HF Matematik B 31. maj 2016 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

1

HF Matematik B

31. maj 2016

Delprøven uden hjælpemidler

hfe161-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 a)

Udtrykket reduceres (𝐼):

( 𝑎 + 𝑏) · ( 𝑎− 𝑏) + 𝑏 · (𝑎+ 𝑏)
= 𝑎^{2} − 𝑏^{2} + 𝑎𝑏 + 𝑏^{2}
= 𝑎^{2} + 𝑎𝑏

Ligningen løses:

23 + 2𝑥 = 15

⇕

2𝑥 = 15 − 23

⇕

𝑥 = −

8

2

= −4

Det vil sige, at 𝑥 = −4.

(𝐼):

Vi anvender en kvadratsætning:

( 𝑎+ 𝑏) · ( 𝑎− 𝑏) = 𝑎^{2} − 𝑏^{2}

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

2

Opgave 2 a)

Vi kan finde fordoblingskonstanten vha. to funktionsværdier 𝑓(𝑡 ) og 𝑓(𝑡 ), hvor:
                                                    1      2

𝑓 ( 𝑡_{2}) = 2 · 𝑓(𝑡_{1})

Vi ser, at dette er tilfældet for 𝑓 ( −4) = 2 og 𝑓 ( −1) = 4

Fordoblingskonstanten er så:

𝑡_{2} − 𝑡_{1} = −1 − ( −4) = 3

Fordoblingskonstanten er 3.

Opgave 3 a)

Funktionerne differentieres:

𝑓 ( 𝑥) = 5 · 𝑥^{2}

Så:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 5 · 2𝑥
= 10𝑥

Og:

𝑔 ( 𝑥) = 4 · ln ( 𝑥) + 7

Så:

𝑔^{′} ( 𝑥) = 4 ·

1 𝑥

=

4 𝑥

(Hvor 𝑥 > 0)

Vi konkluderer så, at:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 10𝑥

𝑔^{′} ( 𝑥) =, 𝑥 > 0

4 𝑥

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

3

(𝐼):

Regneregler

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion ln(𝑥) (hvor 𝑥 > 0)

1 𝑥

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

𝑘 0

Opgave 4 a)

I skæringspunkterne med 𝑥-aksen må der gælde, at 𝑓 ( 𝑥) = 0.

Vi løser derfor andengradsligningen:

0 = 𝑥^{2} − 8𝑥+ 15

                                                           2
                                                      −𝑏±√𝑏 −4𝑎𝑐
                      2
Ligningen er på formen 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 og har så løsningen 𝑥 =
                                                          2𝑎

Vi får altså:

𝑥 =

− ( −8) ± √ ( −8)^{2} − 4 · 1 · 15
2 · 1
=

8 ± √ 64 − 60

2

=

8 ± √ 4

2

=

8 ± 2

2

Vi får altså to løsninger:

𝑥_{1} = = 5

8 + 2

2

𝑥_{2} = = 3

8 − 2

2

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

4

I begge punkterne havde vi, at 𝑓 ( 𝑥) = 0, så parablen skærer altså førsteaksen i punkterne (3,0) og (5,0).

Førstekoordinaten til parablens toppunkt kan findes vha. toppunktsformlen:

𝑥 = −

𝑏

2𝑎

= −

−8
2 · 1
= 4

Førstekoordinaten til parablens toppunkt er altså 𝑥 = 4.

Opgave 5 a)

Det ubestemte integral bestemmes:

∫ ( 6𝑥^{2} − 𝑒^{𝑥}) 𝑑𝑥

= 6 · 𝑥^{3} − 𝑒^{𝑥} + 𝑘

1

3

= 2𝑥^{3} − 𝑒^{𝑥} + 𝑘

Vi konkluderer, at ∫ ( 6𝑥^{2} − 𝑒^{𝑥}) 𝑑𝑥 = 2𝑥^{3} − 𝑒^{𝑥} + 𝑘.

(𝐼):

Regneregler for integration hvor F(x) er stamfunktion til f(x)

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 ( 𝑥) + 𝑐

Sætte konstant udenfor ∫ 𝑘· 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘· ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫ 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Funktion Stamfunktion

𝑒^{𝑥} 𝑒

𝑥

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 31. maj 2016

5

Opgave 6 a)

Hvis 𝑦 er en lineær funktion af 𝑥, så vokser 𝑦 med en konstant størrelse 𝑎, hver gang 𝑥 vokser med 1. Vi ser, at 𝑦 vokser med 3 de første to gange, 𝑥 vokser med 1. Tredje gang vokser 𝑦 dog med 4, når 𝑥 vokser med 1. Vi konkluderer så: 𝑦 er ikke en lineær funktion af 𝑥.