Matematik B STX - Mundtlig eksamensspørgsmål

Side 1

Side 1 af 43

Eksamensspørgsmål i matematik 2.g – B-niveau - Noter

1. Tal, regneteknik og andengradspolynomier

Redegør kort for kvadratsætninger, potensregneregler og ligningsløsning. Bevis løsningsformlen for en generel andengradsligning.

Disposition

1. Først vil jeg komme ind på kvadratsætningerne.

2. Dernæst vil jeg hurtigt gennemgå potensregnereglerne.

3. Til sidst vil komme ind på de 2. Gradsligninger. Herunder ligningsløsninger og beviset for løsningsformlen for en generel andengradsligning.

1. Kvadratsætning:

() ab ±
( ) ( ) a͏b͏a͏b ± ⋅ ±

 22
a͏b͏ab +± 2

2

2. Kvadratsætning:

(a+b)×(a-b)
a^{2} -b^{2}

Potenregneregler

+

= a^{mn}^{−}

 m͏n͏m͏n
a͏a͏a ⋅=

 m͏m͏m
a͏b͏a͏b ⋅ = ⋅ ()

a͏a͏a ⋅=

2 4 6

a^{m}
a^{n}

Andengradspolynomiet

a, b, c = ligningens koefficienter
ax^{2} = 2. gradsleddet
bx = 1. gradsleddet
c = konstantleddet

Side 2

Side 2 af 43

For at kunne bevise løsningsformlen til en generel andengradsligning, er jeg nødt til at omskrive den generelle ligning:

  2
ax͏bx͏c + + = 0

  22
4 4 4 0 a͏x͏abx͏ac + + =

4 4 4 4 a͏x͏abx͏ac͏b͏ac͏d + + + − =
4 4 , så bruges 1. kvadrat sætning: a͏x͏abx͏b͏d + + =

       2
(2 ) ax͏b͏d +=

2 2 2

2 2 2

d͏Ingen͏løsning <= 0

− b
d͏øsning͏x = = = 0 1 l ,

                  2
Da kvadratet (2ax+b) ikke kan blive negativt,

er der ingen løsning (når man gange det ud, kan det ikke blive negativt)

2 a

Bevis for dette (brug den omskrevede fra ti dligere):

       2
(2 ) 0 ax͏b +=

       2
(2 ) 0 ax͏b +=

20 ax͏b +=
2 ax͏b =−
− b
x = Dette er desuden også formlen for at finde toppunktet i en 2.gradsligning

−± bd
d͏L͏x > = = 0 2 ,

± = + d͏ax͏b 2
−± bd
x =

2 a

2 a

Beviset for dette ses nedenfor:

2 a

Side 3

Side 3 af 43

2. Polynomier og parabler

Redegør for grafen for et andengradspolynomium. Kom herunder blandt andet ind på nulpunkter og toppunkt.

Disposition

1. Først vil jeg komme ind på, hvordan grafen for et andengradspolynomium kan se ud.

2. Dernæst vil jeg forklare om et andengradspolynomiums 0-punkter og forklare om toppunktet til et andengradspolynomium.

3. Til sidst vil jeg bevise formlen for toppunktet til et andengradspolynomiumet.

a = Hvor meget parablen stiger/falder,
bred/smal

b = Se tegning

c = Fortæller hvor på y-aksen parablen

skærer.

d = Hvor mange gange den skærer på x-

aksen.

Nulpunkter (side 24 i B2)

Definition: Ved et nulpunkt (rod) for en funktion forstås en x-værdi for et skæringspunkt mellem

grafen og x-aksen, dvs. en x-værdi, der giver y = f(x) = 0.

Det vil sige, at man sætter andengradsligningen = 0

0 = ax^{2} + bx + c

Antallet af nulpunkter afhænger af d’s fortegn (SE FORRIGE SIDE).

Side 4

Side 4 af 43

Toppunkt (side 22+23 i B2)

                                                     2
Der findes en hjælpesætning, som siger, at grafen for f(x) = a (x-h) + k er en parabel med toppunkt

i (h,k).

                        2                        2
Bevis for, at udtrykket a (x-h) + k altid kan omskrives til ax + bx + c.

