Marie Miljø - Matematikprojekt om miljøskibet "Marie Miljø" på HTX

Side 1

1.Y

Miljøskibet ”Marie Miljø”

Matematik rapport

HTX 1. år

Side 2

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

2

Indholdsfortegnelse

Problemformulering .......................................................................................................................................... 3 Teori ................................................................................................................................................................... 4 En vektor: ................................................................................................................................................... 4 Længden af en vektor ................................................................................................................................ 4

+ og - med vektorer ................................................................................................................................... 4

Vinkler imellem 2 vektorer ........................................................................................................................ 5 CAS programmer ............................................................................................................................................... 5 Opgavebesvarelse.............................................................................................................................................. 6 Opgave 1. ................................................................................................................................................... 6 Opgave 2. ................................................................................................................................................... 6 Opgave 3. ................................................................................................................................................... 7 Opgave 4. ................................................................................................................................................... 9 Opgave 5. T1 ............................................................................................................................................ 10 Opgave 5. T2 ............................................................................................................................................ 12 Opgave 5. T3 ............................................................................................................................................ 13 Opgave 5. T4 ............................................................................................................................................ 14

Opgave 5. T_{Olie}.......................................................................................................................................... 16

Opgave 5. Overflødig vektor .................................................................................................................... 16 Opgave 5. Det samlede resultat .............................................................................................................. 17 Konklusion ....................................................................................................................................................... 17

Side 3

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

3

Problemformulering

Miljøskibet ”Marie Miljø” er på en opgave der skal løse miljøproblemer i de danske farvande. De opgaver miljøskibet kommer ud for bliver så bearbejdet af nogen studerende fra Bornholm. De opgaver de studerende fra Bornholm skal løse er:

• Beregn sejlruters strækning

• Beregn vinkel mellem miljøskibet og et tankskib

• Find ud af om tankskibet kan have forsaget en olieforurening.

Kortet over det farvand Marie miljø befinder sig i er delt op i tern. Hvert tern gælder for 1 km. Så derfor kan vi lave Marie miljø og tankskibets sejlruter om til vektorer. Alle opgaverne bliver derfor løst med vektor regning.

Side 4

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

4

Teori

En vektor:

En vektor er en streg i et koordinat system. Det der kende tegner en vektor er at den har en længde og en retning.

En vektor kan sættes vor som helst i et koordinatsystem og rykkes rundt hvis ikke andet er oplyst. En vektor tegnes som en pil i et koordinat system for at indikere retning og skrives [𝑎⃗]. En vektor består også af et vektor koordinat sæt ( 𝑥,𝑦) 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 () Hvor at x længden af x aksen, og y længden på y aksen.

𝑥 𝑦

Når man skriver en vektor starter man altid fra punktet C og op til A for at indikere retning. Så man tæller altid fra enden af en vektor til spidsen af en vektor.

Længden af en vektor

For at finde længden af en vektor skal man ha fat i

Pythagoras 𝑎^{2} =𝑏^{2} + 𝑐^{2}

Ved at betragte en vektor kan vi se at den danner en retvinklet trekant. Med vores viden om phytagoras kan vi derfor sætte x værdien i stedet for a og y værdien i stedet for b. da x og y er vores oplyste koordinater kan vi sige:

𝑥^{2} + 𝑦^{2} = | 𝑎 |^{2} ⟹ √ 𝑥^{2} + 𝑦^{2} = | 𝑎 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

+ og - med vektorer

Man kan også ligge en vektor til eller fra hinanden.

𝑎⃗+ 𝑏 =𝑐⃗⟹() + ()=()

⎯ ⃗

𝑥_{1} 𝑥_{2} 𝑥_{1} + 𝑥_{2}
𝑦_{1} 𝑦_{2} 𝑦_{1} + 𝑦_{2}

Man kan også minus en vektor dette foregår på næsten samme måde:

𝑎⃗− 𝑏 =𝑐⃗⟹() − ()=()

⎯ ⃗

𝑥_{1} 𝑥_{2} 𝑥_{1} − 𝑥_{2}
𝑦_{1} 𝑦_{2} 𝑦_{1} − 𝑦_{2}

x y

Side 5

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

5

Vinkler imellem 2 vektorer

Ud fra vores linje før ser vi at: 𝑎_{1} ∗ 𝑏_{1} + 𝑎_{2} ∗ 𝑏_{2} = | 𝑎 | ∗ | 𝑏 | ∗ cos𝑣

