HF Matematik B 18. december 2007 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

1

HF Matematik B

18. december 2007

HFE073-MAB

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver med hjælpemidler er for så vidt muligt regnet med WordMat. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1 a)

𝑥^{1,5} · 𝑥^{3} = 𝑥^{1,5+3} (𝐼)
= 𝑥^{4.5}

Og:

( 𝑥^{4})^{2} = 𝑥^{4·2} (𝐼𝐼)
= 𝑥^{8}

(I)

𝑥^{𝑛} · 𝑥^{𝑚} = 𝑥^{𝑛+𝑚}

(II)

( 𝑥^{𝑛})^{𝑚} = 𝑥^{𝑛·𝑚}

Opgave 2 a)

Vi bestemmer f’(4) som hældningen til tangenten i røringspunktet x = 4.

f’(4) er bestemt til 1.

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

2

Opgave 3

𝑓 ( 𝑥) = 4 · 𝑎^{𝑥}

( 2,100) a)

Vi indsætter punktet i forskriften og bestemmer a:

100 =4 · 𝑎^{2}

⇕

25 =𝑎^{2}

⇕

𝑎 = √25

⇕

𝑎 = 5

Tallet a er bestemt til 5.

Opgave 4

𝑎𝑥^{2} + 4𝑥+ 2 =0,ℎ𝑣𝑜𝑟 𝑎 ≠ 0

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

3 a)

Skal andengradsligningen kun have en løsning, skal diskriminanten være lig 0:

𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

⇕

0 = 4^{2} − 4 · 𝑎· 2

⇕

0 = 16 − 4 · 𝑎· 2

⇕

4 · 𝑎· 2 =16

⇕

8 · 𝑎 = 16

⇕

𝑎 = = 2

16

8

Tallet a er bestemt til 2.

Opgave 5

𝑔 ( 𝑥) = 4 + 2𝑥 + 𝑥^{5}

𝑓 ( 𝑥) = 3 + 5𝑥^{4}

a)

Vi integrerer f(x):

∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫3 + 5𝑥^{4} 𝑑𝑥(𝐼)
= 3 · 𝑥 + 𝑥^{5}

Vi kan konkludere at g(x) ikke er en stamfunktion til f(x).

(I) 𝑓 ( 𝑥) 𝐹(𝑥) 𝑘 𝑘𝑥

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

4

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 6 a)

Modellen kan beskrives ved en lineær funktion, vi bestemmer derfor tallene a og b ved lineærregression:

Vi opstillet tabel med data og foretager regression:

År | 1998 | 1990 | 1992 | 1994 | 1996 | 1998 | 2000
Antal år | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12

efter 1988

Årligt | 635 | 605 | 573 | 541 | 512 | 483 | 454

elforbrug

(kWh)

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9995663

𝑦 = −15,14286𝑥 + 634,1429

Tallene a og b aflæses fra regression ligningen.

Tallet a aflæses til -15,14, og tallet b aflæses til 634,14 (afrundet til 2 decimaler).

Tallet a er hældningskoefficienten og er aflæst til -15,14. Den beskriver, hvordan funktionen udvikler sig.

Ifølge modellen aftager fryserens årlige elforbrug med 15,14 kWh for hvert år efter år 1988.

b)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ −15,14286𝑥 + 634,1429

Vi løser f(x) = 300:

𝑓 ( 𝑥) = 300

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 22,06604

Ifølge modellen vil det typiske årlige elforbrug for fryseren være 300 kWh ca. 22 år (afrundet til helt år) efter år 1988 dvs. ca. i år 2010.

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

5

Opgave 7 a)

Siden BC bestemmes i WordMats trekantsløser:

WordMats trekantsløser anvendes med input: A = 120°, AC = 15, AB = 15

B A = 120°
B = 30°
C = 30°

BC = 25,98076
AC = 15
AB = 15

Længden af siden BC findes vha. en cosinusrelation

𝐵𝐶 = √ 𝐴𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 2 · 𝐴𝐶· 𝐴𝐵· cos ( 𝐴)
= √ 15^{2} + 15^{2} − 2 · 15 · 15 · cos ( 120°)
= 25,98076

Siden BC er bestemt til 25,98 cm (afrundet til 2 decimaler).

b)

Flisens areal beregnes som summen af de 4 trekanter som udgør flisen (se skitse):

Det samlede areal af de små trekanter beregnes ved:

A AC C

AB BC

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

6

𝑇 = 3 · · 𝑏· 𝑐· sin ( 𝐴)

1

2

= 3 · · 15 · 15 · sin ( 120)

1

2

≈ 292,2836

Den store trekant er ligesidet alle sider er lige lange, og alle vinkler i trekanten har størrelsen 60°. Vi bestemmer arealet af den store trekant ved:

𝑇 = · | 𝐵𝐶 | · | 𝐵𝐶 | · sin ( 60)

1

2

= · 25,98 · 25,98 · sin ( 60)

1

2

≈ 292,2664

Flisens samlede areal bestemmes ved:

292,2836 + 292,2664=584,55

                                    2
Flisens samlede areal er bestemt til 584,6 cm .

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

7

Opgave 8 a)

Vi definerer funktionen f:

𝑓 ( 𝑥) ≔ −𝑥^{2} + 6𝑥+ 1

Vi bestemmer førstekoordinaten for toppunktet ved:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 3

Vi bestemmer anden koordinaten ved:

𝑓 ( 3) = 10

Toppunktet til grafen er bestemt til T(3, 10).