      2
a͏x͏h͏k ( ) Gang parantesen ud −+

    22
= a(x 2 ) Gang a ind i paratensen + − + h͏xh͏k

    22
= ax 2 Byt om på to led + − + ah͏axh͏k

    22                                   2
= ax 2 Sæt -2ah − + + axh͏ah͏k͏+ = +b og ah = +c k

    2
= + + ax͏bx͏c

− b

             2
Ligningen c=ah giver y-koordinaten således: + k

k=c-ah^{2} Indsæt h = -

Af ligningen b=-2ah fås (del med 2a på hver side og gang med -):

h= --> Er x-koordinat til toppunkt

2 a

− b_{2}
k͏c͏a = − ⋅ ( ) Gang parantesen ud
−− bb
k͏c͏a = − ⋅ ⋅ ( ) ( ) Gang tæller med tæller og nævner med nævner

k͏c͏a = − ⋅ Fællesnævner 4a

b^{2}
4 a^{2}

2 a

2 a

22 aa b

k = ⋅ −

k =−

      2
4 ac͏b −

k͏ac =− Indfør d = b 4
− d
k =

                  2
Da͏k͏har vi bevist sætningen. vi ved, at y=a(x-h) fremstiller en parabel med toppunkt i (h,k), +

4 a͏c͏b^{2}

4 ac͏b^{2}

2

4 1 4 aa

44 aa

4 a

4 a

T −−( , )

24 aa bd

Side 5

Side 5 af 43

3. Sammenhænge og modeller

Redegør for begreberne proportionalitet og omvendt proportionalitet. Beskriv en lineær

sammenhæng og bevis herunder formlen a =.
− xx_{12}

− yy_{12}

Kom ind på regression.

Disposition:

1. Først vil jeg forklare begreberne proportionalitet og omvendt proportionalitet.

2. Dernæst vil jeg beskrive en lineær sammenhæng og forklare kort hvad en matematik model er.

3. Så vil jeg bevise formlen for, hvordan man finder a i en lineær funktion: a =
− xx_{12}

− yy_{12}

4. og, til sidst vil jeg komme ind på regression.

Proportionalitet (side 64 i AB1)

At noget er proportionalt, betyder at forholdet mellem to variabler er konstante (vokser i samme takt). Dvs. .

Omvendt proportionalt (side 66 i AB1)

To variabler kaldes omvendt proportionalitet, hvis deres produkt er konstant.

Hvis vi gør x dobbelt så stor, bliver y halvt så stor.

2 ud, 1 op

4 ud, ½ op

8 ud, ¼ op

2*1 = 2 4*½ = 2 8 * ¼ =2 Altså er 2 en konstant.

Side 6

Side 6 af 43

Lineær sammenhæng

Forskrift for en ret linje er: y = ax + b

En lineær sammenhæng kunne opstilles således: x -2 -1 0 1 2 3 y -5 -3 -1 1 3 5

Dette ville danne en ret linje, og derfor kan man sige, at det er en lineær sammenhæng.

En anden måde at forklare det på kunne være sådan, som det er tegnet på figuren nedenfor:

Vi kan se, at y = |BC| + |DB| = |BC| + b

De to trekanter der kan ses, er begge ensvinklede, fordi de har <A fælles og begge har en ret vinkel.

Derfor kan vi slutte, at det gælder:

= | | kalder vi for x AB

= Der ganges med a på begge sider

a * =

| | BC͏ax =

| | | | BC͏AB a 1

|| BC͏x a 1

|| BC͏ax a 1

Dette indsætter vi i ligningen y = |BC| + b og får:

y = ax + b

Matematik model

Er noget, som prøver at beskrive en sammenhæng i den virkelig verden.

Fx prisen for taxa-kørsel (startgebyr (b), pris (y-akse), min (x-akse), a (pris pr. min), x (antal min).

SKITSER GRAFEN HURTIGT!

Side 7

Side 7 af 43

Bevis for a i en lineær funktion

TEGN TEGNING NEDENFOR PÅ TAVLEN

Tilvæksten i x-aksens retning kaldes for: ∆x

Tilvæksten i y-aksens retning kaldes for: ∆y

Da begge trekanter har <A tilfælles og har en ret vinkel, er de ensvinklede.

Forholdet mellem ensliggende sider er derfor konstante: a 1

ay Δ *1
Δ= y *

Δ− y y y 21
Δ− x x x 21

ΔΔ yx

ΔΔ yx

Δ y

a =

Δ x

a ==

=

Regression

Eksempel (BRUG LOMMEREGNER):

År 1981 1984 1985 1988 1998 1999 2002 2003 2007 tid 7698 7685 7632 7610 7565 7542 7538 7495 7466

Udviklingen i verdensrekorderne for en maraton i perioden kan beskrives ved

en model af typen y = ax+b , hvor x betegner tiden målt i år efter 1981, og y betegner

verdensrekorden målt i sekunder.

