HF Matematik B 12. december 2008 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

1

HF Matematik B

12. december 2008

HFE083-MAB

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaverne med hjælpemidler er for så vidt muligt regnet med WordMat. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler

Opgave 1

𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{3} + 4𝑥^{2}

𝑔 ( 𝑥) =𝑒^{5𝑥}

a)

𝑓^{′} ( 𝑥) = ( 𝑥^{3} + 4𝑥^{2})^{′} (𝐼)
=3𝑥^{2} + 8𝑥

𝑔^{′} ( 𝑥) = ( 𝑒^{5𝑥})^{′} (𝐼𝐼)
=5 · 𝑒^{5·𝑥}

𝑓 ( 𝑥) 𝑓′(𝑥)

𝑥^{𝑛} 𝑛𝑥 (𝐼)

𝑛−1
𝑒^{𝑘𝑥} 𝑘𝑒 (𝐼𝐼)

𝑘𝑥

Opgave 2

𝑎· 𝑥=3𝑥− 2
√

a)

Vi indsætter x = 4 og isolerer for a:

Side 2

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

2

𝑎· √ 4=3 · 4 − 2

⇕

𝑎· 2=12 − 2

⇕

2𝑎=10

⇕

𝑎=5

Opgave 3

𝑓 ( 𝑥) =−7,2𝑥+ 34

𝑔 ( 𝑥) =0,83 · 1,24^{𝑥}

ℎ ( 𝑥) =3,9 · 0,58^{𝑥}

a) f(x) har forskriften for en lineær funktion. Funktionen er aftagende da hældningen er under 0.

g(x) har forskriften for en eksponentialfunktion. Funktionen er voksende, da værdien for fremskrivningsfaktoren er 1,21 > 1.

h(x) har forskriften for en eksponentialfunktion. Funktionen er aftagende, da værdien for fremskrivningsfaktoren er 0,58 < 1.

Opgave 4

2 · ( 𝑥+ 1) · ( 𝑥− 3) =0

a)

Vi benytter nulreglen dvs. at hvis bare én af parenteserne antager værdien 0, bliver hele udtrykket lig 0.

Løsningen til ligningen er henholdsvis x = -1 og x = 3.

Opgave 5

𝑓 ( 𝑥) =𝑥− 4

a)

Vi bestemmer stamfunktionen til f(x):

Side 3

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

3

𝐹 ( 𝑥) =∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

=∫ ( 𝑥− 4) 𝑑𝑥 (𝐼)(𝐼𝐼)

= 𝑥^{2} − 4𝑥 + 𝑘

1

2 hvor k er en variabel værdi, der bl.a. kan antage værdien 1.

Vi har dermed redegjort for, at 𝐹_{1} (𝑥) er en stamfunktion til f(x).

Til at bestemme 𝐹_{2} (𝑥) aflæser vi et punkt på grafen P(0, 5):

Vi indsætter punktet i F(x) og bestemmer konstanten k:

𝐹 ( 0) =5

⇕

5= · 0^{2} − 4 · 0 + 𝑘

1

2

⇕

𝑘=5

Vi kender nu konstanten k og kan opstille 𝐹_{2} (𝑥):

𝐹_{2} ( 𝑥) = 𝑥^{2} − 4𝑥+ 5

1

2 𝑓 ( 𝑥) 𝐹(𝑥)

𝑥^{𝑛} · 𝑥^{𝑛+1} (𝐼)

1

𝑛+1

𝑘 𝑘𝑥(𝐼𝐼)

Side 4

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

4

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 6 a)

Der er tale om en lineærudvikling, da udviklingen stiger med en fast del, hvert år.

f(x) beskriver antallet af danskere med en årlig indkomst på mindst 1 million kr. om året.

x beskriver året efter år 2000.

Tallet 7600 betegner b dvs. begyndelsesværdien for funktionen. I år 2000 var der således 7600 danskere med en indkomst på mindst 1 million kr.

Tallet 1300 betegner tallet a, og er hældningskoefficienten funktionen. Antallet af danskere med en indkomst på over 1 million kr. stiger således med 1300 danskere om året.

Vi opstiller modellen:

𝑓 ( 𝑥) =1300𝑥+ 7600

Side 5

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

5

Opgave 7 a)

Længden af siden |AC| bestemmes i WordMats trekantsløser.

WordMats trekantsløser anvendes med input: B = 81°, CB = 135, AB = 178

C A = 40,36216°
C = 58,63784°
B = 81°

CB = 135
AB = 178
AC = 205,8902

Længden af siden AC findes vha. en cosinusrelation

𝐴𝐶= √ 𝐴𝐵^{2} + 𝐶𝐵^{2} − 2 · 𝐴𝐵· 𝐶𝐵· cos ( 𝐵)
= √ 178^{2} + 135^{2} − 2 · 178 · 135 · cos ( 81°)
=205,8902

Siden |AC| aflæses fra WordMats trekantsløser til 205,89 (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vinkel A bestemmes i WordMats trekantsløser.

