HF Matematik B 28. august 2015 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

1

HF Matematik B 28.august 2015

Delprøven med hjælpemidler

hfe152-MAT/B-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HF 2. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 7 a)

Vi indsætter data’et i et koordinatsystem og foretager en eksponentiel regression:

Tendenslinjen har følgende forskrift:

y = 765,75e^{0,0415x}
R² = 0,9951

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

45

Antal nedlagte dyr

År efter 1965

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

2

𝑓 ( 𝑥) =765,75𝑒^{0,0415𝑥}

Vi har derved følgende b-værdi:

𝑏 = 765,75

Vi udregner a:

𝑎 =𝑒^{0,0415}

≈1,042373 b) a-værdien siger noget om, hvor mange procent antallet af nedlagte krondyr vokser med pr. år. Vi kan foretage følgende beregning, som viser procenten:

% = ( 1,042373 − 1) · 100

≈ 4,2373

Ifølge modellen vokser antallet af nedlagte krondyr i gennemsnit med 4,24 % pr. år. For at bestemme antallet af nedlagte krondyr i 2015 ifølge modellen, indsættes antallet af år efter 1965 på x’s plads, hvorefter funktionsværdien bestemmes:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 765,75𝑒^{0,0415𝑥}

𝑓 ( 50) ≈ 6098,851

Ifølge modellen nedlægges der 6098 krondyr i 2015.

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

3

Opgave 8 a)

Vi beregner længden BD ud fra oplysningerne givet i trekant ADB.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 42° , b = 6 , d = 5

B A = 42°
B = 82,32367°
D = 55,67633°

BD = 4,051088
AD = 6
AB = 5

Længden af siden BD findes vha. en cosinusrelation

𝐵𝐷 = √ 𝑏^{2} + 𝑑^{2} − 2 · 𝑏 · 𝑑 · cos ( 𝐴)
= √ 6^{2} + 5^{2} − 2 · 6 · 5 · cos ( 42°)
= 4,051088

Længden BD er 4,05 b)

Tegnes højden I trekant BCD dannes den retvinklede trekant med siden BD som hypotenuse. Da vi kender vinkel D og længden af BD, kan vi bestemme højden:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: D = 56° , H = 90° , BD = 4,051088

A AD D

AB BD

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

4

B D = 56°
B = 34°
H = 90°

h = 3,358504
b = 2,26534
BD = 4,051088

Længden af siden h findes vha. sinus

ℎ = 𝐵𝐷· sin ( 𝐷)
= 4,051088 · sin ( 56)
= 3,358504

Højden I trekant BCD er 3,36.

Formlen for arealet af en trekant er givet ved:

𝐴 = · 𝑔 · ℎ

1

2

Hvor h er højden I trekanten og g er grundlinjen, som er lig længden CD. Vi kender arealet og højden i trekanten BCD og kan derved bestemme længden af grundlinjen:

8,7 = · 3,358504 · 𝐶𝐷

1

2

⇕ Ligningen løses for CD vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐶𝐷 = 5,180878

Længden af siden CD er 5,18.

D b H

BD h

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

5

Opgave 9 a)

Vi sætter L=20000 LE/s og bestemmer værdien af A:

𝐴 ≔1,6 · 𝐿^{0,6}

𝐿 ≔20000

𝐴 ≈ 609,1693

Huset skal mindst ligge 609,2 meter fra stalden.

Slet definitioner: b)

Vi sætter A=400 I formlen og isolerer for L:

1,6 · 𝐿^{0,6} = 400

⇕ Ligningen løses for L vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐿 = 9921,257

Lugten må være 9921,3 LE/s

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

6

Opgave 10 a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{4} − 𝑥+ 1

1

4

Vi sætter den differentierede ligning lig nul og isolerer for x:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

x = 1

Vi udregner nu fortegnet for f’ på begge sider af nulpunktet:

𝑓^{′} ( 0,8) ≈ −0,488

𝑓^{′} ( 1,2) = 0,728

Vi sammenfatter dette i en monotonilinje: 𝑥 1

𝑓^{′} ( 𝑥) - 0 +

𝑓 ( 𝑥) ↘ ↗

Vi kan dermed opstille følgende monotoniforhold for f:

f er voksende i intervallet: ]1,∞ [

f er aftagende i intervallet ] − ∞,1[

f har minimum for 𝑥 = 1

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

7

Opgave 11 a)

𝑓 ( 𝑥) = 385000 − ( 𝑥· 32000)

Hvor x er bilens alder og f(x) er forsikringsværdien.

b)

Vi sætter funktionen lig nul og isolerer for x:

0 = 385000 − ( 𝑥· 32000)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 =

385

32

= 12,03125

Bilen er 12 år gammel når forsikringsværdien er 0.

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

8

Opgave 12 a)

Arealet af et rektangel bestemmes således:

𝐴 = 𝑙 · 𝑏

Hvor l er længde og b er bredde. Vi opstiller et udtryk for rektanglens længde:

𝑙 = 10 − 𝑥+ 1

Bredden af rektanglet er lig længden x. Vi har derved følgende udtryk for arealet, som funktion af x:

𝐴 ( 𝑥) = 𝑥· ( 10 − 𝑥 + 1)

Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐴 ( 𝑥) = ( 11 − 𝑥) · 𝑥

Hvor x skal være større end 0 og mindre end 10, da en længde ikke kan være negativ og trådhegnet i alt er

10 meter.

b)

Vi bestemmer funktionens maksimum. Vi definerer funktionen:

𝐴 ( 𝑥) ≔ ( 11 − 𝑥) · 𝑥

Vi sætter den differentierede ligning lig nul og isolerer for x:

𝐴^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 =

11

2

Vi tjekker, at der er tale om et maksimum:

𝐴^{′} ( 5) = 1

𝐴^{′} ( 6) = −1

Fortegnet for funktionen skifter fra positivt til negativ omkring den fundne x-værdi. Der er derfor tale om et

                                            11
maksimum. Arealet af løbegården bliver størst for 𝑥 = .
                                             2

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

9

Opgave 13 a)

Vi bestemmer arealet under f, afgrænset af x-aksen og grænseværdierne a og b:

𝐴 = ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ ln ( 𝑥) − 0,25𝑥^{2} + 4

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑥 > 0

Grænseværdierne a og b er givet i opgaven:

𝑎 = 1

𝑏 = 3

Vi indsætter størrelserne i formlen:

𝐴 = ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

3

1

= 3 · ln ( 3) +

23

6

≈ 7,12917

Arealet af området er 7,13.

b)

Differentialkvotienten for f er lig tangents hældning. Vi sætter derfor den differentierede funktion lig -0,5 og isolerer for x.

𝑓^{′} ( 𝑥) = −0,5

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 2

Tangents førstekoordinat er lig 2.

Side 10

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 28.august 2015

10

Opgave 14 a)

Vi opstiller den retvinklede trekant med gelænderet som hypotenuse.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 30° , A = 90° , a = 3,2

C B = 30°
C = 60°
A = 90°

b = 1,6
c = 2,771281
a = 3,2

Længden af siden c findes vha. cosinus:

𝑐 = 𝑎· cos ( 𝐵)
= 3,2 · cos ( 30)
= 2,771281

Gelænderets vandrette side er 2,77 meter. Vi kan derfor opstille følgende udtryk for x:

2,771281= 10𝑥

Vi isolerer for x:

Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 0,2771281

Trindybden x er lig 0,28 meter.

B c A a b