Matematik | Projekt | Skulptur

Side 1

1

Matematik projekt 3 - Skulptur

Indledning

I dette projekt skal jeg finde mål til en bestemt skulptur. Denne skulptur skal indeholde en skæv pyramide, en trekantet plade og en kugle som står på denne. Jeg vil desuden finde analytiske udtryk for linjer, plan og kugle, skæringspunkter mellen plan (trekanten) og stængerne på den skævepyramide, bestemme mindst 2 vinkler, mindst en afstand og tilsidst lave en 3D tegning af denne skulptur.

Skulpturen skal ligne denne:

Teori

Jeg skal opskrive følgende teori:

1. Parameterfremstilling for linje

2. Ligning for plan, herunder krydsprodukt

3. Skæring mellem linje og plan

4. Ligning for kugle

5. Vinkler i rummet

6. Afstand mellem 2 punkter

7. Afstand mellem punkt og plan

1. Parameterfremstilling for linje

Side 2

2

Når vi ser på linjer i rummet har de ikke en ligning som vi ellers kender det, de har derimod en såkaldt parameterfremstilling.

Hvis vi har som en linje i rummet finder vi et fast punkt på linjen som vi kalder.

m

P_{0}

Derudover har vi også en retningsvektor r

, som ligger parallel med linjen m.

Nu ser vi så på et vilkårligt punkt på linjen som vi kalder

P

, dette punkt bliver kaldt det løbende punkt. Vi ved at vektoren

P_{0} ⋅ P P_{0}

er parallel med linjen m, medmindre

P og falder sammen, eftersom vi derved kun ville have et punkt og altså ikke en linje. Så udfra dette kan vi altså også konkludere at er parallel med retningsvektoren og derved findes der et reelt tal t.

P_{0} ⋅ P

Så vi ved altså at:

P_{0} ⋅ P = t ⋅ r

Hjælpesætning

På den viste figur er t negativ, t er lig med nul hvis og falder sammen.

P

P_{0}

Til hvert punkt på linjen har vi en tilsvarende værdi af t. Omvendt har vi også en værdi af t for hvert punkt. Dette kan vi opskrive således ved hjælp af min hjælpesætning. Så nu indfører vi koordinaterne:

Side 3

3

P_{0} = x_{0} y_{0} z_{0}

P =

x y z

r = r_{2}

r_{1}

r_{3}

Så nu kan vi så ved hjælp af hjælpesætningen opskrive dette så det står som det skal:

x - x_{0} r_{1}
y - y_{0} = t r
z - z_{0} r_{3}

⋅_{2}

eller x

y ⋅_{2}

z

= y_{0} + t r

x_{0} r_{1}

z_{0} r_{3}

eller

x = x_{0} + t ⋅ r_{1}
y = y_{0} + t ⋅ r_{2}
z = z_{0} + t ⋅ r_{3}

Disse er alle måder at opskrive parameterfremstillingen.

x_{0} y_{0} z_{0}

er et punkt på vores linje.

r_{1} r_{2} r_{3}

er en retningsvektor for linjen.

2. Ligning for plan, herunder krydsprodukt

Nu skal vi se på hvordan man kan fremstille en plan i rummet ved hjælp af en ligning i første grad i x,y og z. Hertil angiver vi et fast punkt som kaldes

P_{0}

og en normal vektor eller også

Side 4

4 kendte som en egentlig vektor n

. Denne afsættes med begyndelses punkt i

P_{0}

. Desuden står den vinkelret på alle vektorerne i planen.

En plan består af alle de punkter hvor

P_{0} ⋅ P

er vinkelret på n og derudover også af vores fastsatte punkt. Det gælder at alle vektorerne skal stå vinkelret på normalvektoreren, altså:

P_{0}

P_{0} ⋅ P ⊥ n P_{0} ⋅ Q ⊥ n P_{0} ⋅ R ⊥ n

Dette fremgår også af tegningen herunder:

Vi kan udtrykke det overstående således:

"En plan gennem punktet med normalvektoren består af alle de punkter P, for hvilke

P_{0}

n

P_{0} ⋅ P ⋅ n = 0

"