VIS PÅ LOMMEREGNER, og bagefter UDEN LOMMEREGNER (vælg to punkter 🡪 ∆y / ∆x 🡪

Sæt punkt ind og isoler b):

Statlist 🡪 Skriv tallene ind i list 1 og 2 (list 1 = 0, 3,4,7,17,18,21,22,26) (list 2 = 7698 osv.) 🡪
Vælger F4 (calc) 🡪 Regression 🡪 LinReg (ax+b), fordi det er en lineær funktion.

a = -8,18776 b = 7680,57

Side 8

Side 8 af 43

4. Statistik og sandsynlighedsregning

Kom ind på følgende begreber: Observationssæt, middelværdi, trappediagram, histogram, sumkurve og boxplot.

1. Først vil jeg komme ind på, hvordan et observationssæt kunne se ud herunder middelværdi.

2. Dernæst vil jeg forklare om trappediagram, histogram og sumkurver, og give eksempler på, hvordan disse kunne se ud.

3. Til sidst vil jeg forklare om, hvordan man tegner et boxplot.

Observationssæt/sygedage for elever

Antal Syge 0 2 11 4 5 3 5 2 5

Dag 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Observationssættets størrelse: 9 (samlede antal observationer)

Mindsteværdien: 0

Højsteværdien: 11

Typetallet: 5 (det tal som optræder flest gange)

Middelværdien/Medianen: ca. 4 (37 / 9) (Gennemsnittet af alle tallene - plus alle

tallene med hinanden og divider med antal af tal).

Ved middelværdien forstår man:

n_{i}_{=}_{1}

x͏x͏x͏x + + + +..._{n}
X =

Xx =
∑

1 2 3

1^{n}

i n

∑ = Bruges til at angive, at tal skal lægges sammen.

i = variabel som løber fra 1 til n. Første led ved at sætte i = 1, andet led ved at sætte i = 2 osv.

Side 9

Side 9 af 43

OBS! OBS! OBS! OBS!

Til TRAPPEDIAGRAM & HISTOGRAM, brug tal nedenfor.

Trappediagram: Et trappediagram er et diagram der ud fra statistisk beskriver hyppigheden og observationerne, ud fra summeret frekvens (det vil sige, at det skal nå 100 % til sidst) Se tegning nedenfor.

LAV ET HURTIGT EKSEMPEL PÅ, HVORDAN ET TRAPPEDIAGRAM KUNNE SE UD!

Histogram

y-akse = frekvens

x-aksen = Observationer

Her tegner man bare de observationer der er ind, under frekvens (normal %-del).

LAV ET HURTIGT EKSEMPEL PÅ,

HVORDAN ET HISTOGRAM KUNNE

SE UD!

Antal cigaretter pr. dag | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35
Antal personer | 74 | 119 | 127 | 129 | 32 | 50
Frekvens % | 13,9 | 22,4 | 23,9 | 24,3 | 6 | 9,4
Summeret frekvens % | 13,9 | 36,3 | 60,2 | 84,5 | 90,5 | 100

Side 10

Side 10 af 43

Sumkurve – Summeret frekvens

Eksempel – Grupperede observationer = Genstande om måneden

Observationer | 0-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80
Hyppighed | 0 | 9 | 11 | 5
Frekvens | 0,00 | 0,36 | 0,44 | 0,2
Summeret | 0 | 36 % | 80 % | 100 %

frekvens

TEGN SUMKURVE UD FRA DE GRUPPEREDE OBSERVATIONER OVENFOR

HUSK: Man skriver kun det sidste tal af de grupperede frekvenser (50, 60, 70, 80) TEGN KVATILSÆT, og derefter BOXPLOT!

Man finder den summerede frekvens ved først at finde frekvensen (observation / samlede antal
observation * 100).

Den summerede frekvens er så, når man ligger frekvenser sammen, og til sidst giver det 100 %. Se tegning ved siden af.

Boxplot: For at tegne et boxplot skal man kende kvartilsættene (25 %, 50 %, 75 %) Først tegner man x-aksen. Så tegner man boxen over x-aksen:

Hvor venstre streg er: Minimum

Venstre side af boxen: Nedre kvartil

Midten af boxen: Median

Højre side af boxen: Øvre kvartil

Højre side af stregen: Maximum

Side 11

Side 11 af 43

5. Statistik og sandsynlighedsregning

Med udgangspunkt i din rapport om øl-smagning gør rede for begrebet binomialtest.