WordMats trekantsløser anvendes med input: D = 128°, DC = 84, AC = 205,8902

D A = 18,75343°
D = 128°
C = 33,24657°

DC = 84
AC = 205,8902
AD = 143,2441

Vinkel A findes vha. en cosinusrelation

𝐴=cos^{−1} ()

𝐴𝐶^{2} + 𝐴𝐷^{2} − 𝐷𝐶^{2}
2 · 𝐴𝐶· 𝐴𝐷

A AB B

AC CB

A AC C

AD DC

Side 6

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

6

=cos^{−1} ()

205,8902^{2} + 143,2441^{2} − 84^{2}
2 · 205,8902· 143,2441
=18,75343°

Vinkel A aflæses fra WordMats trekantsløser til 18,75°. (afrundet til to decimaler).

Arealet af trekant ACD bestemmes ved:

𝑇_{𝐴𝐶𝐷} = · | 𝐴𝐶 | · | 𝐴𝐷 | · sin ( 𝐴)

1

2

= · 205,8902 · 143,2441 · sin ( 18,75343)

1

2

≈4740,872

Arealet af trekant ACD er bestemt 4740,87 (afrundet til 2 decimaler).

Side 7

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

7

Opgave 8 a)

Udviklingen kan beskrives eksponentielt, modellen bestemmes, derfor ved eksponentiel regression.

Vi opstilles tabellen og foretager regression:

År | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005
År efter 2001 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
Dagligt antal | 35359 | 38960 | 41535 | 46031 | 50118

personrejser

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9963435

𝑦=35402,31 · 1,09029^{𝑥}

Vi opskriver modellen:

𝑓 ( 𝑥) =35402,31 · 1,09029^{𝑥}

b)

Vi definerer modellen:

𝑓 ( 𝑥) ≔35402,31· 1,09029^{𝑥}

Vi bestemmer antallet af personrejser over Øresundsbroen i år 2007:

𝑓 ( 2007 − 2001) ≈59468,06

Vi kommenterer modellen:

Sammenligner vi det faktiske tal på 67159 for antallet af personrejser over Øresundsbroen i år 2007, står det klart, at det faktiske tal er væsentligt højere end de 59468 (afrundet) som modellen forudsiger. Det kan konkluderes, at modellen ikke er særlig pålidelig, og at udviklingen i antallet af personrejser er sket med en væsentligt højere hastighed end forudsagt af modellen.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

8

Opgave 9 a)

Vi definerer funktionen og førstekoordinaten for punktet P:

𝑓 ( 𝑥) ≔−𝑥^{2} + 6𝑥+ 3

𝑥_{0} ≔2

Vi bestemmer tangentens ligning til punktet P(2, f(2)):

𝑦_{𝑡} =𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
=2 · 𝑥+ 7

En tangent til grafen for f til punktet P er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

Vi definerer tangentens ligning:

𝑡 ( 𝑥) ≔2𝑥+ 7

Vi bestemmer arealet af M ved:

𝐴_{𝑀} =∫ 𝑡 ( 𝑥) − 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥≈2,666667

2

0

Arealet af M er bestemt til 2,67 (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

9

Opgave 10 a)

Vi definerer funktionen: 𝑓 ( 𝑥) ≔

350

1 + 8 · 𝑒^{−0,20·𝑥}

Vi bestemmer antallet af dage ved:

𝑓 ( 𝑥) =200

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=11,83562

11,84 dage efter første skoledag i januar, er der ifølge modellen 200 elever der har eller har haft influenza.

b)

Vi bestemmer f’(7):

𝑓^{′} ( 7) ≈15,62613

f’(7) er bestemt til 15,63 dvs. at til tidspunktet 7 (målt i dage efter første skoledag i januar) vokser antallet af elever der har influenza med 15,63 elever.

c)

Det udgår fra grafen og funktionsforskriften, at funktionen vil nærme sig en asymptote med værdien 350.

Ifølge modellen vil højst 350 elever kunne få influenza.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

10

Opgave 11 a)

Vi definerer funktionen og definitionsmængden:

𝑓 ( 𝑥) ≔0,5𝑥^{2} − 5,5𝑥 +6 · ln ( 𝑥) + 8

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥>0

Tangenten er vandret, når hældningen er lig 0:

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=1,5 ∨ 𝑥=4

Der er to løsninger, hvor grafen for f har vandrette tangenter.

b)

Vi foretager en funktionsundersøgelse:

Vi undersøger differentialkvotienten på begge sider af den afledte funktions nulpunkter;

𝑓^{′} ( 1) =1,5

𝑓^{′} ( 2) =−0,5

𝑓^{′} ( 5) ≈0,7

Vi opskriver monotoniforhold:

f er voksende i intervallet ]0; 1,5] og [4; ∞[

f er aftagende i intervallet [1,5; 4]

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 11

Matematik B HF – Skriftlig eksamen – 12. december 2008

11

Opgave 12 a)

Vi bestemmer T, når x = 0,50:

𝑇=0,28 · 0,50^{1,5} ≈0,09899495

En 0,50 m lang bladfjeder har svingningstiden 0,099 s (afrundet til 3 decimaler).

Vi bestemmer x, når T = 0,040:

0,040=0,28 · 𝑥^{1,5}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0,2732759

En bladfjeder med svingningstiden 0,040 s har længden 0,27 m (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi definerer tilvæksten for svingningstiden og tallet 1,5 som a: 𝑎≔1,5

𝑟_{𝑦} ≔0,30

Vi bestemmer den relative vækst ved:

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

⇕ Ligningen løses for r_x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑥} =0,1911384

Ifølge modellen skal fjederens længde øges med 19,11 % (afrundet til 2 decimaler) for at svingningstiden øges med 30 %.