Matematik emneopgave - Priselasticitet

Side 1

Emneopgave
Priselasticitet

Matematik 2B

[navn fjernet], [navn fjernet] og [navn fjernet]

Side 2

[navn fjernet] Handelsskolen København NORD – Hillerød 11. marts 2010

[navn fjernet]

[navn fjernet]

Side 2 af 16

Indhold

Udledning af priselasticitet ................................................................................................................................ 2 Udledning af den retlinjede efterspørgselskurve: ............................................................................................. 4 Udled at priselasticiteten i et punkt på efterspørgselskurven er lig forholdet mellem linjestykket under punktet og linjestykket over punktet: ............................................................................................................... 4

Udled elasticiteten på efterspørgselskurven (hvor er efterspørgslen elastisk/uelastisk/neutralelastisk). ...... 6

Sammenhæng mellem efterspørgsel, samlet omsætning og grænseomsætning. ........................................... 6 Opgave 2 ............................................................................................................................................................ 7 Opgave 3 .......................................................................................................................................................... 13 Udledning af priselasticitet

Priselasticitet defineres som den relative mængdeændring divideret med den relative prisændring.

m p

Δ m Δ p

e_{p} = ÷

I praktisk økonomi er det den formel, man må bruge, da man jo (ofte) ikke kender efterspørgselskurven.

Matematisk kan vi nu prøve at arbejde med formlen.

0

10

20

30

40

50

60

0 50 60 mængde pris

C

O

B

D E

Retliniet efterspørgselskurve med negativ elasticitet

A(m,am+b)

Side 3

[navn fjernet] Handelsskolen København NORD – Hillerød 11. marts 2010

[navn fjernet]

[navn fjernet]

Side 3 af 16

Δ p m m

Δ m p 1 p

Δ m

Δ p

Δ p p m Δ x

Δ m 1 p −Δ+ xfxxf)()(

                                      1
lim Hvis   mnår      får vi 0        fe ==⋅→Δ lim Fordi . .
                              p
                      1

m p m Δ p Δ p m

Δ m Δ p m Δ m p Δ m p

Δ p

⎛ p ⎞

=⋅ ⋅

= 1 ⋅= =

Δ p Δ p

Δ m 1 Δ m

Δ p

Δ m

÷ = = ⋅ = =⋅

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ Δ m ⎞ selskurverefterspørg ALLEfor Gælder godt

EX

e_{p} = −=⋅ 49,7
− 97,0 63,9

1 70

p^{1} −= 970598,0)63,9(

                        63,91
p               ⋅−= 98623,010925,1)63,9(

                   x
xp         ⋅−= 98623,010925,1)(

xp ⋅⋅= 80)98623,0ln(98623,0)(

p^{1} 63,9

701

63,9 = x

)98623,0ln(

)875,0ln(

x ⋅=)98623,0ln()875,0ln(

=)98623,0ln()875,0ln(

        x
=  98623,0

80

70

       x
⋅= 98623,08070

             x
xP    ⋅= 98623,080)(

1

1 x

e_{p} ⋅=

= mx

= x

x

Hvis ∆m→0 er =p´. Nu kan vi så skrive udtrykket ovenover

Δ m

Δ p

Side 4

[navn fjernet] Handelsskolen København NORD – Hillerød 11. marts 2010

[navn fjernet]

[navn fjernet]

Side 4 af 16 m p ′ m

1 p 1 p

Δ m

Δ p

=⋅ ⋅

Udledning af den retlinjede efterspørgselskurve:

                                                 1
I vores tilfælde er efterspørgselskurven en ret linie og p og p kan derfor skrives som

p = am+b (m er det vi plejer at kalde x) og p^{1} = a Dette indsættes i e_{p} ⋅=
p^{1} m

1 p

p^{1} am m am

p 11 + bam + bam
⋅=⋅ =

Udled at priselasticiteten i et punkt på efterspørgselskurven er lig forholdet mellem linjestykket under punktet og linjestykket over punktet:

Økonomer påstår, at priselasticiteten i et punkt på efterspørgselskurven er lig med forholdet mellem liniestykket under punktet og liniestykket over punktet. På figuren ovenover skal elasticiteten i punktet A så

være. Vi har lige fundet ud af at e_{p} =. Hænger det sammen?