Nu kan vi opstille en ligning for planen ved at indfører koordinaterne: α

P_{0} = x_{0} y_{0} z_{0}

vores faste punkt i planen

P =

x y z vores løbende punkt i planen

Side 5

5

n =

a b c vores normalvektor til planen

Og hvis P så er et punkt i planen gælder det at:

P_{0} ⋅ P ⊥ n ⇔ P_{0} ⋅ P ⋅ n = 0

Eftersom vi nu kender koordinaterne til

P_{0}

og

P kan vi opskrive det således:

x - x_{0}
y - y_{0} = 0
z - z_{0}

⋅ b a c

Hvis dette omskrives komme den til at se ud som følgende:

a ⎛ x - x_{0} ⎞ + b ⎛ y - y_{0} ⎞ + c ⎛ z - z_{0} ⎞ = 0

⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dette er ligningen for en plan som vi kender den.

Krydsprodukt

Når man finder krydsproduktet/ vektorproduktet finder man en vektor som er vinkelret på to

allerede kendte vektorer.

n=a x b ⇔ n ⊥ a ^n ⊥ b

Det er lettest at vise dette ved et eksempel da der ellers ville være meget forvirring eftersom der

Side 6

6 ville være mange bogstaver og tal.

Eks.

Jeg starter med at angive to vektorer:

a :=

2 | 2

-1 = -1

3 | 3

b :=

-4 -4

5 = 5

0 | 0

Nu finder jeg så krydsproduktet, dette gøres ved at alle mulige talkombinationer for vektor a foroven og alle mulige talkombinationer for vektor b forneden, som vist her:

a ⋅ x ⋅ b =,,

⎛ -1 3 3 2 2 -1 ⎞

⎜ | ⎟

⎜ 5 0 0 -4 -4 5 ⎟

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

Da vi har TI - InterActive, som er et super smart program, kan vi bare skrive crossP og opskrive de to vektorer med parenteser omkring herfter, som vist her: crossP a, b

⎛ ⎞

⎜⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠

= -12

-15

6

3. Skæring mellem linje og plan

Hvis vi har en linje, som ikke er parallel med en plan, skærer linjen planen i præcis et punkt. Jeg vil nu vise hvordan man bestemmer koordinaterne ud fra planens ligning of linjens parameterfremstilling. Linjen kalder jeg og planen.

m α

Jeg viser det ud fra følgende eksempel:

α:9 ⋅ x - 4 ⋅ y + 12 ⋅ z - 36 = 0

m:

x = 4 + 4 ⋅ t
y = 2 - 2 ⋅ t
z = 3 + t

Nu indsætter jeg linjens parameterfremstilling i planens ligning, og isolerer med hensyn til t:

Side 7

7

solve ⎛ 9 ⋅ ⎛ 4 + 4 ⋅ t ⎞ - 4 ⋅ ⎛ 2 - 2 ⋅ t ⎞ + 12 ⋅ ⎛ 3 + t ⎞ - 36 = 0, t ⎞ = t =

⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

-1

2

t := right ⎛ ans ⎞ =

⎝ ⎠

-1

2

Denne værdi hører til skæringspunktet. Hvis vi sagde at parameterfremstillingen beskrev en partikels bevægelse, vil denne partikel passere planen i.

t =

-1

2

Får at finde skæringspunktets koordinater skal vi indsætte den netop fundne værdi i parameterfremstillingen:

x y z 4 - 2 2 + 1 3 - 0.5 = x = 2 y = 3 z = 2.5

=

Nu har vi så fundet skæringspunktet mellem planen og linjen.

Hvis vi skal finde de tilsvarende skæringspunkter mellem plan og x-,y-,z-aksen skal vi sætte henholdsvis x, y og z lig med nul.

4. Ligning for kugle

Kuglens overflade i rummet består af alle de punkt, som har en fast afstand r, eller også kaldet radius, fra centrum. Jeg vil nu finde en ligning for kuglens overflade. I denne ligning skal x, y og

Side 8

8 z være netop opfyldt for koordinaterne til præcis de punkter, der udgør kugleoverfladen.

Nu beregner jeg koordinaterne til centrum C med (a,b,c) og dette gøres ved også at have et vilkårligt punkt (x,y,z) . Dette punkt er det løbende punkt.

