HF Matematik B 7. december 2016 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

1

HF Matematik B

7. december 2016

hfe163-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

2

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1 a)

Vi har, at de to trekanter er ensvinklede dvs. vi kan bestemme de resterende længder vha. størrelsesforholdet mellem trekanterne. Vi bestemmer størrelsesforholdet mellem de to trekanter:

𝑘 =

| 𝐵_{1} 𝐶_{1} |

| 𝐵𝐶 |

=

| 7,5 |

| 5 |

= 1,5

Vi bestemmer længden af siden A C ved:

1 1

| 𝐴_{1} 𝐶_{1} | = 𝑘· | 𝐴𝐶 |
= 1,5 · 8,0
= 12

Længden af siden A C er bestemt til 12.

1 1

Vi bestemmer længden af siden AB:

𝐴𝐵 =

| 𝐴_{1} 𝐵_{1} |

𝑘

=

6

1,5

= 4

Længden af siden AB er bestemt til 4.

Opgave 2 a)

Vi har, at graferne betegner en eksponentiel udvikling, hvor tallet b betegner funktionsværdien i x = 0, dvs.
at b = 7.

For eksponentielle funktioner har vi, at hvis a > 1 så er funktionen voksende, hvis a derimod er 0 < a < 1 er funktionen aftagende.

Med ovenstående information in mente, kan vi konkludere, at tallet a for graf 1 er mindre end 1. Vi har derimod for graf 2, at tallet a er større end 1.

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

3

Opgave 3 a)

Vi har, at udviklingen kan beskrives med en lineær funktion da promillen falder med en fast størrelse for hver time:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏

f(x) betegner promillen til tiden x, hvor x > 0.

x betegner tidspunktet x timer efter målingen af promillen.

b betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. at b er lig 1,2 da promillen ved måling er 1,2.

a betegner funktionens hældningskoefficient, dvs. a er lig 0,10 da promillen falder med 0,10 for hver time efter måling.

Vi opskriver en model, der beskriver udviklingen i pigens promille:

𝑓 ( 𝑥) = 0,10𝑥+ 1,2

En model, der beskriver udviklingen i pigens promille efter måling, er bestemt til ovenstående udtryk.

Opgave 4 a)

𝑥^{2} − 6𝑥+ 9 = 0

Vi bestemmer diskriminanten:

𝑑 =𝑏^{2} − 4𝑎𝑐
= ( −6)^{2} − 4 · 1 · 9
= 36 − 36
= 0

Diskriminanten er bestemt til 0, dvs. at andengradsligningen kun har 1 løsning. Førstekoordinaten til toppunktet betegner løsningen til ligningen:

𝑇_{𝑥} =

−𝑏

2𝑎

= −

( −6)
2 · 1
= 3

Løsningen til ligningen er bestemt til x = 3.

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

4

Opgave 5 a)

𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{3} + 2 · 𝑥, 𝑥 > 0
√

Vi bestemmer funktionsværdien f(1):

𝑓 ( 1) = 1^{3} + 2 · √ 1
= 1 + 2 · 1
= 3

Funktionsværdien f(1) er bestemt til 3.

Vi bestemmer differentialkvotienten f’(1). Først bestemmer vi den afledede funktion f’(x):

𝑓^{′} ( 𝑥) = ( 𝑥^{3} + 2 · 𝑥)^{′}
√
= 3𝑥^{2} + 2 · (I)

1

2 · 𝑥
√
= 3𝑥^{2} +

1

√

𝑥

Vi bestemmer f’(1):

𝑓^{′} ( 1) = 3 · 1^{2} +

1

√ 1
= 3 + 1
= 4

Differentialkvotienten f’(1) er bestemt til 4.

(I)

𝑓 ( 𝑥) 𝑓^{′} ( 𝑥)
𝑥^{𝑎} 𝑎𝑥^{𝑎−1}

1 1

√ √

𝑥 2· 𝑥

Opgave 6 a)

𝑓 ( 𝑥) = − 𝑥^{2}

𝑏 𝑥

𝑃 ( 2,1)

Vi bestemmer tallet b, ved at indsætte punktet P i f(x) og løse for b:

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

5

1 = − 2^{2}

𝑏

2

⇕

1 = − 4

𝑏

2

⇕

1 + 4 =

𝑏

2

⇕

5 =

𝑏

2

⇕

5 · 2 = 𝑏

⇕

𝑏 =10

Tallet b er bestemt til 10.

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

6

Delprøven med hjælpemidler

Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 7 a)

Modellen kan beskrives med en lineær funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b med lineær regression.