Vi tegner grafen f i GnuPlot:

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

8 b)

Vi definerer funktionen g:

𝑔 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{2} − 2𝑥+ 7

Vi bestemmer førstekoordinaten for skæringspunkterne ved:

𝑔 ( 𝑥) = 𝑓 ( 𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 3

Vi bestemmer anden koordinaten ved:

𝑓 ( 1) = 6

𝑓 ( 3) = 10

Koordinatsættet til skæringspunkterne mellem g og f er bestemt til S1(1, 6) og S2(3, 10).

Side 9

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

9

Opgave 9 a)

Der er tale om en eksponentiel sammenhæng, da udviklingen falder med en fast procentdel om året.

𝑓 ( 𝑥) = 𝑏 · 𝑎^{𝑥}

Vi beregner tallet a vha. fremskrivningsfaktoren r:

𝑎 = 𝑟+ 1
= −0,006 +1
= 0,994
Tallet b betegner funktionsværdien i x = 0. I denne model sættes året 2004 til x = 0. I året 2004 var

befolkningstallet i Rusland 142,2 millioner.

Vi opskriver modellen:

𝑓 ( 𝑥) = 142,2 · 0,994^{𝑥}

b)

Vi definerer modellen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 142,2 · 0,994^{𝑥}

Vi beregner befolkningstallet, når den er aftaget med 10 %:

142,2 − 142,2 · ≈127,98

10

100

Vi indsætter tallet i modellen og løser for x:

127,98= 142,2 · 0,994^{𝑥}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 17,50735

Ifølge modellen vil der gå ca. 18 år (afrundet til helt år) før at befolkningstallet i Rusland er aftaget med

10%.

Side 10

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

10

Opgave 10 a)

Vi bestemmer tallet:

∫ ( 2𝑥− 3) 𝑑𝑥 = 6

4

2

Vi giver en fortolkning af tallet:

Vi kan se at udtrykket er positivt i hele intervallet dvs. at tallet betegner et areal mellem grafen for (2x-3) og x-aksen. Størrelsen af dette areal er lig 6.

Side 11

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

11

Opgave 11 a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{3} − 𝑥^{2}

1

3

Vi foretager en funktionsundersøgelse:

Vi bestemmer først evt. ekstrema samt vendetangenter:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 2

Vi bestemmer differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne:

𝑓^{′} ( −1) = 3

𝑓^{′} ( 1) = −1

𝑓^{′} ( 3) = 3

Vi opskriver monotoniforholdet:

f er voksende i intervallet ]-∞; 0] og [2; ∞[

f er aftagende i intervallet [0; 2]

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 12

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

12

Opgave 12 a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 5000 + 40𝑥+

900000 𝑥

Vi bestemmer f(95): 𝑓 ( 95) ≈ 18273,68

Den samlede årlige afgift er bestemt til 18273,7 €.

b)

For at bestemme tværsnittet, der giver den mindste årlige afgift optimere vi funktionen.

Vi bestemmer først evt. ekstrema samt vendetangenter:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −150 ∨ 𝑥 = 150

Vi udelader x = -150, vi kan ikke have et negativt tværsnit.

Vi undersøger differentialkvotienten på begge sider af x = 150:

𝑓^{′} ( 100) = −50

𝑓^{′} ( 200) = 17,5

Vi kan på baggrund af funktionsundersøgelsen konkludere at x = 150 er et minimum.

                                                             2
Tværsnitsarealet, der giver den mindste årlige afgift, er bestemt til 150 mm .

Side 13

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 18. december 2007

13

Opgave 13 a)

Vi bestemmer tallet k:

1200= 𝑘· 20

1

3

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘 = 442,0838

Tallet k er bestemt til 442,1 (afrundet til 1 decimal).

Vi bestemmer y, når x = 4:

𝑦 = 442,0838 · 4 ≈ 701,7643

1

3

Diameteren er bestemt til 701,8 m (afrundet til 1 decimal).

b)

Vi definerer tallet 1/3 som a og væksten for det ene krater:

𝑎 ≔

1

3

𝑟_{𝑦} ≔ 0,2

Vi bestemmer den relative vækst ved:

𝑟_{𝑦} + 1 = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑥} = 0,728

Energien var 72,8 % større for krateret, der blev udløst ved det store nedslag.