Tjek rapport om øl-smagning.

Disposition

1. Til at starte med, vil jeg forklare, hvad vores forsøg gik ud på.

2. Bagefter vil jeg fortælle, hvad vores antagelse var, og fortælle om vores resultater i testen, og hvordan vi finder frem til dem.

(Binomialtest – Fortæl MÅSKE)

Denne test benyttes ti at undersøge stikprøver, hvor antallet med en bestemt farve, politik holdning eller kvalitetsniveau kan antages at være binomialtfordelt.

Det vil sige, at man har en hypotese og derefter laver man en stikprøve, og det vil vise, om hypotesen kan bekræftes eller forkastes.

Eksempel:

- Erfaring viser, at 10 % af leverede appelsiner er dårlige.

- En stikprøve med 50 appelsiner (stikprøven betragtes som samme eksperiment 50 gange i træk).

Antallet af dårlige frugter i stikprøven er derfor binomialfordelt med:

- Antalsparameter = 50
- Sandsynlighedsparameter (for at appelsinen er dårlig) = 0,10

Nulhypotese: Der er 10 % dårlige appelsiner

Modhypotese: Der er flere end 10 % dårlige appelsiner.

Side 12

Side 12 af 43

Forsøg / Binominaltest – KAN MAN SMAGE FORSKEL PÅ TUBORG OG CARLSBERG?

Binomialfordeling = Vi har lavet det samme forsøg 38 gange.

Prøvesmagning af Tuborg og Carlsberg:

- 2/3 glas er Tuborg
- 1/3 glas er Carlsberg.

Antagelse: Man kan IKKE smage forskel.

n = antal deltager = 38

Der er 1/3 der vil gætte rigtigt (p = 1/3).

Der var 23 der svarede rigtigt.

TI.StatbinomCdf (n,p,r) 🡪 TI.StatbinomCdf (38,1/3,23) = 0,99984 ) 99,98 %

Sandsynligheden for, at 23 eller derunder svarer rigtigt 🡪 P(X≤23)

Vores signifikansniveau er (100-99,98) = 0,02 % 🡪 Antagelsen forkastes

Cdf = kumuleret frekvens.

Signifikansniveau = 5 %

P (antagelse) = Sandsynlighed for, at antagelsen den er mindre eller lig med 5 %.

P = sandsynlighed

P (x = r) = K (n,r) ∙ p^{r} (1-p)^{n-r}

Eksempel

P (x=7) = K (20,7) ∙ (1/3)^{7} ∙ (1-1/3)^{20-7}

Sådan skrives det ind på lommeregner (vælg ”n” inde i catalog): nCr (20,7) = 77520 (hvor mange
kombinationer der er ved at vælge 20/7)

P (x=7) = 77520 ∙ (1/3)^{7} ∙ (2/3)^{13}

P (x=7) = 0,182 = 18,2 % (for at præcis 7 gætter rigtigt).
På lommeregneren: TI Stat.binompdf (20,1/3, 7) = 0,182 = 18,2 %

Side 13

Side 13 af 43

For at finde den kumulerede frekvens:

På lommeregneren: TI Stat.binomcdf (20, 1/3, 11) = 0,987 = 98,7 %

Her finder man, hvor stor sandsynligheden er for, at 0-11 personer vil svare rigtigt. Det er 98,7 %.

Derfor må der være 1,3 % chance for, at 12 personer eller derover svarer rigtigt.

- Tallet 77.520 angiver hvor mange kombinationer der er ved at vælge 20/7.

- (20,7) angiver antal kombinationer hvor man kan vælge 7 ud af 20.

- 18,2 % angiver sandsynligheden for at præcis 7 gætter rigtigt.

- For at finde ”binom”, trykkes på catalog🡪 F3 🡪 Så kommer det frem.

- TIbinomCdf (20, 1/3, 11) bestemmer, hvor stor sandsynligheden er for, at

11 eller derunder svarer rigtigt. Hvis man tager tallet 98,7 og minusser med 100, får man hvor stor sandsynligheden er for, at 12 eller derover

svarer rigtigt. Dette gælder ved et signifikansniveau på 1/3, og vi har en

hypotese der hedder: ”Ingen kan smage forskel”.