Vi opstiller tabel med data og foretager regression:

Årstal | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014
År efter år | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5

2009

Flypassagerer | 2,48 | 2,68 | 2,85 | 2,98 | 3,13 | 3,31

(målt i milliarder)

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,

𝑦 = 0,16085714𝑥+ 2,5028571

Tallet a aflæses til 0,161 (afrundet til 3 decimaler), og tallet b er bestemt til 2,503 (afrundet til 3 decimaler).

b)

Tallet a betegner hældningskoefficienten for f, dvs. ifølge modellen vokser antallet af flypassagerer i verden med 0,161 (målt i milliarder) om året i perioden c)

Vi definerer forskriften for y som funktion af x:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 0,16085714𝑥 + 2,5028571

Vi stemmer årstallet, hvor antallet af flypassagerer på verdensplan kommer over 4 milliarder ved at løse uligheden f(x) > 4 for x: 𝑓 ( 𝑥) > 4,0

⇕ Uligheden løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

7 𝑥 > 9,3072824

Ifølge modellen vil antallet af flypassagerer på verdensplan overstige 4 milliarder ca. 9,31 år (afrundet til 2 decimaler) efter år 2009 dvs. i år 2018.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 8 a)

Vi definerer funktionen for f(x):

𝑓 ( 𝑥) ≔ 1,60 · 𝑒^{−0,0758𝑥}

Vi bestemmer koncentrationen af BAM i grundvandet 48 timer efter forsøgets start ved at bestemme f(x),

når x = 48:

𝑓 ( 48) ≈ 0,04207101

Ifølge modellen er koncentrationen af BAM 48 timer efter forsøgets start 0,042 μg/L (afrundet til 3

decimaler).

Da koncentrationen 48 timer efter forsøgets start på 0,042 μg/L er mindre end 0,1 μg/L, kan vi konkludere,

at grundvandet gerne må drikkes 48 timer efter forsøgets start.

b)

Vi bestemmer tallet f’(10):

𝑓^{′} ( 10) ≈ −0,056832135

Tallet f’(10) er bestemt til -0,0568 μg/L / time (afrundet til 4 decimaler).

Tallet f’(10) = -0,0568 betyder at koncentrationen af BAM til tiden 10 timer efter forsøgets start aftager med
-0,0568 μg/L i timen.

Opgave 9 a)

Vi bestemmer længden af siden AD med WordMats trekantsløser.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 78,8°, CD = 10,3, AC = 13,6

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

8

C A = 41,058035°
C = 78,8°
D = 60,141965°

CD = 10,3
AD = 15,38289
AC = 13,6

Længden af siden AD findes vha. en cosinusrelation

𝐴𝐷 = √ 𝐶𝐷^{2} + 𝐴𝐶^{2} − 2 · 𝐶𝐷 ·𝐴𝐶· cos ( 𝐶)
= √ 10,3^{2} + 13,6^{2} − 2 · 10,3 · 13,6 · cos ( 78,8°)
= 15,38289

Længden af siden AD er bestemt til 15,38 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer arealet af firkant ABCD som summen af arealet af trekant ABC og trekant ACD:

Vi bestemmer arealet af trekant ABC. Først bestemmer vi højden BH med Pythagoras’ læresætning:

𝑐^{2} = 𝑎^{2} + 𝑏^{2}

⇕

𝐴𝐵^{2} = 𝐴𝐻^{2} + 𝐵𝐻^{2}

⇕

4,95^{2} = 4,00^{2} + 𝐵𝐻^{2}

⇕ Ligningen løses for BH vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐵𝐻 = −2,9159047 ∨ 𝐵𝐻 = 2,9159047

Vi arbejder ikke med negative længder, derfor er BH = -2,9159047 ikke en løsning til opgaven.

Arealet af trekant ABC bestemmes ved:

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = · 𝐵𝐻· 𝐴𝐶

1

2

= · 2,9159047 · 13,6

1

2

≈ 19,828152

Vi bestemmer arealet af trekant ACD med en sinusrelation:

A AD D

AC CD

Side 9

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

9

𝑇_{𝐴𝐶𝐷} = · 𝐴𝐶 · 𝐶𝐷 ·sin ( 𝐶)

1

2

= · 13,6 · 10,3 · sin ( 78,7)

1

2

≈ 68,682251

Arealet af firkant ABCD er summen af arealet for de to trekanter:

𝑇_{𝐴𝐵𝐶𝐷} =𝑇_{𝐴𝐵𝐶} + 𝑇_{𝐴𝐶𝐷}
=19,828152 + 68,682251
=88,510403

Arealet af firkant ABCD er bestemt til 88,5 afrundet til 1 decimal.

Opgave 10 a)

Vi definerer forskriften for f(x):

𝑓 ( 𝑥) ≔ 0,25𝑥^{4} − 0,9𝑥^{3} − 0,5𝑥^{2} + 2,7𝑥 − 1

Vi tegner grafen for f:

Vi definerer førstekoordinaten for punktet med førstekoordinaten x = 0:

𝑥_{0} ≔ 0

Vi bestemmer en ligning for tangenten til grafen for f i punktet med førstekoordinaten x = 0:

Side 10

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

10

𝑦_{𝑡} = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
= 2,7 · 𝑥− 1

En ligning for tangenten til grafen for f i punktet x = 0 er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

Vi bestemmer et udtryk for den afledede funktion f’:

𝑓^{′} ( 𝑥) = −𝑥+ 𝑥^{3} − 2,7 · 𝑥^{2} + 2,7

Et udtryk for den afledede funktion f’(x) er bestemt til ovenstående udtryk.