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

                            ⎯ ⃗
                           𝑎 ⎯ ⃗ ⋅𝑏
Ved at omskrive dette ser vi at: =cos𝑣
                          ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗
                          | 𝑎 | ∗ | 𝑏 |

derfor kan man altid finde en vinkel mellem 2 vektorer ved at bruge formlen

cos^{−1} ()=𝑉°

𝑎⃗⋅ 𝑏

⎯ ⃗

| 𝑎 | ∗ | 𝑏 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

CAS programmer

GeoGebra

Side 6

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

6

Opgavebesvarelse

Opgave 1.

Vi skal beregne strækningen fra punkt A til B.

𝐴𝐵 =()⟹𝐴𝐵 = √ 𝑥^{2} + 𝑦^{2}

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ 𝑥 𝑦

𝐴𝐵 =()⟹𝐴𝐵 = 9 + 13^{2} =15,8 𝑘𝑚

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

9

13

√^{2}

Opgave 2.

Den samme tur skal nu runde Agersø og Omø. Vi skal nu finde den korteste rute.

1.=() 2.=() 3.=() 4.=()

8 4 6 10

13 5 1 7

1.= 8 + 13^{2} =15,26

√^{2}

2.= 4 + 5^{2} =6,4

√^{2}

3.= 6 + 1^{2} =6,08

√^{2}

4.= 10^{2} + 7^{2} =12,2

√

1.+2.+3.+4.=39,94

4.

3.

1.

2.

Figur 1. Den korteste rute rundt om øerne.

Side 7

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

7

Opgave 3.

Marie miljø sætter nu kursen mod en olieforurening fra position B. vi skal nu beregne hvor lang tid det vil tage for Marie miljø at komme op til olieforureningen.

Vi får at vide der er en sydøstlig vind på 1 m/s.

𝐴𝑓𝑑𝑟𝑖𝑓𝑡𝑠 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟=𝐵 =(); | 𝐵 | =2 𝑘𝑛𝑜𝑏.

⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

√ 2
− √ 2

𝑆𝑒𝑗𝑙𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟=𝐴

⃗

𝐴 =()= (); | 𝐴 | =10 𝑘𝑛𝑜𝑏.

⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝑎_{1} 𝑎_{1}
𝑎_{2}
± √ 100 − 𝑎_{1}^{2}

| 𝐴^{2} | =10^{2} =𝑎_{1}^{2} + 𝑎_{2}^{2} ⟹𝑎_{2} =± √ 10^{2} + 𝑎_{1}^{2}

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

I) 𝑉    =𝑘∗ 𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗
              0

⎯ ⃗

II) 𝑉 =𝐴 + 𝐵

⎯ ⃗ ⃗ ⎯ ⃗

I+II) 𝑘 ∗ 𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ =𝐴 + 𝐵
          0

⃗ ⎯ ⃗

()= () + ()

−14 √ 2

26

𝑎_{1}
± √ 100 − 𝑎_{1}^{2}

− √ 2

I) −14𝑘=𝑎 + √ 2⟹𝑎 =− ( 14𝑘 + √ 2)

1 1

II) 26𝑘=± √ 100 − 𝑎_{1}^{2} − √ 2

I+II) 26𝑘=± √ 100 − (− ( 14𝑘 + √ 2))^{2} − √ 2

(26𝑘 + √ 2)^{2} = ( ± 100 − (14𝑘 + √ 2)^{2});100 − ( 14𝑘 + √ 2) ≥0 ⟹

√

2

676𝑘^{2} + 52 √ 2 ∗ 𝑘+ 2=100 − ( 196𝑘^{2} + 28 √ 2 ∗ 𝑘+ 2) ⟹

676𝑘^{2} + 52 √ 2 ∗ 𝑘+ 2=100 − 196𝑘^{2} − 28 √ 2 ∗ 𝑘− 2

872𝑘^{2} + 80 √ 2 ∗ 𝑘− 96=0

Side 8

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

8

𝑘=

−𝑏 ± √𝑏^{2} − 4 ∗ 𝑎 ∗𝑐

2 ∗ 𝑎

𝑘=

−80 √ 2 ± ( 80 √ 2)^{2} − 4 ∗ 872 ∗ (−96)

√

2 ∗ 872

𝑘= = {

−113,1 ± 589,6

1744

−113,1 + 589,6

1744

=0,273
−113,1 − 589,6

1744

=−0,403

Vi smider det negative tal væk på grund af så ville vi sejle den forkerte vej.