AC am

AE bam +

I figuren ovenover ser vi på ∆OCE, ∆BCA og ∆DAE. Da trekanterne er ensvinklede er forholdet mellem sider overfor de ens vinkler det samme. Det vil sige

AC CB

AE AD

=

Lad os nu kigge på |OB| og |OC|. Efterspørgselskurven skærer y-aksen i Punktet C. Det svarer til b. Altså er

|OC|= b. Punktet A har y-værdien am+b. Det svarer til B på y-aksen. Altså er │OB│=am+b =│AD│.

│CB│=│OC│-│OB│=b-(am+b) =-am. Da der er tale om længder, er længden af -am den samme som

længden af am. Derfor er │CB│=am. Nu indsættes de fundne udtryk for │AD│ og │CB│ i =

AC CB

AE AD

Side 5

[navn fjernet] Handelsskolen København NORD – Hillerød 11. marts 2010

[navn fjernet]

[navn fjernet]

Side 5 af 16

Hvis økonomerne har ret skal

CB am

+ bam

AD

=

)( −=+−= ambambCB

−= OBOCCB

+== bamADOB

= bOC

CB:

+= bamAD

Da længder altid er positive vil længden være amam =− altså amCB =

CB am AC am

+ bam + bam_{p}

AD AE

= altså er = = e

Altså havde økonomerne ret : Priselasticiteten i et punkt på efterspørgselskurven er lig med forholdet mellem liniestykket under punktet og liniestykket over punktet.

Punktet A på kurven er her valgt så │AE│=│AC│. Dvs. elasticiteten er -1 ( numerisk 1) – prøv at tænke dette

igennem.gør

Bevæger vi os ad kurven mod y-aksen sker der følgende med: am bam +

Tæller →b mens nævner →0 (er negativ). Dvs. brøken → -∞ (tænk lige den igennem) gør lige det ☺.

Numerisk er elasticiteten fra A til y-aksen 〉 1.

Bevæger vi ned ad kurven mod x-aksen sker der følgende med: am bam +

Tælleren → 0 og nævneren → m. Dvs. brøken → 0.

Numerisk er elasticiteten fra A til x-aksen mellem 0 og 1.

Side 6

[navn fjernet] Handelsskolen København NORD – Hillerød 11. marts 2010

[navn fjernet]

[navn fjernet]

Side 6 af 16

Få jeres afsætningslærer til at forklare jer, hvad det betyder økonomisk.har I gjort det

Udled elasticiteten på efterspørgselskurven (hvor er efterspørgslen

elastisk/uelastisk/neutralelastisk).

am

+ bam
Ep =

Vi ’går’ opad kurven mod skæring af y-aksen:

Tæller → skæring af y-aksen

Nævner → 0-

Dvs. Brøken → -∞

Elastisk efterspørgsel:

[1;] ∞−∈Ep

Vi ’går’ nedad kurven mod skæring af x-aksen:

Tæller → 0

Nævner → mod x-aksen

Dvs. Brøken → 0

Uelastisk efterspørgsel:

[1;0] −∈Ep godt

Sammenhæng mellem efterspørgsel, samlet omsætning og grænseomsætning.

I vores tilfælde hedder efterspørgselskurven

p = am +b hvor p = pris og m = afsætning

For at finde den samlede omsætning (udgift, hvis vi ser det fra forbrugernes side), må man gange pris med af sætning:

Omsætning: O = p*m = ( am+b)m = am^{2} + bm.

Side 7

[navn fjernet] Handelsskolen København NORD – Hillerød 11. marts 2010

[navn fjernet]

[navn fjernet]

Side 7 af 16

I økonomi har I lært at grænseomsætningen er afsætningiændring omsætningiændring

. På ”matematisk” kan det skrives

Δ m

Δ O

. Hvis ∆m →0 er det samme som O´.

Så får vi at grænseomsætningen kan skrives:

Groms : O´= 2am +b.

I økonomi siger man vist, at grænseomsætningskurven har den dobbelte hældning af efterspørgselskurven og samme udgangspunkt. Igen har de ret.

Figuren nedenunder viser ovenstående grafisk.

