HF Matematik B 7. december 2012 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Skriftlig matematik HF B hfe123-MAT/B-

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 7 a)

Længden af diagonalen BD samt vinkel B (CBD) i trekant BCD bestemmes med WordMat’s trekantløser

(Diverse - Trekant) med følgende input: C = 90°, BC = 120, DC = 160

D = 36,8699°
B = 53,1301°
C = 90°

BC = 120
DC = 160
BD = 200

På baggrund af ovenstående konkluderes at: | 𝐵𝐷 | = 200
Vinkel CBD i trekant BCD er (afrundet til to decimaler): ∠𝐶𝐵𝐷 = 53,13°

b)

Arealet af en vilkårlig trekant ABC kan bestemmes som, - jf. formel 29

𝑇 = ½ ∙ 𝑎∙ 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ( 𝐶)

Arealet af firkant ABCD kan bestemmes som summen af arealerne af trekanterne BCD og ABD.

Hvilket giver følgende udtryk for arealet af firkant ABCD: (jf. skitse i opgaven)

𝐴_{𝐴𝐵𝐶𝐷} = 𝑇_{𝐵𝐶𝐷} + 𝑇_{𝐴𝐵𝐷} = ½ ∙ | 𝐵𝐶 | ∙ | 𝐵𝐷 | ∙ sin (𝐶𝐵𝐷) + ½ ∙ |𝐵𝐷| ∙ |𝐴𝐵| ∙ sin (𝐴𝐵𝐷)

De kendte sidelængder og vinkler indsættes og arealet bestemmes med WordMat (CAS - Beregn):

D 160 C

B

200 120

Side 2

Skriftlig matematik HF B hfe123-MAT/B-

𝐴_{𝐴𝐵𝐶𝐷} = ½ ∙ 120 ∙ 200 ∙ sin ( 53,13) + ½ ∙ 200 ∙ 140 ∙ sin ( 47,9)
= 12000 · sin ( 53,13) + 14000 · sin ( 47,9) ≈ 19987,65

Arealet af firkant ABCD er således bestemt til (afrundet til et helt tal): 𝐴 = 19988
                                                            𝐴𝐵𝐶𝐷

c)

For at undersøge nøjagtigheden af ægypternes formel, skal sidelængden AD bestemmes først.

Hertil benyttes WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant) med de kendte værdier for trekant ABD:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 47,9° , BD = 200 , AB = 140

A = 87,71754°
B = 47,9°
D = 44,38246°

BD = 200
AD = 148,513
AB = 140

Længden af siden AD er bestemt til (afrundet til et helt tal): | 𝐴𝐷 | = 149

Arealet af firkant ABCD bestemt med ægypternes formel, - beregnes med WordMat (CAS - Beregn):

𝐴_{𝐴𝐵𝐶𝐷} = ∙ = ∙ = 20175

| 𝐴𝐷 | + | 𝐵𝐶 | | 𝐴𝐵 | + | 𝐶𝐷 | 149 + 120 140 + 160

2 2 2 2

Ægypternes metode beregner arealet af firkant ABCD med følgende forhold/afvigelse:

𝑓𝑜𝑟ℎ𝑜𝑙𝑑 = ( − 1)=( − 1) = ≈ 0,009355613

𝑡𝑖𝑙𝑛æ𝑟𝑚𝑒𝑡 𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙 20175 187 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡 𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙 19988 19988

Afvigelsen svarer til 0,9 %.

Konklusionen er, at ægypternes beregningsmetode giver en god tilnærmelse til firkantens areal.

A 149 D

B

140 200

Side 3

Skriftlig matematik HF B hfe123-MAT/B-

Opgave 8 a)

Forskriften for den lineære model bestemmes vha. en lineær regression over tabellens data.

Hertil benyttes fx WordMat (Statistik/sands. - Regression - Lineær):

År efter 2005 0 1 2 3 4 5

Øl (mio. liter) 574 554 527 505 476 453

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9980649

𝑦 = −24,6𝑥+ 576,3333

Danskernes forbrug af øl efter 2005 kan beskrives med forskriften: 𝑓 ( 𝑥) = −24,6𝑥 + 576,3

Hvor x er antal år efter 2005 f(x) er ølforbruget (målt i mio. liter) som en funktion af x.

b)

Faldet i danskernes ølforbrug pr. år kan aflæses som hældningskoefficienten i forskriften, - jf. formel 31

𝑓 ( 𝑥) = −𝟐𝟒,𝟔𝑥+ 576,3

Da hældningskoefficienten er negativ, betyder det at f(x) aftager, når x forøges, - ølforbruget er således faldende.