𝑘=0,273

𝑉 =𝑘∗ 𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗_{0}

⎯ ⃗

𝑉 =0,273 {

⎯ ⃗

∗ −14=−3,82
∗ 26=7,10

𝑉 =()

⎯ ⃗

−3,82

7,10

| 𝑉 | = √ ( −3,82)^{2} + ( 7,10)^{2} =8,06 𝑘𝑛𝑜𝑏

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

1 𝑘𝑛𝑜𝑏=0,514 ⁄

𝑚 𝑠

8,06 ∗ 0,514=4,14 ⁄

𝑚 𝑠

𝑆=𝑉∗ 𝑡

𝑆= √ (−14)^{2} + (26)^{2} =29,5 𝑘𝑚

29,5 ∗ 1000=29500 𝑚

𝑡=

𝑠

𝑉

𝑡= =7126 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟

29500 𝑚

4,14 ⁄ 𝑚 𝑠

7126

60

=119=1 𝑡𝑖𝑚𝑒 59 𝑚𝑖𝑛.

Side 9

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

9

Opgave 4.

Vi skal nu beregne vinklen mellem tankskibets sejlrute og Marie Miljøs.

cos^{−1} ()=𝑉°⟹cos ()=178,26°

𝑎⃗⋅ 𝑏 ( 4 ∗ −14) + ( −8 ∗ 26)

⎯ ⃗

| 𝑎 | ∗ | 𝑏 | √ 4^{2} + ( −8)^{2} ∗ √ ( −14)^{2} + 26^{2}

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−1

Figur 2. Eftervisning lavet i GeoGebra

Side 10

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

10

Opgave 5. T1

I denne opgave skal vi finde ud af om det egentlig er tankskibet der har forsaget olie forureningen tæt på tankskibets sejlrute. For at løse opgaven skal vi beregne tankskibet og oliepølens samlede tid for at se om de var det samme sted samme tid.

Tankskibets rute er delt op i 4 vektorer.

Vi får at vide der er en sydøstlig vind på 1 m/s.

𝐴𝑓𝑑𝑟𝑖𝑓𝑡𝑠 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟=𝐵 =(); | 𝐵 | =2 𝑘𝑛𝑜𝑏.

⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

√ 2
− √ 2

𝑆𝑒𝑗𝑙𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟=𝐴

⃗

𝐴_{1} =()= (); | 𝐴_{1} | =10 𝑘𝑛𝑜𝑏.

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝑎_{1} 𝑎_{1}
𝑎_{2}
± √ 100 − 𝑎_{1}^{2}

| 𝐴_{1}^{2} | =10^{2} =𝑎_{1}^{2} + 𝑎_{2}^{2} ⟹𝑎_{2} =± √ 10^{2} + 𝑎_{1}^{2}

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

1. 𝑉  =𝑘∗ 𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗
     1      1

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

2. 𝑉_{1} =𝐴 + 𝐵

⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⃗ ⎯ ⃗

1.+2. 𝑘 ∗ 𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗_{1} =𝐴 + 𝐵

⃗ ⎯ ⃗

()= () + ()

−4𝑘 √ 2

8𝑘

𝑎_{1}
± √ 100− 𝑎_{1}^{2}

− √ 2

1. −4𝑘=𝑎_{1} + √ 2⟹𝑎 =−4𝑘 − √ 2

1

2. 8𝑘=± √ 144 − 𝑎_{1}^{2} − √ 2

1.+2. 8𝑘=± 144 − ( −4𝑘− √ 2)^{2} − √ 2⟹ √ 2 − 8𝑘= 144 − (−4𝑘 − √ 2)^{2}

√ √

(8𝑘 − √ 2)^{2} = ( ± 144 − (−4𝑘 − √ 2)^{2});144 − ( −4𝑘− √ 2)^{2} ≥0 ⟹

√

2

64𝑘^{2} + 2 − 16 √ 2 ∗ 𝑘=144 − ( 16𝑘^{2} + 2 − 8 √ 2 ∗ 𝑘) ⟹

64𝑘^{2} + 2 − 16 √ 2 ∗ 𝑘=144 − 16𝑘^{2} − 2 + 8 √ 2 ∗ 𝑘

80𝑘^{2} − 24 √ 2 ∗ 𝑘− 140=0

Figur 3. Tankskibets 4 vektorer i ruten.

