HF Matematik B 29. august 2013 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 7 a)

Tabellen indtastes i MS Excel, antal år efter 2001 bestemmes som forskellen mellem det aktuelle år og år

2001 (målt i år). Tabellen kopieres over i MS Word.

Sammenhængen 𝑓 mellem antal år efter 2001 og antallet af robotter bestemmes vha. en eksponentiel

regression over tabellens data, - hertil benyttes WordMat (Statistik/sands. - Regression - Eksponentiel).

år 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 år efter 2001 0 1 2 3 4 5 6 7

Antal robotter 2093 2342 2630 2926 3258 3626 4115 4622

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9995476

𝑦 = 2090,712· 1,118868^{𝑥}

En model for denne sammenhæng er således: 𝑓 ( 𝑥) = 2090,712· 1,118868^{𝑥}

hvor 𝑥 er antal år efter 2001 og 𝑓

( 𝑥

) er antal robotter som en funktion af 𝑓.

𝑓 defineres i WordMat (CAS - Definitioner - definer funktion) til senere brug:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = 2090,712· 1,118868^{𝑥}

b)

Sammenhængen er eksponentiel efter modellen 𝑓 ( 𝑥) = 𝑏 ⋅ 𝑎^{𝑥} = 𝑏 ⋅ ( 1 + 𝑟)^{𝑥} jf. formel 54

Den årlige procentvise stigning % kan bestemmes vha. fremskrivningsfaktoren 𝑎 som: jf. formel 3 Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn)

𝑝% = ( 𝑎 − 1) ⋅ 100% = ( 1,118868 − 1) ⋅ 100 =11,8868%

Den årlige procentvise stigning i antallet af robotter har således været: % = 11,9 %

Resultatet er afrundet til en enkelt decimal.

Side 2

Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-

c)

Antallet af robotter i 2010 kan bestemmes som 𝑓(9) (da 2010 − 2001= 9).

På tilsvarende vis kan antallet af robotter i 2011 bestemmes som 𝑓(10).

Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn)

𝑓 ( 9) = 5745,1833

𝑓 ( 10) = 6428,10175

Der blev således if. modellen benyttet 5745 robotter i 2010 og 6428 robotter i 2011.

Det oplyses efterfølgende, at det faktiske antal af industrirobotter i år 2010 var 5133 og 5571 i år 2011.

Ifølge modellen skulle antallet af robotter i 2010 have været godt 600 enheder mere og godt 800 enheder mere i 2011, end de faktiske tal viser. Dette må nødvendigvis betyde, at modellen er for optimistisk omkring udviklingen og derfor ikke kan give en troværdig prognose på antallet af robotter efter 2008.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 8 a)

Forskriften for 𝑓 defineres i WordMat (CAS - Definitioner - definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = 0,25 ⋅ 𝑥^{4} − 𝑥^{3} + 𝑥^{2}

Eventuelle ekstrema bestemmes ved at løse ligningen 𝑓^{′} ( 𝑥) =0.

Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2

En undersøgelse af fortegnsvariationen for 𝑓′ før, mellem og efter de fundne rødder foretages nu med WordMat (CAS - Beregn). Derefter laves monotonilinje i WordMat (Diverse - Figurer).

𝑓^{′} ( −1) = −6,0

𝑓^{′} ( 0,5) = 0,375

𝑓^{′} ( 1,5) =−0,375

𝑓^{′} ( 3) = 6,0

Side 3

Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-

Monotonilinje og konklusion.

• 𝑓 er faldende i intervallet ] − ∞;0] idet 𝑓^{′} < 0
• 𝑓 er voksede i intervallet [ 0;1] idet 𝑓^{′} > 0
• 𝑓 er faldende i intervallet [ 1;2] idet 𝑓^{′} < 0
• 𝑓 er voksede i intervallet [2;∞[ idet 𝑓^{′} > 0

b)

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet (3,𝑓 (3)) kan bestemmes vha. tangentligningen:

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) ⋅ ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0}) jf. formel 70

𝑥_{0} = 3 indsættes og udtrykket beregnes med WordMat (CAS - Beregn):

𝑦 = 𝑓^{′} ( 3) ⋅ ( 𝑥− 3) + 𝑓 ( 3) = 6 · 𝑥− 15,75

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet (3,𝑓 (3)) er således: 𝑦 = 6 ·𝑥 − 15,75

c)

Intervallet/intervallerne for det afgrænsede område kan bestemmes ved at løse ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 0

Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):

𝑓 ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 2

Arealet 𝑀, området afgrænset af grafen for 𝑓 og førsteaksen, kan bestemmes som integralet: jf. formel 96 WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝐴_{𝑀} = ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 0,2666667

2

0

Arealet af det afgrænsede område er således: 𝐴_{𝑀} = 0,27

Resultatet er afrundet til to decimaler.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: x f’(x) 0 0 0 f(x)

0 1 2

_

- + -

+

Side 4

Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-

Opgave 9 a)

Sammenhængen mellem bølgelængden 𝑥 og dens hastighed 𝑦 = 𝑓(𝑥) defineres, hvor bølgens hastighed

er en funktion af bølgelængden 𝑥. Hertil benyttes WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = 1,24 ⋅ 𝑥^{0,5}

Herefter bestemmes bølgelængden ved en hastighed på 17,0 𝑚/𝑠 ved at løse ligningen 𝑓 ( 𝑥) = 17,0

Hertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk).