R P(x=r)

0

1

2

3

4

5 | 14,57
6 | 18,2
7 | 18,2

8

Side 14

Side 14 af 43

6. Geometri og trigonometri

Redegør for begreberne sinus, cosinus og tangens. Bevis regnereglerne for hhv. sinus, cosinus og tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant. Kom ind på ikke retvinklede trekanter Disposition

1. Først vil jeg forklare kort, hvad begreberne sinus, cosinus og tangens.

2. Herefter vil jeg bevise regnereglerne, for hhv. sinus, cosinus og tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant

3. Til sidst vil hurtigt komme ind på vilkårlige trekanter, og hvordan man kan bruge sinus og cosinus. Hvis der er tid, vil jeg også bevise sinus- og cosinusrelationerne.

Sinus, cosinus og tangens

- Ved sinus til en vinkel v forstås andenkoordinaten til vinklens retningspunkt på en enhedscirkel (Se tegning nedenfor til venstre).

- Ved cosinus til en vinkel v forstås førstekoordinaten til vinklens retningspunkt på en enhedscirkel (Se tegning nedenfor til venstre).

- Ved tangens til en vinkel v forstås:

Man kan ikke udregne tangens til vinklerne 90 og 270. Det skyldes, at cosinus til disse to vinkler =

0 (man kan ikke dividere med 0). Tanges er et udtryk for, hvor stærkt hypotenusen hælder.

2. koordinat

1. koordinat

2. koordinat

tan v =

sin v cos v

Side 15

Side 15 af 43

Bevis for regnereglerne, for hhv. sinus, cosinus og tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant

TEGN TREKANTEN TIL

HØJRE🡪

Ifølge definitionen på cos A og sin A gælder der:

Cos A = |AS| og Sin A = |RS| De er proportionelle

∆ARS er ensvinklet med ∆ABC, fordi de har vinkel A tilfælles og begge er retvinklede. Af sætningen om ensvinklede trekanter gælder det:

==

tan A = =

sin 1 A͏cos͏A cos͏A͏b 1

Af͏får͏vi͏cos ligningen = : A=

sin 1 Aa

Af͏får͏vi͏sin ligningen = : A=

Endelig kan vi finde tan A ved at dividere sin A med Cos A: cos A

Man kan dividere med en brøk ved at gange med den omvendte: a͏b͏c b͏c͏c a͏c͏c a sin͏A c b c

tan A = . =

a͏c͏a c͏b͏b

sin A ==

cos A ==

tan A ==

a modstående katete c hypotenuse b hosliggende katete c hypotenuse a modstående katete b hosliggende katete

Side 16

Side 16 af 43

Sinus og cosinus i en vilkårlig trekant

Først skal man bevise: T=½ bc Sin A og T=½ ac sin B

Ta = ½ h Formel for en trekants areal.
      a

b SinC= ⋅⋅ b

h =⋅ b SinC Hermed er h definerert, og kan indsættes i den første ligning:
 a                        a

TREKANT PÅ SIDE 250 NEDERST TEGNES:

Man kan finde højden i en retvinklet trekant således: Det gælder:

SinC=

h_{a}

h_{a}

b b

T͏a͏T = → = ⋅ ½ h ½ ab SinC
      a

Sinusrelationerne + bevis:

==

sin͏A͏B sin sin C a͏b͏c

Vi beregner trekantens areal på to måder. Tager vi udgangspunkt i <A, får vi arealet

T=½ bc sin A. Med udgangspunkt i <B får vi: T = ½ ac sin B.

Der findes kun et areal, derfor må det gælde:

½ bc sin A = ½ ac sin B ½ går ud med hinanden
bc͏A sin = ac sin B c går ud med hinanden
b sin A = a sin B del med sin B på hver side

b sin A SinA

= a Der deles med (ganges med den omvendte)

⋅ = ⋅ a Sin A går ud med hinanden.

=

sin 1 B

1 sin A 1 b

SinA͏B͏SinA sin sin sin BA

Dette͏f de tre ligninger i sinusrelationerne. var den første a ba

Den næste får man ved at tage: T=½ ac sin B og T=½ ab sin C

Side 17

Side 17 af 43

Cosinusrelationerne + bevis

c͏a͏b͏ab = + − 2 cos C

2 2 2

Byt om på a,b eller c, alt efter hvilken side der skal findes.

SIDE 253 i BOGEN - TEGN NEDERSTE TREKANT - DEN TIL HØJRE

Højden i trekant ABC fra A og ned til grundlinjes punkt, som jeg kalder D.