Side 11

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

11

𝑘=

−𝑏 ± √𝑏^{2} − 4 ∗ 𝑎 ∗𝑐

2 ∗ 𝑎

𝑘=

−24 √ 2 ± ( 24 √ 2)^{2} − 4 ∗ 80 ∗ (−140)

√

2 ∗ 80

𝑘= = {

33,9 ± 214,3

160

33,9 + 214,3

160

=1,551
33,9 − 214,3

160

=−1,127

Vi smider det negative tal væk på grund af så ville vi sejle den forkerte vej.

𝑘=1,551

𝑉 =𝑘∗ 𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗
 1      1

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝑉_{1} =1,551 {

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

∗ −4=−6,204
∗ 8=12,408

𝑉_{1} =()

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−6,204

12,408

| 𝑉_{1} | = √ ( −6,204)^{2} + ( 12,408)^{2} =13,87 𝑘𝑛𝑜𝑏

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

1 𝑘𝑛𝑜𝑏=0,514 ⁄

𝑚 𝑠

13,87 ∗ 0,514=7,13 ⁄

𝑚 𝑠

𝑆=𝑉∗ 𝑡

𝑆= √ (−4)^{2} + (8)^{2} =8,94 𝑘𝑚

8,94 ∗ 1000=8944,27 𝑚

𝑡=

𝑠

𝑉

𝑡= =1254,45 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟

8944,27 𝑚

7,13 ⁄ 𝑚 𝑠

Side 12

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

12

1254,45

60

=20,9 𝑚𝑖𝑛

Opgave 5. T2

1. 𝑉  =𝑘∗ 𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗
     2      2

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

2. 𝑉_{2} =𝐴 + 𝐵

⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⃗ ⎯ ⃗

1.+2. 𝑘 ∗ 𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ =𝐴 + 𝐵
          2

⃗ ⎯ ⃗

()= () + ()

0𝑘 √ 2

6𝑘

𝑎_{1}
± √ 100 − 𝑎_{1}^{2}

− √ 2

1. 0𝑘=𝑎_{1} + √ 2⟹𝑎 =0𝑘− √ 2

1

2. 6𝑘=± √ 144 − 𝑎_{1}^{2} − √ 2

1.+2. 6𝑘=± 144 − ( 0𝑘− √ 2)^{2} − √ 2⟹ √ 2 − 6𝑘= 144 − (0𝑘 − √ 2)^{2}

√ √

(6𝑘 − √ 2)^{2} = ( ± 144 − (0𝑘 − √ 2)^{2});144− ( 0𝑘− √ 2)^{2} ≥0 ⟹

√

2

36𝑘^{2} + 2 − 12 √ 2 ∗ 𝑘=144 − ( 0𝑘^{2} − 2 − 0 √ 2 ∗ 𝑘) ⟹

36𝑘^{2} + 2 − 12 √ 2 ∗ 𝑘=144 − 0𝑘^{2} + 2 + 0 √ 2 ∗ 𝑘

36𝑘^{2} − 12 √ 2 ∗ 𝑘− 144=0

𝑘= =

√ 2 ± √ 146

6

⎩

⎪ =−1,77

⎨ √ 2 − √ 146

⎪

⎧

√ 2 + √ 146

6

=2,24

6

Vi smider det negative tal væk på grund af så ville vi sejle den forkerte vej.

𝑘=2,24

𝑉_{2} =2,24 {

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

∗ 0=0
∗ 6=13,44

𝑉_{2} =()

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−6,204

12,408

| 𝑉_{2} | = √ ( 0)^{2} + ( 13,44)^{2} =13,44 𝑘𝑛𝑜𝑏

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

1 𝑘𝑛𝑜𝑏=0,514 ⁄

𝑚 𝑠

13,44 ∗ 0,514=6,9 ⁄

𝑚 𝑠

Side 13

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

13

𝑆= √ (0)^{2} + (6)^{2} =6 𝑘𝑚

6 ∗ 1000=6000 𝑚

𝑡= =869,56 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟

6000 𝑚

6,9 ⁄ 𝑚 𝑠

869,56

60

=14,49 𝑚𝑖𝑛

Opgave 5. T3

1. 𝑉  =𝑘∗ 𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗
     3      3

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

2. 𝑉_{3} =𝐴 + 𝐵

⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⃗ ⎯ ⃗

1.+2. 𝑘 ∗ 𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ =𝐴 + 𝐵
          3

