BMI på 28, kan således bestemmes som 𝐹(28).

WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝐹 ( 28) ≈ 40,25157

Fedtprocenten, når 𝐵𝑀𝐼 = 28 er således: 𝐹 ( 28) = 40,3 %

Resultatet er afrundet til én decimal.

𝐵𝑀𝐼 for en kvinde med en fedtprocent på 20 %, kan bestemmes ved at løse ligningen 𝐹 ( 𝑥) = 20

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.

𝐹 ( 𝑥) =20

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈ 17,46397

En kvinde med fedtprocenten 20 %, vil således have et 𝐵𝑀𝐼 på: 𝐵𝑀𝐼_{20} = 17,5

Resultatet er afrundet til én decimal.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

I den angivne formel 𝐹 = 42,9 ⋅ ln ( 𝐵𝑀𝐼) − 102,7 kan 𝐵𝑀𝐼 isoleres vha. WordMat.

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.

𝐹 = 42,9 ⋅ ln ( 𝐵𝑀𝐼) − 102,7

⇕ Ligningen løses for BMI vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐵𝑀𝐼 = 10,95657 · 𝑒^{0,02331002·𝐹}

Side 6

Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-

Opgave 12 a)

Den samlede længde af kablet fra 𝑃 til 𝑅 gennem 𝑄 kan bestemmes som | 𝑃𝑄 | + |𝑄𝑅|

Afstanden fra 𝑃 til 𝑄 samt fra 𝑄 til 𝑅 kan bestemmes vha. Pythagoras’ læresætning, da de to trekanter, som dannes mellem jorden, stolpen og wirerne, er retvinklede (jf. formel 21)

| 𝑃𝑄 | = √ 5^{2} + 𝑥^{2}

| 𝑄𝑅 | = √ 8^{2} + ( 10 − 𝑥)^{2}

Wirens samlede længde afhænger af afstanden 𝑥 målt fra den venstre stolpe til punktet 𝑄.

Den samlede wirelængde 𝑓(𝑥), som en funktion af afstanden 𝑥, kan bestemmes som:

𝑓 ( 𝑥) = | 𝑃𝑄 | + | 𝑄𝑅 | = 5 + 𝑥^{2} + √ 8^{2} + ( 10 − 𝑥)^{2}

√^{2}

∎ Hvilket skulle vises.

Da afstanden mellem stolperne er oplyst værende 10 meter, følger at: 0< 𝑥 < 10 b)

Funktionsudtrykket defineres i WordMat vha. definitionslighedstegnet :=

𝑓 ( 𝑥) ≔ 5 + 𝑥^{2} + √ 8^{2} + ( 10 − 𝑥)^{2}

√^{2}

Afstanden 𝑥, så den samlede længde af wiren er mindst mulig, kan bestemmes ved at

løse ligningen 𝑓^{′} ( 𝑥) = 0. Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 3,846154

Den afstand 𝑥, der giver den kortest mulige wire, er således bestemt til: 𝑥 = 3,85 𝑚

Resultatet er afrundet til to decimaler.