Af forskriften fremgår det således, at ølforbruget falder med 24,6 𝑚𝑖𝑜.𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟 pr. år efter 2005.

Ølforbrug i 2015 kan bestemmes ved at indsætte 𝑥 = 2015 − 2005 = 10 i forskriften.

Resultatet er beregnet med WordMat (CAS - beregn):

𝑓 ( 10) = −24,6 ∙ 10 + 576,3= 330,3

Ifølge modellen vil danskernes ølforbrug således i år 2015 være faldet til: 330,3 𝑚𝑖𝑜.𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟

Side 4

Skriftlig matematik HF B hfe123-MAT/B-

Opgave 9 a)

En stamfunktion til 𝑓 ( 𝑥) = 2𝑥^{3} + 6𝑥^{2} − 4 kan bestemmes med WordMat (CAS - Infinites. - Stamfunktion):

𝑓 ( 𝑥) =2𝑥^{3} + 6𝑥^{2} − 4

Der findes en stamfunktion vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Stamfunktion' funktion

∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 =

𝑥^{4} + 4 · 𝑥^{3} − 8 · 𝑥+ 2 · 𝑐1

2

En stamfunktion til f(x) er således bestemt til: 𝐹(𝑥) = 0,5𝑥^{4} + 2𝑥^{3} − 4𝑥 + 𝑘

hvor k er en (integration)konstant.

For at bestemme den stamfunktion, hvis graf går gennem punktet (2,10), bestemme først værdien for konstanten k ved at indsætte punktets koordinater. WordMat kan benyttes hertil (CAS - Løs Ligning(er)):

10 = 0,5 ∙ 2^{4} + 2 ∙ 2^{3} − 4 ∙ 2 + 𝑘

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘 = −6

Den stamfunktion til f(x), hvis graf går gennem (2,10) har forskriften: 𝐹 ( 𝑥) = 0,5𝑥^{4} + 2𝑥^{3} − 4𝑥 − 6

Side 5

Skriftlig matematik HF B hfe123-MAT/B-

Opgave 10 a)

Hvilestofskiftet for en chimpanse på 30 kg bestemmes ved at indsætte 𝑥 = 30 i den givne model:

𝑓 ( 𝑥) = 69,5 ∙ 𝑥^{0,76}

𝑥 = 30 indsættes og resultatet beregnes med WordMat (CAS - beregn):

𝑓 ( 30) = 69,5 ∙ 30^{0,76} = 921,7156

Hvilestofskiftet ved en vægt på 30 kg er således: 𝑓 ( 30) = 921,7 kcal/døgn

b)

Forholdet mellem hvilestofskiftet for hanbavianen og hunbavianen kan bestemmes som:

(hunnens vægt sættes lig x, hannens vægt er dermed 2x)

𝑓𝑜𝑟ℎ𝑜𝑙𝑑 = = = = = 2^{0,76} = 1,693491

𝑓 ( 2𝑥) 69,5 ∙ ( 2𝑥)^{0,76} ( 2𝑥)^{0,76} 2^{0,76} ∙ 𝑥^{0,76}
𝑓 ( 𝑥) 69,5 ∙ 𝑥^{0,76} 𝑥^{0,76} 𝑥^{0,76}

Hannens hvilestofskifte i procent i forhold til hunnens kan bestemmes som:

( 1,693491 − 1) ∙ 100%= 69,3491%

Hanbavianens hvilestofskifte er således: 69,3 % større end hunbavianens (afrundet til én decimal).

Side 6

Skriftlig matematik HF B hfe123-MAT/B-

Opgave 11 a)

Grafen for 𝑓 ( 𝑥) = (4 − 2𝑥) ∙ 𝑒^{𝑥} kan fx tegnes med WordMat (Graftegning - Vis Graf - Graph)

f(x)=(4 -2*x)*e^(x)

-

-5

5 x y

Grafens skæringspunkt(er) med førsteaksen (x-aksen) bestemmes ved at løse ligningen 𝑓(𝑥) = 0,

fx kan WordMat (CAS - Løs Ligning(er)) benyttes:

𝑓 ( 𝑥) = 0

( 4 − 2𝑥) ∙ 𝑒^{𝑥} = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 2

Grafen for 𝑓 har således ét skæringspunkt med førsteaksen i punktet: 𝑃(2,0) b)

Arealet, der afgrænses af koordinatsystemets akser og grafen for 𝑓 i første kvadrant, kan bestemmes som nedenstående integrale, - WordMat er benyttet (CAS - Beregn), - jf. formel 96