⃗ ⎯ ⃗

()= () + ()

−10𝑘 √ 2

15𝑘

𝑎_{1}
± √ 100− 𝑎_{1}^{2}

− √ 2

1. −10𝑘=𝑎_{1} + √ 2⟹𝑎 =−10𝑘 − √ 2

1

2. 15𝑘=± √ 144 − 𝑎_{1}^{2} − √ 2

1.+2. 15𝑘=± 144− ( −10𝑘− √ 2)^{2} − √ 2⟹ √ 2 − 15𝑘= 144 − (−10𝑘 − √ 2)^{2}

√ √

(15𝑘 − √ 2)^{2} = ( ± 144 − (−10𝑘 − √ 2)^{2});144− ( −10𝑘− √ 2)^{2} ≥0 ⟹

√

2

225𝑘^{2} + 2 − 30 √ 2 ∗ 𝑘=144 − ( 100𝑘^{2} + 2 − 20 √ 2 ∗ 𝑘) ⟹

225𝑘^{2} + 2 − 30 √ 2 ∗ 𝑘=144 − 100𝑘^{2} − 2 + 20 √ 2 ∗ 𝑘

325𝑘^{2} − 50 √ 2 ∗ 𝑘− 140=0

𝑘= =

5 √ 2 ± √ 1870

65

⎩

⎪ =−0,56

⎨ 5 √ 2 − √ 1870

⎪

⎧

5 √ 2 + √ 1870

65

=0,77

65

Vi smider det negative tal væk på grund af så ville vi sejle den forkerte vej.

Side 14

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

14

𝑘=0,77

𝑉_{3} =0,77 {

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

∗ −10=−7,77
∗ 15=11,55

𝑉_{3} =()

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−7,77

11,55

| 𝑉_{3} | = √ ( −7,77)^{2} + ( 11,55)^{2} =13,92 𝑘𝑛𝑜𝑏

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

1 𝑘𝑛𝑜𝑏=0,514 ⁄

𝑚 𝑠

13,92 ∗ 0,514=7,15 ⁄

𝑚 𝑠

𝑆= √ (−10)^{2} + (15)^{2} =18 𝑘𝑚

18 ∗ 1000=18000 𝑚

𝑡= =2517,48 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟

18000 𝑚

7,15 ⁄ 𝑚 𝑠

2517,48

60

=41,95 𝑚𝑖𝑛

Opgave 5. T4

3. 𝑉  =𝑘∗ 𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗
     4      4

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

4. 𝑉_{4} =𝐴 + 𝐵

⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⃗ ⎯ ⃗

1.+2. 𝑘 ∗ 𝑟 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ =𝐴 + 𝐵
          4

⃗ ⎯ ⃗

()= () + ()

−6𝑘 √ 2

14𝑘

𝑎_{1}
± √ 100− 𝑎_{1}^{2}

− √ 2

3. −6𝑘=𝑎_{1} + √ 2⟹𝑎 =−6𝑘 − √ 2

1

4. 14𝑘=± √ 144 − 𝑎_{1}^{2} − √ 2

1.+2. 14𝑘=± 144− ( −6𝑘− √ 2)^{2} − √ 2⟹ √ 2 − 14𝑘= 144 − (−6𝑘 − √ 2)^{2}

√ √

(14𝑘 − √ 2)^{2} = ( ± 144 − (−6𝑘 − √ 2)^{2});144 − ( −6𝑘− √ 2)^{2} ≥0 ⟹

√

2

Side 15

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

15

192𝑘^{2} + 2 − 28 √ 2 ∗ 𝑘=144 − ( 36𝑘^{2} − 2 − 12 √ 2 ∗ 𝑘) ⟹

192𝑘^{2} + 2 − 28 √ 2 ∗ 𝑘=144 − 36𝑘^{2} + 2 + 12 √ 2 ∗ 𝑘

160𝑘^{2} + 16 √ 2 ∗ 𝑘− 144=0

𝑘= =

− √ 2 ± √ 362

20

⎩

⎪ =−1,02

⎨ − √ 2 − √ 362

⎪

⎧

− √ 2 + √ 362

20

=0,88

20

Vi smider det negative tal væk på grund af så ville vi sejle den forkerte vej.