Opgave 2 a)

Skæring med y-aksen:

−= axyb
   22

−= axyb
   1

eller

Hældningskoefficient:

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

2 totalomsætning efterspørgsel groms figur 2

Side 8

[navn fjernet] Handelsskolen København NORD – Hillerød 11. marts 2010

[navn fjernet]

[navn fjernet]

Side 8 af 16

− xx_{12} − xx_{21}

− yy_{12} − yy_{21}
a = eller

Forskriften P(x)

25.8610*)625,0(80 =−−=b

=a −= 0,625
− 9010

− 8030

P(x) = -0,625*x+86,25

b)

P(x) = -0,625*x+86,25

DOMS(x)=-0,625x*2+86,25=-1,250x+86,25

c)

OMS(x)=-0,625x^{2} +86,25x

d)

Side 9

[navn fjernet] Handelsskolen København NORD – Hillerød 11. marts 2010

[navn fjernet]

[navn fjernet]

Side 9 af 16

P(x)

DOMS(x)

10

20

30

40

50

60

70

80 x y

OMS(x)

-0 280 300

-500

500

1000

1500

2000

2500

3000 x y e)

Side 10

[navn fjernet] Handelsskolen København NORD – Hillerød 11. marts 2010

[navn fjernet]

[navn fjernet]

Side 10 af 16 f)

Det neutrale punkt er aflæst på grafen ovenover til 69 nu kan I også let beregne det udfra

=

p e am bam +

hvor I sætter e =-1

p

Bestem forskriften for differensomsætningen DOMS(x).

Side 11

[navn fjernet] Handelsskolen København NORD – Hillerød 11. marts 2010

[navn fjernet]

[navn fjernet]

Side 11 af 16

f(x)=-1.25x+86.25

-80

-20

20

40

60

80

100 x y g)

Matematisk:

xxDOMS +−= 25,8625,1)(

+−⇒ 25,86625,0 xx

xxxp +−=)25,86625,0()(

xxp +−= 25,86625,0)(

2 h)

Bestem forskriften for omsætningen OMS(x).

+−= 25,86625,0)( xxxOMS

xxxp +−=)25,86625,0()(

xxp +−= 25,86625,0)(

2 i)

Ved at pålægge en punktafgift på 2 kr. pr. stk. ændres prisen på den måde, at prisen stiger. Modsat gælder det afsætningen som vil falde.

j)

Vores vurdering er at regeringen/folketinget bør hæve de indirekte skatter på følgende områder:

Side 12

[navn fjernet] Handelsskolen København NORD – Hillerød 11. marts 2010

[navn fjernet]

[navn fjernet]

Side 12 af 16

- Afgifter på tobak og alkohol

- Energi- og miljøafgifter

Afgifterne på tobak og alkohol bør sættes op, så størstedelen af forbrugerne vil vælge det fra. En undersøgelse skal fastlægge hvor stor afgiften skal være i fremtiden. Vores bud er 50 % prisstigning på varerne.

Et eksempel på tobak: En pakke Prins cigaretter 20 stk. pris 53 kr. Med vores fremtidige afgift kommer cigaretterne til at koste 79,5 kr. Man kan sagtens argumentere for at afgiften skulle sættes op med 200 %, så det blev økonomisk umuligt at være ryger, men vi lever i et demokratisk samfund, så afgiften skal og må ikke være det eneste værktøj til at få befolkningen til at stoppe med at ryge. Kampagner skal også hjælpe befolkningen til at holde op.

Med hensyn til alkohol foreslår vi samme stigning. Et eksempel: En kasse Carlsberg øl med 30 stk. pris 100 kr. eksklusiv pant. Med vores fremtidige afgift kommer øllene til at koste 150 kr. eksklusiv pant. Inklusiv pant koster 30 Carlsberg øl 192,50 kr.

Disse varer kan være pris-uelastiske, fordi nogle vil ryge lige så mange cigaretter lige meget hvad cigaretterne koster. Men med vores fremtidige afgift håber vi på at kunne gøre varerne elastiske, så efterspørgslen mindskes ved store prisstigninger.

Afgifterne på energi og miljø bør på også sættes op. Både for at gøre det vanskeligere for

virksomheder/producenter som ikke tænker på miljøet, men også for at gøre det mere attraktivt for
virksomheder/producenter at tænke på miljøet. Pengene fra miljøafgiften bør nemlig gå til virksomheder

som tænker miljørigtigt. Afgiften påvirker miljøforkerte virksomheder dårligt, fordi deres omkostninger bliver forøget, mens det påvirker miljørigtige virksomheder godt, fordi deres omkostninger formindskes.