∫ ( 4 − 2𝑥) ∙ 𝑒^{𝑥} 𝑑𝑥 = 2 · 𝑒^{2} − 6 ≈ 8,778112

2

0

Arealet af det nævnte område er således bestemt til: 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑙 = 8,78 (afrundet til to decimaler)

Side 7

Skriftlig matematik HF B hfe123-MAT/B-

c)

For at kunne bestemme maksimumværdien for 𝑓 skal den afledede funktion 𝑓′ bestemmes først, til hvilket WordMat (CAS - Infinites. - Differentier) benyttes:

𝑓 ( 𝑥) = (4 − 2𝑥) ∙ 𝑒^{𝑥}

Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑑 𝑑𝑥

( 𝑓 ( 𝑥)) = ( 2 − 2 · 𝑥) · 𝑒^{𝑥}

                     ′
Herefter løses ligningen 𝑓 ( 𝑥 ) = 0 med WordMat (CAS - Løs Ligning(er)):

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

( 2 − 2 · 𝑥) · 𝑒^{𝑥} = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 1

Grafen for 𝑓 har således en vandret tangent ved 𝑥 = 1 og sammenholdt med grafen i a) kan det
konkluderes, at 𝑓 har maksimum ved 𝑥 = 1. Maksimumværdien for 𝑓 kan bestemmes ved at
indsætte 𝑥 = 1 i forskriften for 𝑓. WordMat (CAS - Beregn) benyttes:

𝑓 ( 1) = ( 4 − 2 ∙ 1) ∙ 𝑒^{1} = 2 · 𝑒 ≈ 5,436564

Maksimumværdien for 𝑓 er bestemt til: 𝑓 ( 1) = 5,44 (afrundet til to decimaler)

Side 8

Skriftlig matematik HF B hfe123-MAT/B-

Opgave 12 a)

Personens højde over jorden bestemmes ved at indsætte 𝑡 = 2 i forskriften for ℎ:

ℎ ( 𝑡) = 200 − 6,0 ∙ 𝑡 + 27,5 ∙ (𝑒^{−1,6∙𝑡} − 1)

𝑡 = 2 indsættes og resultatet beregnes med WordMat (CAS - Beregn):

ℎ ( 2) = 200 − 6,0 ∙ 2 + 27,5∙ ( 𝑒^{−1,6∙2} − 1) = 161,621

Faldskærmudspringeren er således 161,6 meter over jorden 2,0 sekunder efter faldskærmen udløses.

Resultatet er afrundet til én decimal.

b)

For at bestemme tiden 𝑡, der går fra skærmen udløses indtil udspringeren er nede på jorden, løses

ligningen ℎ ( 𝑡) = 0. WordMat (CAS - Løs Ligning(er)) benyttes:

ℎ ( 𝑡) = 0

200 − 6,0 ∙ 𝑡 + 27,5 ∙ ( 𝑒^{−1,6∙𝑡} − 1) =0

Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡 ≈ 28,75

Fra skærmen udløses, går der cirka 28,75 sekunder, indtil udspringeren er nede på jorden.

c)

                                                                                 ′
For at bestemme faldhastigheden 2,0 sekunder efter skærmen udløses, skal den afledede funktion ℎ (𝑡)

bestemmes først, idet ℎ^{′} (𝑡) beskriver højdeændringen i meter pr. tidsenhed i sekunder til tiden 𝑡.

WordMat (CAS - Infinites. - Differentier) benyttes:

ℎ ( 𝑡) = 200 − 6,0 ∙ 𝑡 + 27,5 ∙ (𝑒^{−1,6∙𝑡} − 1)

Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑑 𝑑𝑡

( ℎ ( 𝑡)) = −44 · 𝑒^{−1,6·𝑡} − 6

ℎ^{′} ( 2) vil således være faldhastigheden 2,0 sekunder efter skærmen udløses, målt i 𝑚/𝑠𝑒𝑘

Beregnes med WordMat (CAS - Beregn):

ℎ^{′} ( 2) = −44 · 𝑒^{−1,6·2} − 6 = −7,793537

Side 9

Skriftlig matematik HF B hfe123-MAT/B-

At resultatet er negativt betyder blot, at udspringerens højde over jorden aftager (han nærmer sig jorden).

Det kan ud fra beregningen konkluderes, at faldskærmudspringerens faldhastighed 2,0 sekunder efter faldskærmen udløses, er 7,8 𝑚/𝑠𝑒𝑘 (afrundet til én decimal).