𝑘=0,88

𝑉_{4} =0,88 {

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

∗ −6=−5,28
∗ 14=12,32

𝑉_{4} =()

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−5,28

12,32

| 𝑉_{4} | = √ ( −5,28)^{2} + ( 12,32)^{2} =13,4 𝑘𝑛𝑜𝑏

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

1 𝑘𝑛𝑜𝑏=0,514 ⁄

𝑚 𝑠

13,4 ∗ 0,514=6,88 ⁄

𝑚 𝑠

𝑆= √ (−5,28)^{2} + (12,32)^{2} =15,23 𝑘𝑚

15,23 ∗ 1000=15231,54 𝑚

𝑡= =2213,88 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟

15231,54 𝑚

6,88 ⁄ 𝑚 𝑠

2213,88

60

=36,89 𝑚𝑖𝑛

Side 16

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

16

Opgave 5. T

Olie

𝑆= √ (−4)^{2} + (4)^{2} =5,65 𝑘𝑚

5,65 ∗ 1000=5656,85 𝑚

Vi dividere med 1 m/s. på grund af afdriften er på 1 m/s.

𝑡= =5656,85 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟

5656,85 𝑚

1 ⁄ 𝑚 𝑠

5656,85

60

=94,28 𝑚𝑖𝑛

Opgave 5. Overflødig vektor

På grund af at oliepølens vektor ikke ender samme sted som vektor T4, skal vi først trække det stykke af T4 fra som er overflødigt.

𝑟_{𝑂𝑣𝑒𝑟𝑓𝑙ø𝑑𝑖𝑔} =()

−1

2

𝑆= √ (−1)^{2} + (2)^{2} =1,73 𝑘𝑚 overflødig

1,73 ∗ 1000=1732 𝑚

𝑡= =251,74 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟

1732 𝑚

6,88 ⁄ 𝑚 𝑠

251,74

60

=4,19 𝑚𝑖𝑛

Så skal vi bare trække den overflødige stræknings

Tid fra T4’s tid.

4,19 𝑚𝑖𝑛 − 36,89 𝑚𝑖𝑛=32,7 𝑚𝑖𝑛

Vi kan nu se at T4’s tid nu bliver 32,7min. der

Hvor oliepølens vektor ender.

Figur 4. Oliepølens vektor/rute og den overflødige vektor fra T4.

Side 17

Matematik rapport –

Miljøskibet ”Marie Miljø” 9. april 2010

17

Opgave 5. Det samlede resultat

Vi ligger nu Tankskibets rute (T1, T2, T3, T4) sammen for at få en samlet tid på hele ruten. Vi skal lige huske at T4 nu har fået en ny tid på 32,7 min.

20,9 + 14,49 + 41,95+ 32,7=110,04 𝑚𝑖𝑛

For at se om det var tankskibet der forsagede olieforureningen kan vi trække de to tider fra hinanden og se om de var på det samme sted samme tid.

110,04 − 94,28=15,76 𝑚𝑖𝑛

Som vi kan se kan det ikke have været tankskibet, da tankskibet befandt sig på den gældende position ca. et kvarter før oliepølen. Så Marie miljø kan ikke give tankskibet skylden denne gang.

Konklusion

Ud fra mine beregninger, kan jeg konkludere at mine resultater ca. er rigtige. Jeg har fundet strækningen af vektorer, udregnet vinklen mellem to vektorer og beregnet et skibs tid og hastighed for at finde ud af om tankskibet forsagede en olieforurening. For at se om det var tankskibet der forsagede olieforureningen skulle jeg trække oliepølen og tankskibets tider fra hinanden og se om de var på det samme sted samme tid. Jeg fandt ud af, at det ikke kan have været tankskibet, da tankskibet befandt sig på den gældende position ca. et kvarter før oliepølen. Dette forløb gav mig et meget større overblik og forståelse af vektorer, man kan godt sige at denne rapport var det sidste prik over i’et i vores forløb med vektorer.