HF Matematik B August 2012: Delprøven med hjælpemidler

Side 1

HF MAT B hfe122-MAT/B-

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Mange af opgaverne løses med WordMat. Hent den gratis tilføjelse til Word her. (Obs. Virker kun med Windows-computere)

Tip: Genvej til at indsætte ligning (Alt + M). Se flere smarte genveje under ”Hjælp” -> Genveje i

WordMat

Opgave 7 a)

Størrelsen af kystbefolkningen i år 1550 ifølge modellen fås ved at bestemme 𝑓 ( 1550 − 1531).

Først defineres f med WordMat

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = 5,5 ⋅ 0,932^{𝑥}

Derefter beregnes funktionsværdien med WordMat -> Beregn

𝑓 ( 1550 − 1531) = 1,442996

Ifølge modellen var den indfødte kystbefolkning i Aztekerriget i år 1550 altså ca. 1,4 millioner.

b)

Da 𝑓 ( 0) = 5,5 fortæller dette tal at den indfødte kystbefolkning i Aztekerriget ifølge modellen var 5,5

millioner i år 1531.

Tallet 0,932 er fremskrivningsfaktoren i den eksponentielle model. Fremskrivningsfaktoren er givet ved summen af tallet 1 og vækstraten. Vækstraten bestemmes.

𝑟 = 0,932 − 1=0,068=6,8 %

Tallet 0,932 i funktionsforskriften fortæller altså at den indfødte kystbefolkning i Aztekerriget efter år 1531 HF 2. år c)

Hvornår størrelsen af kystbefolkningen nåede ned under 2,75 millioner bestemmes ved at løse ligningen

𝑓 ( 𝑥) = 2,75. Ligningen løses med WordMat -> Løs ligning(er)

𝑓 ( 𝑥) =2,75

Side 2

HF MAT B hfe122-MAT/B-

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 9,8427

Dette svarer til årstal:

1531 + 9,8427= 1540,843

Den indfødte kystbefolkning i Aztekerriget nåede altså ned under 2,75 millioner i slutningen af år 1540.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 3

HF MAT B hfe122-MAT/B-

Opgave 8 a)

Da vi kender tre sider i trekanten, kan vi bestemme vinklerne med WordMat’s trekantsberegner:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: a = 62 , b = 65 , c = 44

A = 66,10449°
B = 73,44071°
C = 40,4548°

a = 62
b = 65
c = 44

Vinkelen 𝐴 er altså

∠𝐴 ≈ 66,1° b)

Når nu en vinkel kendes i trekanten kan arealet let bestemmes ved, jf. formel 29

𝑇 = ⋅ 𝑎𝑏⋅ sin𝐶 = ⋅ 62 ⋅ 65 ⋅ sin40,4548= 2015 · sin ( 40,4548) ≈ 1307,429

1 1

2 2

Arealet af trekant 𝐴𝐵𝐶 er altså ca. 1307,43.

c)

Højden fra 𝐵 benævnes ℎ_{𝐵} og punktet hvor denne side skærer 𝐴𝐶 kaldes 𝐻. Da trekant 𝐴𝐻𝐵 er ret og vi

kender to sider, kan vi bestemme den sidste side og de øvrige vinkler. Vi bruger WordMats trekantværktøj:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: H = 90° , C = 40,4548° , h = 62

A b C

B c a

Side 4

HF MAT B hfe122-MAT/B-

H = 90°
B = 49,5452°
C = 40,4548°

h = 62
b = 47,17692
c = 40,22857

Højden fra 𝐵 i trekant 𝐴𝐵𝐶 er altså ca. 40,2.

H b C

B c h

Side 5

HF MAT B hfe122-MAT/B-

Opgave 9 a)

Modellen er en potensfunktion, og konstanterne a og b kan dermed bestemmes med potensregression.

Data indtastes først i Excel og føres over i Word.

Antal brikker 22 48 67 80 100 154 240

Tid (sekunder) 137 391 625 787 1251 2211 4024

Potensregression udføres med WordMat’s funktion. (Marker tabel -> Statistik/sands. -> Regression ->

Potens)

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9979436

𝑦 = 1,564254 · 𝑥^{1,434407}

Konstanterne er altså 𝑎 ≈ 1,43 og 𝑏 ≈ 1,56 b)

Hvor stort et puslespil en person kan nå at samle på 3000 sekunder fås ved at løse ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 3000.

Funktionen defineres i WordMat og ligningen løses.

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = 1,564254 · 𝑥^{1,434407}

𝑓 ( 𝑥) =3000

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 194,3663

Ifølge modellen kan en person på 3000 sekunder (50 minutter) typisk nå at samle et puslespil med indtil

194 brikker.

c)

Hvor mange gange så lang tid det tager at samle et puslespil der har dobbelt så mange brikker, fås ved at bestemme brøken 𝑓 ( 2𝑥) 𝑓 ( 𝑥)

= 2,702711

Det tager altså ca. 2,7 gange så lang tid at samle puslespil A.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 6

HF MAT B hfe122-MAT/B-

Opgave 10 a)

Funktionen defineres i WordMat og den første afledede bestemmes med funktionen Beregn.

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = 2 ⋅ 𝑥− 𝑒^{𝑥} + 3

𝑓^{′} ( 𝑥) =2− 𝑒^{𝑥}

b)

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet

(

0,2

) er givet ved (jf. formel 70). Udtrykket beregnes med

WordMat.

𝑦 =𝑓^{′} ( 0)( 𝑥 − 0) + 2 = 𝑥+ 2

c)

For at bestemme monotoniforholdene bestemmes først nulpunkterne for 𝑓′ ved at løse ligningen f’(x) = 0.

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = ln ( 2) ≈ 0,6931472

Fortegnene for 𝑓′ i hvert af de delintervallet nulpunkterne inddeler definitionsmængden i bestemmes

𝑓^{′} ( 0) =1

𝑓^{′} ( 1) = 2 − 𝑒 ≈ −0,7182818

En monotonilinie kan nu opstilles 𝑥 ln ( 2)

𝑓′(𝑥) + 0 −

𝑓 ( 𝑥) ↗ ↘

Funktionen 𝑓 vokser altså i intervallet ] − ∞;ln2 ] og aftager i intervallet [ ln2;∞ [.

Funktionen f har maksimum for 𝑥 = ln2

Maksimumsværdien bestemmes.

𝑓(ln2)= 2 · ln (2) + 1 ≈ 2,386294

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

HF MAT B hfe122-MAT/B-

Opgave 11 a)

Arealet af sandstranden kan bestemmes ved jf. formel 96

∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

100

0

Funktionen g defineres med WordMat

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑔 ( 𝑥) = 0,00013𝑥^{3} − 0,018𝑥^{2} + 0,46𝑥 + 60

Integralet beregnes med WordMat

∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 5550

100

0

Arealet af sandstranden på figuren er altså 5550 m^{2}.

b)

Arealet af den del af sandstranden der forsvandt fås ved at trække arealet efter fra arealet før. Dvs.

∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥−∫ ℎ ( 𝑥) 𝑑𝑥

100 100

0 0

Det forsvundne areal bestemmes.

Først defineres h

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:ℎ ( 𝑥) = −0,24 ⋅ 𝑥 + 54

Integralerne beregnes med WordMat.

∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥− ∫ ℎ ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 1350

100 100

0 0

Der er altså forsvundet 1350 m^{2} strand under stormen.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: