HF Matematik B 7. december 2012 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe123-MAT/B-

Opgaver uden hjælpemidler - den 7. december 2012

Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling

stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Formelsamlinger ikke må medbringes til selve prøven uden hjælpemidler.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 1 a)

Højden h i trapezet kan bestemmes ved at omskrive formlen til beregning af trapezets areal og indsætte de kendte værdier:

A = · h · (𝑎 + 𝑏)

1

2

⇕

h =

2 · A
𝑎 + 𝑏

kendte værdier indsættes

h =

2 · 20
4 + 6

⇕

h = 4

Højden h i trapezet er således bestemt til: h = 4

Opgave 2 a)

Da trekanterne AB𝐶 og A𝐷E er ensvinklede (ligedannede), kan |AE| bestemmes som:

|AE| | |𝐷E|
|A𝐶| | |B𝐶|

= (formel 19)

kendte værdier indsættes

|AE| | 2, 0

3, 0 4, 0

=

⇕

|AE| =

3, 0 · 2, 0

4, 0

⇕

|AE| = 1, 5

Længden af siden AE er således bestemt til: |AE| = 1, 5

1

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe123-MAT/B-

Opgave 3 a)

For at kunne undersøge om punktet (30, 19) ligger på den rette linje 𝑓 gennem punkterne

(0, 5) og (4, 7) bestemmes først forskriften for 𝑓.

Hældningskoefficienten 𝑎 for en lineær funktion 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 gennem to kendte punkter
(𝑥_{1}, 𝑦_{1}) og (𝑥_{2}, 𝑦_{2}) kan bestemmes med formlen:

𝑎 = (formel 30)

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}

Indsættes de to kendte punkter (0, 5) og (4, 7) fås:

𝑎 = = 0, 5

7 − 5
4 − 0
Forskriften for en lineær funktion med hældningskoefficienten 𝑎 gennem punktet (𝑥_{1}, 𝑦_{1})

kan bestemmes med formlen:

𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥_{1}) + 𝑦_{1} (formel 32)

Forskriften for 𝑓 med hældningskoefficienten 𝑎 = 0, 5 gennem punktet (0, 5):

𝑓(𝑥) = 0, 5(𝑥 − 0) + 5 = 0, 5𝑥 + 5

Hvis 𝑓(30) = 19 ligger punktet (30, 19) på grafen for 𝑓 , - hvilket undersøges:

𝑓(𝑥) = 0, 5𝑥 + 5
𝑥 = 30 indsættes
𝑓(30) = 0, 5 · 30 + 5

⇕

𝑓(30) = 20

Da 𝑓(30) = 20 ̸= 19 kan det konkluderes, at punktet (30, 19) ikke ligger på grafen for 𝑓

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe123-MAT/B-

Opgave 4 a)

Skitse af 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 med rødderne (1, 0) og (5, 0) samt toppunktet (3, 2):

Grafen for et andengradspolynomium er en parabel.

Fortegnet for koefficienten 𝑎 er negativt (minus), idet 𝑓 har maksimum i toppunktet

(parablens grene vender nedad).

Fortegnet for koefficienten 𝑏 er positivt (plus), idet hældningskoefficienten for en tangent til grafen for 𝑓 gennem grafens skæringspunkt med y-aksen vil være positiv.

Fortegnet for konstanten 𝑐 er negativt (minus), idet grafen for 𝑓 skærer y-aksen i den negative halvdel af aksen.

3

Side 4

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe123-MAT/B-

Opgave 5 a)

Da der er tale om en fast årlig procentvis stigning, kan udviklingen i befolkningstallet beskrives med en eksponentiel sammenhæng. Modellen herfor er:

𝑓(𝑥) = 𝑏 · (1 + 𝑟)^{𝑥} (formel 54)

Befolkningstallet i 2011 (hvor modellen begynder) er på 5,56 mio indbyggere, derfor:

𝑏 = 5, 56

Vækstraten 𝑟 kan bestemmes vha. den opgivne procentvise udvikling som:

𝑟 = = 0, 0029 (formel 4)

0, 29%

100%

Hvilket giver følgende model for befolkningsudviklingen i Danmark efter 2011:

𝑓(𝑥) = 5, 56 · (1 + 0, 0029)^{𝑥} = 5, 56 · 1, 0029^{𝑥}

hvor 𝑥 er antal år efter 2011 og 𝑓(𝑥) er befolkningstallet, målt i mio. indbyggere, som en funktion af 𝑥

4

Side 5

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HF B hfe123-MAT/B-

Opgave 6 a)

Hjælpelinjer og tangent er indtegnet således, at spørgsmålene kan besvares.

Tallet 𝑓(6) er aflæst på grafen til: (jf. de røde linjer) 𝑓 (6) = 290

Dette betyder, at i 2007 (6 år efter 2001) var den samlede gæld steget til 290 mia. kr.

Tallet 𝑓^{′} (6) kan bestemmes som hældningskoefficienten 𝑎_{t} for tangenten til grafen for

𝑓 i punktet (6, 𝑓 (6)). Først indtegnes tangenten, så aflæses to punkter på tangenten og hældningskoefficienten for tangenten beregnes (jf. tangenten tegnet med blåt).

To punkter på tangenten aflæses til (0, 120) og (8, 340)

Hældningskoefficienten 𝑎_{t} for en tangent (ret linje) gennem to kendte punkter (𝑥_{1}, 𝑦_{1}) og
(𝑥_{2}, 𝑦_{2}) kan bestemmes med formlen:

𝑎 = (formel 30)

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}

Indsættes de to kendte punkter fås:

𝑎_{t} = = = = 27, 5

340 − 120 220 55
8 − 0 8 2
Af dette konkluderes, at: 𝑓^{′} (6) = 27, 5

Hvilket betyder, at i 2007 steg den samlede gæld med 27,5 mia. kr. om året.

5