Dette medfører at deres konkurrenceevne bliver forbedret. Alt dette bør hjælpe virksomhederne til at tænke endnu mere miljørigtigt.

k)

Pris elasticiteten er forholdet mellem den procentvise mængdeændring og den procentvise prisændring. Ved at betragte de procentvise ændringer bliver vi uafhængige af de enheder som varemængden måles i. Ligesom der bliver taget hensyn til prisændringens størrelse i forhold den til den samlede pris på vare. Begrebet er utroligt anvendeligt i de forskellige fag, mere end man umiddelbart tror på forhånd.

Side 13

[navn fjernet] Handelsskolen København NORD – Hillerød 11. marts 2010

[navn fjernet]

[navn fjernet]

Side 13 af 16

Opgave 3 a)

        x
xxOMS ⋅= 98623,080)(

             x
xP    ⋅= 98623,080)(

b)

P(x)

-0 170

-20

-10

10

20

30

40

50

60

70

80 x y

OMS(x)

-0

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

500

1000

1500

2000 x y c)

Side 14

[navn fjernet] Handelsskolen København NORD – Hillerød 11. marts 2010

[navn fjernet]

[navn fjernet]

Side 14 af 16

Neutralpunktet er det punkt på kurven, hvor priselasticiteten er -1.

Se kurven! – Punktet

O(x) = x*(80*0.98623^x)

O^{1} (x)= 1*80*0.98623^x + x 80*0.98623^x*ln(0.98623)

= 80*0.98623^x(-1.10925*x*0.98623^x

= 0.98623^x(x)

0^{1} (x) = 0

=0.98623^x(x)=0

L = Ø hvorfor beregner I ikke? 80-1,10925x=0 har da en løsning (72,12)

Det neutrale punkt er 72.120 Se nedenstående graf a) e)

Side 15

[navn fjernet] Handelsskolen København NORD – Hillerød 11. marts 2010

[navn fjernet]

[navn fjernet]

Side 15 af 16

 ⎛ 70
          x
ln  = ( ) 98623,0ln
  80
 ⎝

( ) 98623,0ln^{x}^{==}

 ⎛ 60
          x
ln  = ( ) 98623,0ln
  80
 ⎝

( ) 98623,0ln^{x}^{==}

⋅ −= 7,5
63,9 − 8319375,0

60 1 x xf)( xf 1)(

xe )( =      ⋅=
                1

xP −= 8319375,0)(

                    74777,201
xP         ⋅−= 98623,010925,1)(

xP ⋅⋅= 98623,0ln98623,080)(

74777,20

80

⎛ 60 ⎞ ln

        x
=  98623,0

80

60

80 80

              x
60     ⋅ 98623,080

       x
⋅= 98623,08060

             x
xP    ⋅= 98623,080)(

⋅ −= 06,7
63,9 − 9706,0

70 1 x xf)( xf 1)(

xe )( =      ⋅=
                1

xP −= 970598,0)(

                   63,91
xP         ⋅−= 98623,010925,1)(

xP ⋅⋅= 98623,0ln98623,080)(

63,9

80

⎛ 70 ⎞ ln

        x
=  98623,0

80

70

80 80

              x
70     ⋅ 98623,080

       x
⋅= 98623,08070

             x
xP    ⋅= 98623,080)(

1

1 x

1

1 x

Δ P

Δ x

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎠

⎞

=

Δ P

Δ x

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎠

⎞

=

P x

P x prøv at spætte forskrifterne

Side 16

[navn fjernet] Handelsskolen København NORD – Hillerød 11. marts 2010

[navn fjernet]

[navn fjernet]

Side 16 af 16 sættes forskrifterne ind i ovenstående fås

          𝑥
   8𝑜∗0,98623
e =         ∗                 =            smukt ikke? nu er det let at finde priselasticiteten, når
                     𝑥
             80∗0,98623          𝑥∗ln (0,98623)

p 𝑥 ∗ln (0,98623)

1 1

I har mængden

Princippet er det samme når prisen er henholdsvis 50, 40, 30, 25 og 20 kr. per styk. Efter aftale med Birgitte har vi kun lavet priselasticiteten for 70 og 60 kr. per styk.