Vi bestemmer monotoniforhold til grafen for f. Først bestemmer vi nulpunkter til den afledede funktion f’(x):

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2,7

Vi undersøger differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne for den afledede funktion:

𝑓^{′} ( −2) ≈ −14,1

𝑓^{′} (−) ≈ 2,4

1

2

𝑓^{′} ( 2) ≈ −2,1

𝑓^{′} ( 3) ≈ 2,4

f er aftagende i intervallet ]-∞; -1] og [1; 2,7]

f er voksende i intervallet [-1; 1] og [2,7; ∞[

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 11 a)

Vi definerer funktionen v(t) samt definitionsmængden for t:

𝑣 ( 𝑡) ≔ −0,51𝑡^{2} + 14,81𝑡

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0 ≤ 𝑡 ≤10

Vi bestemmer bilens hastighed efter 8 sekunder ved at bestemme v(t), når t = 8:

Side 11

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

11

𝑣 ( 8) = 85,84

Ifølge modellen er bilens hastighed efter 8 sekunder bestemt til 85,8 km/t (afrundet til 1 decimal).

Vi bestemmer tidspunktet, hvor bilens hastighed kommer op på 40 km/t ved at løse for t i v(t) = 40:

𝑣 ( 𝑡) = 40

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡 =3,0136251

Ifølge modellen, går der 3,01 sekunder (afrundet til 2 decimaler) før at bilens hastighed er 40 km/t.

b)

Vi bestemmer afstanden som bilen tilbagelægger de første 8 sekunder ved at løse udtrykket opgivet i

opgaveformuleringen, hvor K = 8:

𝑠 =0,278 · ∫ 𝑣 ( 𝑡) 𝑑𝑡

8

0

≈ 107,5526

Ifølge modellen tilbagelægger bilen 107,6 m (afrundet til 1 decimal) de første 8 sekunder.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 12 a)

Vi definerer forskriften for f samt definitionsmængden for x:

𝑓 ( 𝑥) ≔ + 3 · 𝑥

1

𝑥^{2}

√

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥 > 0

Vi bestemmer først en stamfunktion F(x) til f(x) ved at integrerer f(x):

𝐹 ( 𝑥) = ∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥
= 2 · 𝑥^{1,5} − 𝑥^{−1} + 𝑘

Vi indsætter punktet (1,5) og løser for k:

5 = 2 · 1^{1,5} − 1^{−1} + 𝑘

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

Side 12

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

12

𝑘 = 4

Vi opskriver stamfunktionen hvis graf netop går igennem punktet (1, 5):

𝐹 ( 𝑥) = 2 · 𝑥^{1,5} − 𝑥^{−1} + 4

Stamfunktionen hvis graf netop går igennem punktet (1, 5) er bestemt til ovenstående udtryk.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 13 a)

Vi bestemmer klorofylkoncentrationen i vandet, når det totale kvælstofindhold er 1000 μg/L ved at løse for
y, når x = 1000 i udtrykket herunder:

ln ( 𝑦) = 1,574 · ln ( 1000) − 7,948

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 = 18,630626

Klorofylindholdet i vandet er bestemt til 18,63 μg/L (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi omskriver udtrykket til formen y = b · x^{a}:

ln ( 𝑦) = 1,574 · ln ( 𝑥) − 7,948

⇕

𝑒^{ln}^{(}^{𝑦} = 𝑒^{1,574·ln}

) ( 𝑥) −7,948

⇕

𝑦 = (𝐼)(𝐼𝐼)

𝑒^{1,574·ln}

( 𝑥)

𝑒^{7,948}

⇕

𝑦 = (𝐼𝐼𝐼)

( 𝑒^{ln}^{(})^{1,574}

𝑥)

𝑒^{7,948}

⇕

𝑦 = (𝐼)

𝑥^{1,574}
𝑒^{7,948}

Side 13

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 7. december 2016

13

⇕

𝑦 = · 𝑥^{1,574}

1

𝑒^{7,948}

⇕

𝑦 =0,00035336819 · 𝑥^{1,574}

Vi aflæser tallet a til 1,57 (afrundet til 2 decimaler), og tallet b aflæses til 0,000353 (afrundet til 6 decimaler).

(I) Regel for logaritme: 𝑎^{𝑙𝑛}^{(}^{𝑥}^{)} = 𝑥

                          𝑟
                         𝑎
                    𝑟−𝑠
(II) Regel for potens: 𝑎 =
                          𝑠
                         𝑎

(III) Regel for potens: 𝑎^{𝑟·𝑠} = ( 𝑎^{𝑟})^{𝑠}