𝑓 ( 𝑥) =17,0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 187,9553

Bølgens længde er således 188,0 𝑚, når hastigheden er 17,0 𝑚/𝑠 (resultatet er afrundet til én decimal).

b)

For potensfunktioner gælder det: jf. formel 68

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

Hvilket betyder, at når tallet 𝑥 ganges med tallet 1 + 𝑟 så ganges 𝑓(𝑥) med tallet 1+ 𝑟
                                           𝑥                          𝑦

                                     25%
I dette specifikke tilfælde er 𝑎 = 0,5 og 𝑟 = = 0,25 jf. formel 3
                                 𝑦
                                    100%

Svaret på delopgaven kan bestemmes ud fra værdien for 𝑟_{𝑥}.

Kendte værdier indsættes og ligningen løses i 𝑟
                                      𝑥

vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):

1 + 0,25= ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{0,5}

Ligningen løses numerisk for r_x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑥} ≈0,5625

Hvilket svarer til 56,3 %, når der afrundes til en enkelt decimal jf. formel 3

Det kan således konkluderes, at bølgelængden ved 𝑃 er 56,3 % større end ved 𝑄.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 5

Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-

Opgave 10 a)

Længden af siden 𝐵𝐶 bestemmes vha. WordMat (Diverse - Trekant).

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 56,3° , AC = 10,0 , AB = 4,4

B A = 56,3°
B = 97,85954°
C = 25,84046°

BC = 8,398434
AC = 10
AB = 4,4

Heraf fremgår det, at længden af 𝐵𝐶 er bestemt til: | 𝐵𝐶 | = 8,4

Resultatet er afrundet til én decimal.

b)

Vinkel 𝐵𝐴𝐷 (vinkel 𝐴 i trekant 𝐴𝐵𝐷) kan bestemmes som supplementvinklen (nabovinklen) til ∠𝐵𝐴𝐶 WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

∠𝐵𝐴𝐷 = 180° − ∠𝐵𝐴𝐶 = 180° − 56,3°= 123,7°

Længden af siden 𝐴𝐷 kan bestemmes vha. af arealformlen for trekanter: jf. formel 29

𝑇_{𝐴𝐵𝐷} = ⋅ | 𝐴𝐷 | ⋅ | 𝐴𝐵 | ⋅ sin (∠𝐵𝐴𝐷)

1

2

De kendte værdier indsættes og |𝐴𝐷| bestemmes med WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):

24 = ⋅ 𝐴𝐷⋅ 4,4 ⋅ sin (123,7)

1

2

⇕ Ligningen løses for AD vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐴𝐷 =13,11261

Længden af siden 𝐴𝐷 i trekant 𝐴𝐵𝐷 er således bestemt til: | 𝐴𝐷 | = 13,1

Resultatet er afrundet til én decimal.

A AC C

AB BC

Side 6

Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-

Opgave 11 a)

De tomme felter i tabellen udfyldes vha. de givne oplysninger i teksten.

Da højden forøges med 4 cm fra 172 cm til 176 cm, er den manglende armlængde: 64 + 1= 65 𝑐𝑚
Da armlængden forøges med 5 cm fra 65 cm til 70 cm, er den manglende højde: 176 + 5 ⋅ 4 = 196 𝑐𝑚

Højde (cm) 172 176 196

Armlængde (cm) 64 65 70 b)

Den beskrevne sammenhæng mellem højde og armlængde er lineær jf. formel 35.

Den lineære sammenhæng mellem højden 𝑥 og armlængden 𝑓(𝑥), som en funktion af højden, kan bestemmes vha. en lineær regression over tabellens data.

Hertil benyttes WordMat (Statistik/sands. - Regression - Lineær):

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦 = 0,25𝑥+ 21

Formlen til at beregne armlængden, når højden er 𝑥 cm, er således:

𝑓(𝑥)= 0,25𝑥 + 21

hvor 𝑥 er højden (målt i cm) og (𝑥) er armens længde, som en funktion af højden (målt i cm).

Opgave 12 a)

Forskriften for 𝑓 defineres i WordMat (CAS - Definitioner - definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑓 ( 𝑥) = 800 ⋅ + 70,90 ⋅ 𝑥

1 𝑥

√

Antallet af cm^{2} metalplade, der skal bruges, bestemmes som 𝑓(10).

Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn).

𝑓 ( 10) = √ 10 · 70,9 + 80≈ 304,2055

Til en dåse med højden 10 cm kræves således en metalplade på 304,2 𝑐𝑚^{2}

Resultatet er afrundet til én decimal.

Side 7

Skriftlig matematik HF B hfe132-MAT/B-

b)

For at finde frem til den højde, der giver det mindste pladeforbrug, undersøges 𝑓 for eventuelle ekstrema.

Det gøres ved at løse ligningen 𝑓^{′} ( 𝑥) = 0. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk) benyttes.

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 ≈ 7,985752

Vha. en fortegnsundersøgelse for 𝑓′ (før og efter det fundne ekstrema) kan det kontrolleres, om det fundne ekstrema er et minimum. WordMat (CAS - Beregn) benyttes.

𝑓^{′} ( 5) = − 32 ≈ −16,14628

35,45

√ 5

𝑓^{′} ( 10) = − 8 ≈ 3,210274

35,45

√ 10
Da 𝑓^{′} < 0 før og 𝑓^{′} > 0 efter det fundne ekstrema, kan det konkluderes, at det er et minimum for 𝑓.

Heraf følger, at den optimale højde for dåsen er på: 8,0 𝑐𝑚 når der afrundes til én decimal.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: