HF Matematik B 7. december 2015 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

1

HF Matematik B 7. december 2015

Delprøven med hjælpemidler

hfe153-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 7 a)

Sammenhængen kan beskrives ud fra en lineær model:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎 ·𝑥+ 𝑏

Hvor f(x) er det forventede brændstofforbrug, x er antal km, der skal flyves, a er hvor mange kilo brændstof, som forbruges pr. km., og b er hvor mange kg brændstof, der fast bruges ved start og landing.

Vi opstiller modellen:

𝑓 ( 𝑥) = 0,52 · 𝑥+ 150

b)

Vi sætter x=900:

𝑓 ( 𝑥) = 0,52 · 900 + 150
= 618

Det forventede brændstofforbrug, når der flyves 900 km er 618 kg.

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

2

Opgave 8 a)

Vi benytter renteformlen:

𝐾_{𝑛} = 𝐾_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑛}

Hvor 𝐾 er startkapitalen, 𝑟 er renten, n er antal terminer og 𝐾 er kapitalen efter n terminer. Vi indsætter
      0                                            𝑛

størrelserne og bestemmer den renten:

18465= 15000 · ( 1 + 𝑟)^{10}

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = −2,021 ∨ 𝑟 = 0,02100015

Renten kan kun være positiv, vi benytter derfor det positive resultat:

0,02100015 · 100= 2,100015

Den årlige procentvise rente er 2,1%.

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

3

Opgave 9 a)

Vi benytter tangentligningen til at opstille forskriften:

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

Vi definerer funktionen f:

𝑓 ( 𝑥) ≔ −𝑥^{2} + 8 · 𝑥
√

Vi definerer 𝑥_{0}:

𝑥_{0} ≔ 1

Tangentens ligning er følgende:

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
= 2 · 𝑥+ 5

b)

Vi benytter følgende formel for arealet under en funktion afgrænset af x-aksen og grænseværdierne a og b:

𝐴 = ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Vi har følgende grænseværdier:

𝑎 = 1

𝑏 = 4

Vi indsætter funktionen f og grænseværdierne i formlen:

𝐴 = ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

4

1

≈ 16,33333

Arealet er lig 16,33.

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

4

Opgave 10 a)

Da vi kender to vinkler og én længde kan vi bestemme den resterende vinkel og længden AC vha.

WordMats trekantløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 34°, C = 84°, c = 8,5

B A = 34°
B = 62°
C = 84°

BC = 4,779321
AC = 7,546394
AB = 8,5

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐵 = 180° − 𝐴 − 𝐶
= 180° − 34° − 84°
= 62°

Længden af siden AC findes vha. sinusrelationerne

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 ·

sin ( 𝐵) sin ( 𝐶)

= 8,5 ·

sin ( 62°) sin ( 84°)

= 7,546394

Vinkel B er 62^{o} og længden AC er 7,55.

b)

Vi benytter formlen:

𝐴 = · 𝑏 · 𝑐 · sin ( 𝐴)

1

2

Hvor b er størrelsen af længden AC, c er størrelsen af længden AB og sin(A) er sinusen af vinkel A. Vi indsætter størrelserne:

A AC C

AB BC

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

5

𝐴_{𝐴𝐵𝐶} = · 7,546394 · 8,5 · sin ( 34)

1

2

= sin ( 34) · 32,07217

≈ 17,93453

Arealet af trekanten er 17,9.

c)

Vi bestemmer arealet af trekant ABD:

𝐴_{𝐴𝐵𝐷} = · 𝐴_{𝐴𝐵𝐶}

1

3

= · 17,93453

1

3

≈ 5,978177

Vi bestemmer længden AD:

5,978177= · 𝐴𝐷· 8,5 · sin ( 34)

1

2

⇕ Ligningen løses for AD vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐴𝐷 =

1,40663 sin ( 34)

≈ 2,515465

Siden AD er 2,52. Vi bestemmer længden af siden BD vha. cosinusrelationerne:

𝐵𝐷^{2} = 𝐴𝐷^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 2 · 𝐴𝐷· 𝐴𝐵 · cos (𝐴)
= 2,515465^{2} + 8,5^{2} − 2 · 2,515465 · 8,5 · cos ( 34)
= 78,57756+ cos ( 34) · −42,7629

≈ 43,12551

⇕

𝐵𝐷 = √43,12551

≈ 6,567002

Siden BD er lig 6,57.

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

6

Opgave 11 a)

Vi indsætter data’et i et koordinatsystem og foretager en potensregression:

Ud fra tendenslinjens forskrift, kan vi aflæse følgende værdier for a og b:

𝑎 = 2,652

𝑏 = 89,795

b)

Vi beregner hvor meget hestens vægt stiger i procent ud fra forskriftens a-værdi:

𝐹_{𝑦} = 𝐹_{𝑥}^{𝑎}

𝐹_{𝑦} = 1,04^{2,652} ≈ 1,109615

Hestens vægt stiger med 10,96%, når gjordmålet stiger med 4%.

c)

Vi sætter funktionsværdien i forskriften til 785 kg og isolerer for x for at undersøge, om vi får et gjordmål på

2,25 meter:

𝑓 ( 𝑥) = 89,795 · 𝑥^{2,652}

y = 89,795x^{2,652}
R² = 0,9996

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

1,45 1,55 1,65 1,75 1,85 1,95 2,05 2,15

Vægt(kg)

Gjordmål(m)

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

7

785 = 89,795 · 𝑥^{2,652}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 2,264954

Hesten Tyfon passer ikke fuldstændig ind i modellen, da vi får et gjordmål 2,26 m i stedet for 2,25 m.

Afvigelsen er dog meget lille.

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

8

Opgave 12 a)

Vi definerer funktionen og det gældende interval for x:

𝑂 ( 𝑥) ≔ −0,1𝑥^{2} + 100𝑥 − 9000

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:250≤ 𝑥 ≤ 750

Vi sætter x=600:

𝑂 ( 600) = 15000

Det månedlige over for en salgspris på 600 kr. er 15000 kr.

Vi tegner grafen for funktionen i Graph:

𝑂 ( 𝑥) = −0,1𝑥^{2} + 100𝑥 − 9000

f(x)=-0.1*x^(2)+100*x-9000

-00 1000

5000

10000

15000 x y b)

Vi bestemmer funktionens maksimum:

𝑂^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 500

Side 9

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

9

Vi kan ud fra grafen for funktionen se, at x=500, stemmer godt overens med funktionens maksimum. En

salgspris på 500 kr. vil give det størst mulige månedlige overskud.

c)

𝑂^{′} ( 600) =−20

Tallet viser funktionens tangenthældning til x=600. Dette betyder, at hvis salgsprisen sættes til 600 kr. vil

det månedlige overskud aftage med 20 kr. om måneden.