HF Matematik B 6. december 2013 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-

Opgaver uden hjælpemidler - den 6. december 2013

Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til

Matematisk formelsamling stx/hf b, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse den pågældende opgave.

Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.

Opgave 1 a)

𝑥 = 4 indsættes i ligningen og det undersøges, om værdien opfylder ligningen:

23 − 3𝑥 = 11
𝑥 = 4 indsættes
23 − 3 · 4 = 11

⇕

23 − 12 = 11

⇕

11 = 11

Da begge sider af lighedstegnet er ens, opfylder 𝑥 = 4 ligningen.
𝑥 = 4 er derfor en løsning til ligningen.

Opgave 2 a)

De to andengradspolynomier har ikke samme 𝑎-værdi, idet parabelgrenene ikke vender i samme retning, når man sammenligner de to grafer.

Fortegnet for koefficienten til andengradsleddet 𝑎 har betydning for, hvorvidt parablens grene vender opad eller nedad. En positiv 𝑎-værdi får parabelgrenene til at vende opad, omvendt får en negativ 𝑎-værdi parabelgrenene til at vende nedad.

Desuden er grafen for P_{2} mere "åben" end grafen for P_{1}

De to andengradspolynomier har ikke samme 𝑏-værdi, idet en tangent til hver af de to grafer, i deres respektive skæringspunkteter med 𝑦-aksen, vil have forskellige hældnings-koefficienter.

En tangent til grafen for andengradspolynomiet 𝑦 = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 i grafens skæringspunkt

med 𝑦-aksen, vil have en hældningskoefficient svarende til værdien for 𝑏.

Til gengæld har de to polynomier samme 𝑐-værdi, idet de skærer 𝑦-aksen i samme punkt.

Grafen for andengradspolynomiet 𝑦 = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 skærer 𝑦-aksen i punktet (0, 𝑐)

1

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-

Opgave 3 a)

Der er tale om eksponentiel vækst.

Sammenhængen 𝑦 = 2, 7 · 0, 96^{𝑥}, mellem prisen på rækkehuse og antal år efter 2008,
er en eksponentiel sammenhæng, hvortil modellen er: 𝑦 = 𝑏 · 𝑎^{𝑥} (jf. formel 60)

Tallet 2,7 (målt i mio kr.) er begyndelsesværdien.

Prisen var således 2,7 mio. kr. i 2008 for et rækkehus i det pågældende kvarter.

Tallet 0,96 er fremskrivningsfaktoren. Da tallet er mindre end 1, er der tale om en

aftagende sammenhæng, hvor vækstraten 𝑟 = 0, 96 − 1 = −0, 04,

hvilket betyder, at husprisen faldt med 4 % om året i årene efter 2008.

Opgave 4 a)

Værdien 𝑓 (0) aflæses på grafen for 𝑓 som 𝑦−koordinaten til skæringspunktet P (0, 𝑓 (0))

mellem grafen for 𝑓 og 𝑦-aksen.

𝑓(0) = 4

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-

𝑓^{′} (0) kan bestemmes som hældningskoefficienten for tangenten til grafen for 𝑓 i P (0, 𝑓 (0)).
To punkter aflæses på tangenten (−2, 0) og (2, 8).
Hældningskoefficienten 𝑎_{t} (og dermed 𝑓^{′} (0)) kan bestemmes som: (jf. formel 30)

𝑓^{′} (0) = 𝑎_{t} =

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}

aflæste punkter indsættes

𝑓^{′} (0) =

8 − 0
2 − (−2)

⇕

𝑓^{′} (0) = 2

Værdien 𝑓^{′} (0) er således bestemt til: 𝑓^{′} (0) = 2

Opgave 5 a)

Diskriminanten 𝑑 for andengradsligningen 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 kan bestemmes som:
I dette tilfælde er 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 og 𝑐 = −8

𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐 (jf. formel 39)

kendte værdier indsættes

𝑑 = 2^{2} − 4 · 1 · (−8)

⇕

𝑑 = 36

Diskriminanten 𝑑 er således bestemt til: 𝑑 = 36

Andengradsligningen, der har to løsninger idet 𝑑 > 0, løses som:

𝑥 = (jf. formel 39)

−𝑏 ± 𝑑

√

2𝑎 kendte værdier indsættes

𝑥 =

−2 ± 36

√

2 · 1

⇕

𝑥 =

−2 ± 6

2

⇕

𝑥 = ∨ 𝑥 =

−2 − 6 −2 + 6

2 2

⇕

𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = 2

Andengradsligningen har således løsningerne: 𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = 2

3

Side 4

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe133-MAT/B-

Opgave 6 a)

Bestemmelse af integralet:

(jf. formel 84,89)

∫ ∫

() ()

𝑥^{3} + 4𝑥 − 3 𝑑𝑥 = 𝑥^{3} + 4𝑥^{1} − 3𝑥^{0} 𝑑𝑥

= · 𝑥^{3+1} + · 𝑥^{1+1} − · 𝑥^{0+1} + 𝑘

() () ()

1 4 3

3 + 1 1 + 1 0 + 1

= 𝑥 + 2𝑥^{2} − 3𝑥 + 𝑘

1_{4}

4 hvor 𝑘 er integrationskonstanten.

4