P

             2  2
CP = r ⇔  CP = r

Vi kan nu ud fra afstands formlen bestemme dette(afstandsformlen bliver beskrevet senere):

 2       2        2       2
r = ⎛ x - a ⎞ + ⎛ y - b ⎞ + ⎛ z - c ⎞

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dette er kuglens ligning. Som vi kan se ligner den cirklens ligning utrolig meget, som vi kender fra det plane geometri. Vi kan desuden bestemme at de punkter som ligger indfor eller på kuglens overflade har koordinater som passer til denne ulighed:

⎛ x - a ⎞^{2} + ⎛ y - b ⎞^{2} + ⎛ z - c ⎞^{2} ≤ r^{2}

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Derudover ved vi også at punkter der ligger udenfor uligheden har uligheden:

⎛ x - a ⎞^{2} + ⎛ y - b ⎞^{2} + ⎛ z - c ⎞^{2} > r^{2}

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5. Vinkler i rummet

Jeg vil starte med at forklare om vinkler mellem to vektorer.

Hvis vi har to vektorer i rummet, a b og

, som har sammen begyndelsespunkt vil disse danne en vinkel mellem hinanden. For disse vinkler gælder det at.

0^{o} ≤ ⎛ v ≤ 180 ⎞^{o}

⎜⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠

Dette giver denne sætning:

cos ⎛ v ⎞ =

⎝ ⎠ a ⋅ b a ⋅ b

Dette kan så omskrives til:

v = arccos

⎛ | ⎞
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

a ⋅ b a ⋅ b

Hvis vi derimod har to vektorer der skærer hinanden gælder dette:

Side 9

9

Vinkel mellem 2 linjer der skærer hinanden

l := = y_{0} + t r

x

y ⋅_{1}

z

x_{0}

z_{0}

m := = y_{0} + t r

x

y ⋅_{2}

z

x_{0}

z_{0}

- Vektor r er en retningsvektor.

- T er parameter

- Og det sidste før lighedstegnet er punktet.

cos ⎛ v ⎞ =

⎝ ⎠

r_{1} ⋅ r_{2}

r_{1} ⋅ r_{2}

Jeg skal ikke umiddelbart bruge denne ligning, men jeg synes at den var god at have med alligevel.

Nu vil jeg så beskrive noget mere relevant, nemlig vinkel mellem linje og plan.

Hvis vi har en linje, som vi kalder m α og denne skærer en plan som kaldes vil linjen danne en vinkel med planen. Denne vinkel er vinklen mellem og projektionen af på, vinklen er m m α

m_{1}

den mindste mellem og en linje i, dette er vist på figuren nedenunder: m α

Side 10

10

Vinklen mellem linje og planen findes ved at bestemme vinklen mellem retningsvektoren for linjen og en normalvektor for planen. Afhængig af disse vektores orientering vil der fremkomme endten en stump (eller ret) eller spids vinkel.

Disse to muligheder er vist nedenunder:

Som det sidste i dette afsnit vil jeg forklare hvordan man udregner vinklen mellem to planer.

For at gøre dette bruges denne sætning:

Side 11

11

cos ⎛ v ⎞ =

⎝ ⎠

dotP n, n_{1}

⎛ ⎞

⎜⎜^{1} ⎝ ⎟⎟ ⎠
n_{1} ⋅ n_{2}

Denne kan omskrives til:

v = arccos

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

⎜ ⎜⎜^{1} ⎝ ⎟⎟ ⎠ ⎟

⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

dotP n, n_{1}

n_{1} ⋅ n_{2}

6. Afstand mellem 2 punkter

For at finde afstand mellem to punkter_{1}_{2}_{3} og skal man finde

A:= a a a B := b_{1} b_{2} b_{3}

længden af vektoren mellem de to punkter

AB

. Så bruger man bare afstandsformlen for vektorer i rummet:

AB = AB = ⎛ b -a_{1} ⎞ ®+ ⎛ b -a_{2} ⎞ ®+ ⎛ b -a_{3} ⎞ ®

⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

⎝^{1} ⎠ ⎝^{2} ⎠ ⎝^{3} ⎠

7. Afstand mellem punkt og plan

Hvis punktet

P_{1} P_{1}

er et punkt i rummet og α en plan som ikke går gennem punktet kan vi finde den vinkelrette afstand mellem disse. Dermed er det altså punktets projektion på planen der skal findes. Planen er givet ved:

ax + by + cz + d

Vi kan nu bruges følgende formel:

⎛ P, ⎞ =

⎜⎜ ⎟⎟

⎝^{1} ⎠

α

a ⋅ x_{1} + b ⋅ y_{1} + c ⋅ z_{1} + d

a^{2} + b^{2} + c^{2}

Side 12

12

Jeg vil nu bevise formlen. Vi kender normalvektoren for den er

n =

a b c

. Vi ved desuden at linjen der går igennem er vinkelret på planen. Derved kan vi konkludere at linjen har som

P_{1}

n retningsvektor og derved har linjen følgende parameterfremstilling:

l= y_{1} +t* = l = b ⋅ t + y_{1}

x_{1} a ⋅ t + x_{1}

z_{1} c t + z_{1}

a b c

⋅

Skæringspunktet mellem planen og linjen kaldes

Q

. Disse koordinater findes ved at indsætte linjens parameterfremstilling i linjen for planen således:

a ⎜ ⎜ x +a*t ⎟ ⎟ +b ⎜ ⎜ y +b*t ⎟ ⎟ +c ⎜ ⎜ z +c*t ⎟ ⎟ +d=0 ⇔ ⎜ ⎜ a®+b®+c® ⎟ ⎟ t+ax_{1} +by_{1} +cz_{1} +d=0 ⇒ t_{0} =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ -ax_{1} -by_{1} -cz_{1} -d
⎜^{1} ⎜ ⎟ ⎟ ⎜^{1} ⎜ ⎟ ⎟ ⎜^{1} ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

a®+b®+c®

Nu kendes parameterværdien tilhørende.

t_{0}

Q

Herved kendes koordinaterne til og:

P_{1}

Q

P = x_{1} y_{1} z_{1}

Q= x_{1} +a ⎛ *t ⎞_{0} y_{1} +b*t_{0} z_{1} +c*t_{0}

⎝ ⎠

Afstanden mellem disse to findes nu ved hjælp af afstandsformlen mellem to punkter:

Side 13

13

QP_{1} ® = ⎛ x +a*t_{0} -x_{1} ⎞ ®+ ⎛ y +b*t_{0} -y_{1} ⎞ ®+ ⎛ z +c*t_{0} -z_{1} ⎞ ® = ⎛ a*t_{0} ⎞ ®+ ⎛ b*t_{0} ⎞ ®+ ⎛ c*t_{0} ⎞ ®

⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

⎝^{1} ⎠ ⎝^{1} ⎠ ⎝^{1} ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= t_{0} ® ⎛ a®+b®+c® ⎞

⎜⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠

Nu indsættes:

t_{0}

QP_{1} = * ⎜ ⎜ a®+b®+c® ⎟ ⎟ =

® ⎛ -a*x_{1} -b*y_{1} -c*z_{1} -d ⎞ ® ⎛ ⎞ ⎛ -a*x_{1} -b*y_{1} -c*z_{1} -d ⎞ ®

⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ a®+b®+c® ⎞ ® a®+b®+c®

⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

⎜ ⎜ ⎟ ⎟

Hvis kvadratroden så tages på begge sider findes den ønskede formel:

QP_{1} =dist ⎜ P, α ⎟ =

⎛ ⎞ a*x_{1} +b*y_{1} +c*z_{1} +d
⎜^{1} ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟ a®+b®+c®

⎝ ⎠

Resultater/ Udregninger

Jeg vil nu regne på selve opgaven. Undervejs vil jeg vise og forklare hvordan jeg har regnet mig frem til resultaterne. Desuden vil jeg lave en 3D tegning som laves undervejs, så jeg viser altså hvordan den er lavet trin for trin. Opgaven er delt op i forskellige trin:

1. Punkter

2. Første stang

3. Anden stang

4. Tredje stang

5. Planen

6. Kuglen

7. Skæring mellem stænger og plan

8. Længde af stænger

9. Længde af planens sider

10. Vinkel mellem stænger

11. Vinkel mellem planens sider

1. Punkter

Højden af pyramiden skal være 10 meter, af samme grund skal z-koordinaten i A også være 10.

