HF Matematik B 29. august 2014 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

1

HF Matematik B 29. august 2014

Delprøven uden hjælpemidler

hfe142-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 a)

3𝑥+ 7=𝑥+ 10

⇕

3𝑥− 𝑥=10 − 7

⇕

2𝑥=3

⇕

𝑥=

3

2

⇕

𝑥=1,5

Opgave 2 a)

( 𝑎− 𝑏)^{2} + 2𝑎· ( 𝑎+ 𝑏)

⇕ ( I)

𝑎^{2} + 𝑏^{2} − 2𝑎𝑏 + 2𝑎· ( 𝑎 + 𝑏)

⇕

𝑎^{2} + 𝑏^{2} − 2𝑎𝑏 + 2𝑎^{2} + 2𝑎𝑏

⇕

𝑎^{2} + 𝑏^{2} − 2𝑎𝑏 + 2𝑎^{2} + 2𝑎𝑏

⇕

3𝑎^{2} + 𝑏^{2}

(I) ( 𝑎− 𝑏)^{2} =𝑎^{2} + 𝑏^{2} − 2𝑎𝑏

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

2

Opgave 3 a)

∫(3𝑥^{2} −)𝑑𝑥=∫3𝑥 𝑑𝑥− ∫ 𝑑𝑥 (II)

1 1 𝑥 𝑥

2

=3 · − ln|𝑥| + 𝑘

𝑥^{3}

3

=𝑥^{3} − ln|𝑥|+ 𝑘

Hvor k er integrationskonstanten.

(II) ∫ 𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥= ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥− ∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

Opgave 4 a)

Førstekoordinatet til parablens toppunkt er givet ved:

𝑇_{𝑥} =−

𝑏

2𝑎

Vi koefficienterne a og b, som udledes af parablens ligning:

𝑇_{𝑥} =−

−2
2 · 1
=

2

2

=1

Første koordinatet til parablens toppunkt er lig 1.

For at kunne tegne parablen analyserer vi parablens forskrift. Da a=1 har vi, at a>0. Parablens ben vender

derfor opad. Derudover kan vi se, at a og b har modsat fortegn, og derved ved vi, at parablens toppunkt ligger i 1. eller 4. kvadrant. c er lig skæringen med y-aksen. Da vi får afvide, at c er et negativt tal, skærer parablen y-aksen til en negativ y-værdi. Toppunktet ligger derved i 4. kvadrant. Vi ved desuden, at

toppunktet har 1.koordinatet x=1.

Nedenfor ses en mulig skitse af parablen:

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

3

Opgave 5 a)

De x-værdier som løser ligningen f’(x)=0 er funktionens maksimum og minimum. Vi kan aflæse af grafen, at
f har maksimum i x=4 og minimum i x=6, hvilket derfor er de x-værdier, som løser ligningen.

                                                          ′
Når f’(x) er negativ er funktionen f aftagende. Løsningen til uligheden 𝑓

( 𝑥

)

<0 er derved de x-værdier, som ligger inden for intervallet ]4;6[.

Opgave 6 a)

Fordoblingskonstanten for f er tilvæksten for x, når funktionsværdien fordobles.

𝑇_{2} =8 − 5
=3

Fordoblingskonstanten er lig 3.

Vi bestemmer forskriften for parablen på følgende form:

𝑓 ( 𝑥) =𝑏 · 𝑎^{𝑥}

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

4

Vi kender to punkter på grafen og kan derved bestemme forskriften ved at løse ligningssystemet, to ligninger med to ubekendte. Punkterne er givet ved:

𝑃= ( 5;20)

𝑄= ( 8;40)

Vi opstiller ligningerne:

𝐼) 20=𝑏· 𝑎^{5}
𝐼𝐼) 40=𝑏· 𝑎^{8}

}

Vi isolerer b i den første ligning:

𝑏=

20

𝑎^{5}

Vi indsætter udtrykket for b i den anden ligning:

40= · 𝑎^{8}

20

𝑎^{5}

Vi bestemmer a:

𝑎^{8} 40
𝑎^{5} 20

=

⇕

𝑎^{3} =2

⇕

𝑎= √^{3} 2

Vi indsætter værdien for a i udtrykket for b:

𝑏=
    3

20

√ 2^{5}
=

20

2

5

3

=

2^{2} · 5

2

5

3

=5 · 2^{2−}

5

3

=5 · 2

1

3

=5 · √^{3} 2

Vi kan opstille følgende eksponentielle forskrift:

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 29. august 2014

5

                𝑥
         3   3
𝑓 ( 𝑥 ) =5 · √ 2 · √ 2

Vi benytter forskriften for sammenhængen til udlede de manglende størrelser i tabellen.

x 5 8 11

10=5 · √^{3} 2 · √^{3} 2^{𝑥}
⇕_{1}
10=5 · 2 · 2

3 3 𝑥

⇕_{1+𝑥}
2=2

3

⇕

log ( 2) =log(2)

1+𝑥

3

⇕

log ( 2) = − log ( 2)

1 + 𝑥

3

⇕

3=1 + 𝑥

⇕

𝑥=2

f(x) 10 20 40

                11
         3   3
𝑓 ( 𝑥 ) =5 · √ 2 · √ 2

⇕_{1}
𝑓 ( 𝑥) =5 · 2 · 2

3 3

11

⇕

𝑓 ( 𝑥) =5 · 2

12

3

⇕

𝑓 ( 𝑥) =5 · 2^{4}

⇕

𝑓 ( 𝑥) =80