( ) Pa a͏x͏h͏c − + =          rantes ganges ud
         a

2 2 2

Vi har nu to stykker på grundlinjen. Den ene hedder |DC| den anden | | (a minus x). BD Så kan Pythagoras anvendes i trekanten ABD (den største).

( )( ) Paranteser ganges sammen a͏x͏a͏x͏h͏c^{22}_{a} − − + =
a͏ax͏xa͏x͏h͏c_{a} − − + + =

x͏h͏b + =
    a

hx_{a} = b − Dette indsættes på ' plads i det vi fik før hs^{2}_{a}

2 2 2 2

Pythagoras͏h anvendes i ADC (vi vil gerne af med )^{2}_{a}

2 2 2

2 2 2

a͏ax͏x͏x͏c − + + − = 2 b x går ud med hinanden
a͏ax͏c + − = b2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

For at få x væk sætter man cos C = ind (gang med b på begge sider, for at få x til at stå alene) :

x b

sidst får man så: 2 cos CTil͏c͏a͏b͏ab = + −

2 2 2

Side 18

Side 18 af 43

7. Geometri og trigonometri

Redegør for begreberne sinus og cosinus. Bevis cosinusrelationen.

Disposition

1. Først vil kort redegøre for begreberne sinus og cosinus.

2. Herefter vil jeg bevise cosinus- og sinusrelationerne.

Sinus og cosinus

- Ved sinus til en vinkel v forstås andenkoordinaten til vinklens retningspunkt på en enhedscirkel (Se tegning nedenfor til venstre).

- Ved cosinus til en vinkel v forstås førstekoordinaten til vinklens retningspunkt på en enhedscirkel (Se tegning nedenfor til venstre).

2. koordinat

1. koordinat

Side 19

Side 19 af 43

Sinus og cosinus i en vilkårlig trekant

Cosinusrelationerne + bevis

c͏a͏b͏ab = + − 2 cos C

2 2 2

Byt om på a,b eller c, alt efter hvilken side der skal findes.

SIDE 253 i BOGEN - TEGN NEDERSTE TREKANT - DEN TIL HØJRE

Højden i trekant ABC fra A og ned til grundlinjes punkt, som jeg kalder D.

( ) Pa a͏x͏h͏c − + =          rantes ganges ud
         a

2 2 2

Vi har nu to stykker på grundlinjen. Den ene hedder |DC| den anden | | (a minus x). BD Så kan Pythagoras anvendes i trekanten ABD (den største).

( )( ) Paranteser ganges sammen a͏x͏a͏x͏h͏c^{22}_{a} − − + =
a͏ax͏xa͏x͏h͏c_{a} − − + + =

x͏h͏b + =
    a

hx_{a} = b − Dette indsættes på ' plads i det vi fik før hs^{2}_{a}

2 2 2 2

Pythagoras͏h anvendes i ADC (vi vil gerne af med )^{2}_{a}

2 2 2

2 2 2

a͏ax͏x͏x͏c − + + − = 2 b x går ud med hinanden
a͏ax͏c + − = b2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

For at få x væk sætter man cos C = ind (gang med b på begge sider, for at få x til at stå alene) :

x b

sidst får man så: 2 cos CTil͏c͏a͏b͏ab = + −

2 2 2

Side 20

Side 20 af 43

Sinusrelationerne + bevis

Først skal man bevise: T=½ bc Sin A og T=½ ac sin B

Ta = ½ h Formel for en trekants areal.
      a

b SinC= ⋅⋅ b

h =⋅ b SinC Hermed er h definerert, og kan indsættes i den første ligning:
 a                        a

TREKANT PÅ SIDE 250 NEDERST TEGNES:

Man kan finde højden i en retvinklet trekant således: Det gælder:

SinC=

h_{a}

h_{a}

b b

T͏a͏T = → = ⋅ ½ h ½ ab SinC
      a

==

sin͏A͏B sin sin C a͏b͏c

Vi beregner trekantens areal på to måder. Tager vi udgangspunkt i <A, får vi arealet

T=½ bc sin A. Med udgangspunkt i <B får vi: T = ½ ac sin B.

Der findes kun et areal, derfor må det gælde:

½ bc sin A = ½ ac sin B ½ går ud med hinanden
bc͏A sin = ac sin B c går ud med hinanden
b sin A = a sin B del med sin B på hver side

b sin A SinA

= a Der deles med (ganges med den omvendte)

⋅ = ⋅ a Sin A går ud med hinanden.

=

sin 1 B

1 sin A 1 b

SinA͏B͏SinA sin sin sin BA

Dette͏f de tre ligninger i sinusrelationerne. var den første a ba

Den næste får man ved at tage: T=½ ac sin B og T=½ ab sin C

Side 21

Side 21 af 43

8. Eksponentiel vækst og logaritmer

Redegør for kapitalfremskrivningsformlen. Kom yderligere ind på eksponentialfunktioner samt

fordoblings-/halveringskonstant.

Disposition

1. Først vil jeg komme ind på, hvordan kapitalfremskrivningsformlen.

2. Dernæst vil jeg forklare om eksponentialfunktioner og bevise formlen for.

3. Til sidst vil jeg bevise formlen for fordoblingskonstanten, og hurtigt vise, hvordan man beviser halveringskonstanten.

Kapitalfremskrivningsformlen

Hvor Kn er det nye tal, K er det gamle tal (start på y-aksen), (1+r) er procenttillæg og n er terminen.

Eksponentialfunktioner

Kan se således ud (vis også aftagende) 🡪

y = b ∙ a^{x}

y = Resultat

b = skæring på y-akse

a = udviklingshastigheden (hvor meget den stiger/falder)

x = variablen

Hvis vil grafen være stigende (voksende funktion).

Hvis vil grafen være en vandret linje (konstant funktion).

Hvis vil grafen være faldende (aftagende funktion).

Side 22

Side 22 af 43

Bevis for formlen til for a i en eksponentiel funktion

= a^{xx_{21}}^{−} Potensregneregel (skal de deles, kan de trækkes fra i eksponenten)

       x͏x͏x
y͏b͏a͏y͏b͏a͏b͏a͏på = ⋅ = ⋅ ⋅ og Del med y1 og venstre side
 12

y_{2} ba ⋅^{x_{2}}
= b går ud med hinanden
y_{1} ba ⋅^{x_{1}}

=
   x
   1

1 2 1

y_{2} a^{x_{2}}
y_{1} a
y_{2}
y_{1}

  xx −
  21  xx −
       21
=    a    Tag den x2-x1'ne rod. Så står a alene

xx_{21} −

   xx −
    21
a =

y_{2}
y_{1}
y_{2}
y_{1}

Fordoblingskonstanten / Bevis

Sætter man penge i banken med fast rente vil pengene efter noget tid være fordoblet. Hvis renten er

4,7 % vil der gå 15 år, da 1,047 2^{15} =. Ergo er fordoblingstiden 15 år.

Hver gang x vokser med T

2

, bliver y dobbelt så stor.

Bevis for fordoblingskonstanten

Ved fordoblingskonstanten T for en eksponentielt voksende funktion forstås den tilvækst

2

T = x -x, man skal give x for at funktionsværdien f(x) bliver det dobbelte af f(x).

2 2 1 1 2 1

Præmis: T er defineret som: T = x -x, hvor 2∙y =y

2 2 2 1 1 2

Side 23

Side 23 af 43

T_{2} =

1 2 1 2

Hvis T en fordoblingskonstant, må funktionsværdien f(x2) være det dobbelte af f(x1) dv er s:
      2

log(2) log( ) a

Lad͏får x være en tilfældig x-værdi. Ligger vi T til x , vi en ny x-værdi, som vi kalder x .

2 ( ) ( ) Sæt forskriften får en eksponentiel funktion ind i stedet for f(x1) og f(x2) ⋅= f͏x͏f͏x
     12

    x͏x͏x
2 Del med ba på begge sider ⋅= ba͏ba

1 2 1

        xx 21 −
2 =a Potensregneregel (ska =                  l to potenser deles med hinanden,
    x 1

    xx 12
2 ⋅ ba͏ba

= går ud med hinanden på den ene side, og b går ud på den anden side. ba^{x}^{1}

  xx 11
ba͏ba

a^{x}^{2}

a

log (2) =(x2-x1) log( ) Tag log på beggea͏ sider. Logaritmeregneregel: Står noget ophævet og man tager log, ⋅

må man trække dem fra hinanden i eksponenten ryger det ned foran, og roden kommer i parantes.

Omskrevet: log(2)

x2-x1=

T_{2} =

log( ) a log(2) log( ) a

Halveringskonstanten

T_{1/2} =

log(½) log( ) a

Beviset for dette er det samme som fordoblingskonstanten, bare hvor man indsætter ½ i stedet for 2.