Der er ingen andre krav for A og af den grund kan jeg altså selv bestemme x og y-koordinaten:

Side 14

14

A :=:: transpose ⎛ A ⎞

0

0 = 0 0 10

10

⎝ ⎠

Nu har jeg altså diffineret A. Så bestemmer jeg koordinaterne til de tre punkter, som stængerne kommer kommet til at stå i:

B :=:: transpose ⎛ B ⎞

5

0 = 5 0 0

0

⎝ ⎠

C :=:: transpose ⎛ C ⎞

0

0 = 0 0 0

0

⎝ ⎠

D :=:: transpose ⎛ D ⎞

0

7 = 0 7 0

0

⎝ ⎠

Disse punkter er selvvalgt, da der ikke var nogen krav til dem.

Nu finder jeg hjørne punkterne for planen, disse kalder jeg E, F og G:

E :=:: transpose ⎛ E ⎞

-3

9 = -3 9 3

3

⎝ ⎠

F :=:: transpose ⎛ F ⎞

12

-4 = 12 -4 4

4

⎝ ⎠

G :=:: transpose ⎛ G ⎞

0

-4 = 0 -4 5

5

⎝ ⎠

Det sidste punkt som skal findes er kuglens centrum:

O :=:: transpose ⎛ O ⎞

-2

9 = -2 9 6

6

⎝ ⎠

Jeg har selvfølgelig valgt at ligge kuglens centrum indefor planen.

Side 15

15

2. Første stang

Den første stang har sit udgangspunkt i B. Så hvis vi skal skrive det ordentlig skal det skrives således:

P_{0} = transpose ⎛ B ⎞ = P_{0} =

⎝ ⎠

5 0 0

Retningsvektoren fåes ved at trække A og B fra hinanden:

r_{AB}:= A - B =

-5

0

10

Nu kan parameterfremstillingen for linjen så opskrives:

Stang1 := + t

5 -5 5 - 5 ⋅ t

0 ⋅ 0 = 0

0 10 10 t

⋅

Vi kender den første del af parameterfremstillingen fra mit punkt B, t er parameteren og til sidst har vi retningsvektoren

Den første stang komme til at ligge således:

3. Anden stang

Anden stang findes ved samme princip som første, denne gang skal punkterne A og C bare benyttes til at udregne parameterfremstillingen.

Den anden stang har sit udgangspunkt i C. Så hvis vi skal skrive det ordentlig skal det skrives således:

Side 16

16

P_{0} = transpose ⎛ C ⎞ = P_{0} =

⎝ ⎠

0 0 0

Retningsvektoren fåes ved at trække A og C fra hinanden:

r_{AC}:= A - C =

0

0

10

Nu kan parameterfremstillingen for linjen så opskrives:

Stang2 := + t = 0

0 0 0

0 ⋅ 0

0 10 10 ⋅ t

Vi kender den første del af parameterfremstillingen fra mit punkt C, t er parameteren og til sidst har vi retningsvektoren

Den anden stang komme til at ligge således:

Denne stang ligger direkte på z-aksen og kan derfor ikke umiddelbart ses.

4. Tredje stang

Tredje stang findes ved hjælp af samme princip som de andre, denne gang skal punkterne A og D bare benyttes til at udregne parameterfremstillingen.

Den anden stang har sit udgangspunkt i D. Så hvis vi skal skrive det ordentlig skal det skrives således:

P_{0} = transpose ⎛ D ⎞ = P_{0} =

⎝ ⎠

0 7 0

Side 17

17

Retningsvektoren fåes ved at trække A og D fra hinanden:

r_{AD}:= A - D =

0

-7

10

Nu kan parameterfremstillingen for linjen så opskrives:

Stang3 := + t

0 0 0

7 ⋅ -7 = 7 - 7 ⋅ t

0 10 10 t

⋅

Vi kender den første del af parameterfremstillingen fra mit punkt D, t er parameteren og til sidst har vi retningsvektoren

Den tredje stang komme til at ligge således:

Nu er alle stængerne så fastlagt og indtegnet.

5. Planen

Det første jeg skal gøre er at finde normalvektoren. Dette vil jeg gøre ved at tage krydsproduktet til de to vektorer som er med til at danne planen og disse ligger også i samme punkt.

