Stx Matematik B 31. maj 2012 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk 2stx121-MAT/B-

Delprøven uden hjælpemidler Stx matematik B 31. maj

2012

Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling

stx/hf B, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Bemærk at formelsamlingen må ikke medbringes til selve prøven uden hjælpemid-ler.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 1 (Hvilken graf hører til hvilken funktion?)

Graferne og funktionerne kan parres ved at se på hældningen eller skæringen med anden-aksen. Én af delene er nok, da funktionerne passer 1-1 med graferne. Her vælges skæringen med andenaksen. Grafen for funktionen 𝑓 skærer andenaksen i 1 og må derfor være A.

Grafen for funktionen 𝑔 skærer andenaksen i 0 og må derfor være 𝐶. Grafen for h skærer andenaksen i 2. Grafen B er den eneste hvis skæring med andenaksen er større end 1.

Grafen for h er altså B.

Opgave 2 (Løsning af andengradsligning)

Først bestemmes diskriminanten (jf. formel 39).

𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐 = 8^{2} − 4 · 1 · 15 = 64 − 60 = 4

Diskriminanten er altså 4.

Da 𝑑 = 4 > 0 har andengradsligningen to løsninger. Løsningerne bestemmes (jf. formel

39)

𝑥 = = = = −4 ± 1

−𝑏 ± 𝑑 −8 ± 4 −8 ± 2

√ √

2𝑎 2 · 1 2
Løsningsmængden til ligningen er altså 𝐿 = {−5, −3}.

Opgave 3 (Trekantsberegninger)

Længden |AB| bestemmes ved hjælp af Pythagoras’ læresætning (jf. formel 21) da trekant AB𝐷 er ret.

|AB|^{2} = |A𝐷|^{2} + |B𝐷|^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100

Da |AB| er en længde må |AB| > 0 så

|AB| = |AB|^{2} = 100 = 10

√
√

Længden fås altså til

|AB| = 10

For at bestemme arealet af trekant AB𝐶 bestemmes først grundlinien A𝐶. Da om-kredsen af trekant AB𝐶 kendt kan |𝐷𝐶| let bestemmes.

|𝐷𝐶| = 30 − |AB| − |B𝐶| − |A𝐷| = 30 − 10 − 7, 5 −8 = 4, 5

1

Side 2

Studiekompasset.dk 2stx121-MAT/B-

Endelig bestemmes arealet (jf. formel 29)

    1       1
T =  h · 𝑔 = · 6 · (8 + 4, 5) = 37, 5
    2       2

Arealet af trekant AB𝐶 er altså 37, 5.

Opgave 4 (Eksponentiel udvikling)

Tabellen udfyldes.

x 0 3 6 9 f(x) 7 14 28 56

Opgave 5 (Differentiering og tangent)

Først bestemmes 𝑓^{′}.

𝑓^{′} (𝑥) = (2 · 𝑒^{𝑥} + 1)^{′}

(jf. formel 72)

= (2 · 𝑒^{𝑥}))^{′} + (1)^{′}

(jf. formel 71)

= 2 · (𝑒^{𝑥})^{′} + 0

(jf. formel 75)

= 2 · 𝑒^{𝑥}

Den første afledede af 𝑓 er altså

𝑓^{′} (𝑥) = 2 · 𝑒^{𝑥}

For at bestemme tangenten bestemmes først 𝑓 (0).

𝑓(0) = 2 · 𝑒^{0} + 1 = 3

Nu bestemmes 𝑓^{′} (0).
𝑓^{′} (0) = 2 · 𝑒^{0} = 2

Endelig kan tangenten bestemmes ved hjælp af (jf. formel 70)

𝑦 = 𝑓^{′} (𝑥_{0})(𝑥 − 𝑥_{0}) + 𝑓(𝑥_{0})

For punktet (0, 𝑓 (0)) giver det

𝑦 = 2(𝑥 − 0) + 3 = 2𝑥 + 3

Tangenten til grafen for 𝑓 i punktet P (0, 𝑓 (0)) er altså

𝑦 = 2𝑥 + 3

2

Side 3

Studiekompasset.dk 2stx121-MAT/B-

Opgave 6 (Bestemmelse af stamfunktion)

Kald den ønskede stamfunktion F . Det vides da at for et passende tal 𝑐 gælder

F (𝑥) = 2𝑥^{2} + 3𝑥 + 𝑐

Da grafen for F går gennem punktet P (1, 10) løses ligningen F (1) = 10 for 𝑐.

F (1) = 10

⇕

2 · 1^{2} + 3 · 1 + 𝑐 = 10

⇕

5 + 𝑐 = 10

⇕

𝑐 = 5

Den stamfunktion til 𝑓 hvis graf går gennem punktet P (1, 10) er altså F_{1}.

3