EF := F - E
= -13

15

1

Side 18

18

EG := G - E
= -13

3

2

Normalvektorer er så krydsproduktet mellem de to overstående vektorer:

n := crossP EF, EG

⎛ | ⎞
⎜⎜ | ⎟⎟
⎝ | ⎠

= -27

-13

-156

Nu kender jeg normalvektoren og skal nu bare indsææte denne i ligningen for planen:

Plan := n_{1, 1} ⋅ ⎛ x - E_{1, 1} ⎞ + n_{2, 1} ⋅ ⎛ y - E_{2, 1} ⎞ + n_{3, 1} ⋅ ⎛ z - E_{3, 1} ⎞ = 0

⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒ -13. ⋅ x - 27. ⋅ y - 156. ⋅ z + 672. = 0.

Nu kommer min figur til at se således ud:

6. Kuglen

Hvis kuglens ligning skal bestemmes skal vi bruge kuglens radius. Kuglen skal ligge på planen og kun tangere i et punkt. Derved kan jeg bruge afstandsformlen mellem punkt og plan:

r := = 5.14315 m

n_{1, 1} ⋅ O_{1, 1} + n_{2, 1} ⋅ O_{2, 1} + n_{3, 1} ⋅ O_{3, 1} + 336

n_{1, 1} + n_{2, 1} + n_{3, 1}

® ® ®

Side 19

19

Nu kender vi radius og centrum og kan derved bestemme kuglens ligning:

kugle := ⎛ x - O_{1, 1} ⎞^{2} + ⎛ y - O_{2, 1} ⎞^{2} + ⎛ z - O_{3, 1} ⎞^{2} = r^{2}

⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

    2        2         2
⇒  x + 4. ⋅ x + y - 18. ⋅ y + z - 12. ⋅ z + 121. = 26.452

Her kan man så se den endelige figur:

7. Skæring mellem stænger og plan

Nu skal jeg finde skæringspunktet mellem stængerne og planen. For at kunne gøre dette skal jeg kende t-værdien for stængerne. Dette gøres ved at indsætte parameterfremstillingen for linjerne i planens ligning, startende med første stang:

solve ⎛ plan, t ⎞ | x = stang1_{1, 1} and y = stang1_{2, 1} and z = stang1_{3, 1}

⎝ ⎠

⇒ t = .40602
t1 := right ⎛ ans ⎞ =.40602

⎝ ⎠

Nu kender jeg t-værdien og kan derved indsætte den i linjens parameterfremstilling:

skaeringspunkt_st ang1 := stang1 | t = t1 :: transpose ⎛ skaeringspunkt_stang1 ⎞

⎝ ⎠

= 602

Dette gøres også for de to andre stænger, her med anden stang:

solve ⎛ plan, t ⎞ | x = stang2_{1, 1} and y = stang2_{2, 1} and z = stang2_{3, 1}

⎝ ⎠

⇒ t = .430769
t2 := right ⎛ ans ⎞ =.430769

⎝ ⎠

Side 20

20

Nu kender jeg t-værdien og kan derved indsætte den i linjens parameterfremstilling:

skaeringspunkt_st ang2 := stang2 | t = t2 :: transpose ⎛ skaeringspunkt_stang2 ⎞

⎝ ⎠

=

Tilsidst gøres det med tredje stang:

solve ⎛ plan, t ⎞ | x = stang3_{1, 1} and y = stang3_{2, 1} and z = stang3_{3, 1}

⎝ ⎠

⇒ t = .352298
t3 := right ⎛ ans ⎞ =.352298

⎝ ⎠

Nu kender jeg t-værdien og kan derved indsætte den i linjens parameterfremstilling:

skaeringspunkt_st ang3 := stang3 | t = t3 :: transpose ⎛ skaeringspunkt_stang3 ⎞

⎝ ⎠

= 52298

Nu er alle skæringspunkterne mellem stænger og plan angivet.

8. Længde af stænger

For at finde længden af stængerne skal jeg bruge formlen for afstand mellem to punkter, jeg finder derved en vektor mellem de to punkter:

Første stang:

laengde_AB := ⎛ B - A_{1, 1} ⎞ ® + ⎛ B - A_{2, 1} ⎞ ® + ⎛ B - A_{3, 1} ⎞ ® = 11.1803

⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

⎝^{1, 1} ⎠ ⎝^{2, 1} ⎠ ⎝^{3, 1} ⎠

m

Anden stang:

laengde_AC := ⎛ C - A_{1, 1} ⎞ ® + ⎛ C - A_{2, 1} ⎞ ® + ⎛ C - A_{3, 1} ⎞ ® = 10.

⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

⎝^{1, 1} ⎠ ⎝^{2, 1} ⎠ ⎝^{3, 1} ⎠

m

Tredje stang:

laengde_AD := ⎛ D - A_{1, 1} ⎞ ® + ⎛ D - A_{2, 1} ⎞ ® + ⎛ D - A_{3, 1} ⎞ ® = 12.2066

⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

⎝^{1, 1} ⎠ ⎝^{2, 1} ⎠ ⎝^{3, 1} ⎠

m

9. Længde af planens sider

Nu skal jeg finde længden af planens sider, dette gøres på samme måde som overstående, altså ved at bruge afstandsformlen mellem to punkter:

Planens første side:

laengde_EF := ⎛ F - E_{1, 1} ⎞ ® + ⎛ F - E_{2, 1} ⎞ ® + ⎛ F - E_{3, 1} ⎞ ® = 19.8746

⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

⎝^{1, 1} ⎠ ⎝^{2, 1} ⎠ ⎝^{3, 1} ⎠

m

Planens anden side:

laengde_EG := ⎛ G - E_{1, 1} ⎞ ® + ⎛ G - E_{2, 1} ⎞ ® + ⎛ G - E_{3, 1} ⎞ ® = 13.4907

⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

⎝^{1, 1} ⎠ ⎝^{2, 1} ⎠ ⎝^{3, 1} ⎠

m

Planens tredje side:

Side 21

21

laengde_GF := ⎛ F - G_{1, 1} ⎞ ® + ⎛ F - G_{2, 1} ⎞ ® + ⎛ F - G_{3, 1} ⎞ ® = 12.0416

⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

⎝^{1, 1} ⎠ ⎝^{2, 1} ⎠ ⎝^{3, 1} ⎠

m

10. Vinkel mellem stænger

Nu vil jeg finde vinklen mellem stængerne som mødes i toppen, dette gøres ved at bruge formlen for vinklen mellem to vektorer:

Vinkel mellem AB og AC:

vinkel_A BAC := arccos = 26.5651

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

⎜ ⎜⎜^{AB} ⎝ ⎟⎟ ⎠ ⎟

⎜ ⎜ ⎟ ⎟ grader

⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

dotP r, r_{AC}

r_{AB} ⋅ r_{AC}

Vinkel mellem AB og AD:

vinkel_A BAC := arccos = 26.5651

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

⎜ ⎜⎜^{AB} ⎝ ⎟⎟ ⎠ ⎟

⎜ ⎜ ⎟ ⎟ grader

⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

dotP r, r_{AC}

r_{AB} ⋅ r_{AC}

Vinkel mellem AC og AD:

v_ACAD := arccos = 34.992

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

⎜ ⎜⎜^{AC} ⎝ ⎟⎟ ⎠ ⎟

⎜ ⎜ ⎟ ⎟ grader

⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

dotP r, r_{AD}

r_{AC} ⋅ r_{AD}

11. Vinkel mellem planens sider

Dette gøres på samme måde som overstående, altså skal jeg bruge formlen for vinklen mellem to vektorer for at finde vinklerne i planen, startende med vinkel E:

vinkel_E := arccos = 36.3318 grader

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

dotP EF, EG

⎜⎜ | ⎟⎟
⎝ | ⎠

EF ⋅ EG

Så udregner jeg vinkel F, men jeg skal først finde vektor GF:

GF := F - G
= 0

12

-1

vinkel_F := arccos = 41.5872 grader

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

dotP EF, GF

⎜⎜ | ⎟⎟
⎝ | ⎠

EF ⋅ GF

Tilsidst skal jeg finde vinkel G, dette gøre ved at trække de to vinkler fra 180 grader, som der er i en trekant:

Side 22

22

vinkel_G := 180 - vinkel_E - vinkel_F = 102.081

grader

Konklusion

Det er nu udregnet alle mål til skulpturen og den er klar til en mulig konstruktion. Man kan udfra figurene undervejs se at resultaterne passer og at alle krav er overholdt.