Side 24

Side 24 af 43

9. Eksponentiel vækst og potensvækst

Redegør kort for både eksponentiel vækst og potensvækst. Forklar hvordan forskrifterne for hhv.

funktionerne og findes, når to punkter på graferne er kendte.

 x           a
abxf ⋅=)(   xbxf ⋅=)(

Disposition

1. Først vil jeg forklare om eksponentiel vækst og potensvækst..

2. Dernæst vil jeg forklare, hvordan man finder forskrifterne for en ekspotentiel funktion og potens funktion, ud fra to kendte punkter.

3. Til sidst vil jeg bevise formlen til at finde a i henholdsvis en eksponentiel funktion og en potens funktion.

Eksponentiel funktion:

Her er to punkter: (1,5) og (3,10) For at finde a bruger man formlen:

   xx −
    21
a =

   31 −
a =

a == 2 1,41

y_{2}
y_{1}

10

5

Så bruger man et (x,y) koordinat og indsætter det i funktionen sammen med a:

5 1,41^{1} =⋅ b
b = 3,55
fx ( ) 3,55 1,41^{x} =⋅

Side 25

Side 25 af 43

Potens funktion

f͏x͏b͏a =⋅()^{x}

Igen har vi 2 punkter: (6,5) og (9,10)

log( ) log( ) yy_{21} −
a =
log( ) log( ) xx_{21} −

log(10) log(5) −

a =

log(9) log(6) −

a = 1,71
f͏x͏b͏x^{1,71} () =⋅

Så bruger man et (x,y) koordinat, og sætter det ind i funktionen for at finde b:

Når x er opløftet skal x altid være over 0.

Bevis for formlen til for a i en eksponentiel funktion

= a^{xx_{21}}^{−} Potensregneregel (skal de deles, kan de trækkes fra i eksponenten)

       x͏x͏x
y͏b͏a͏y͏b͏a͏b͏a͏på = ⋅ = ⋅ ⋅ og Del med y1 og venstre side
 12

y_{2} ba ⋅^{x_{2}}
= b går ud med hinanden
y_{1} ba ⋅^{x_{1}}

=
   x
   1

1 2 1

y_{2} a^{x_{2}}
y_{1} a
y_{2}
y_{1}

  xx −
  21  xx −
       21
=    a    Tag den x2-x1'ne rod. Så står a alene

xx_{21} −

   xx −
    21
a =

y_{2}
y_{1}
y_{2}
y_{1}

Side 26

Side 26 af 43

Beviset for at finde formlen til a for en potens funktion

f͏x͏b͏x^{a} ( ) =⋅

       a
y͏b͏x =⋅ 1. punkt
 11

       a
y͏b͏x =⋅ 2. punkt
 22

= Sættes lig med hinanden - b går ud

      a
y͏bx
 22

y_{1} bx_{1}^{a}

     a
y͏x͏y͏x      ⎛⎞

= ⇔ =           Eksponenten a kan sættes udenfor en parates
   a

⎜⎟

1 1 1 ⎝⎠

⎛⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ yx_{22}

⎜⎟

log log Log tages på begge sider for at f = å a ned.

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

yx_{11} ⎜⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝⎠

2 2 2 2

y͏y͏x x_{1}

a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ y͏x͏x

log log Skrives om - Der deles med log på begge sider =⋅ a

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1

⎛⎞ y_{2}

⎜⎟

log log yy_{21} −

⎝⎠

a ==
⎛⎞ log log xx_{21} −

⎜⎟

⎝⎠

2 2 2

y_{1}
x_{2}
x_{1}

log log y͏x͏x

(Renteformel)

Hvor Kn er det nye tal, K er det gamle tal (start på y-aksen), (1+r) er procenttillæg og n er terminer.

Side 27

Side 27 af 43

10. Økonomisk matematik

Med udgangspunkt i matematikdelen i din SRO gør rede for begreberne udbud, efterspørgsel, ligevægt samt styksafgift. Inddrag lineære matematiske modeller i din redegørelse.

Disposition

1. Først vil jeg kort gøre rede for, hvad udtrykkene udbud, efterspørgelse, ligevægt og styksafgift er.

2. Efter dette, vil jeg forklare, hvordan man kan sætte økonomi ind i en matematisk sammenhæng.

3. Til sidst vil jeg tegne et par diagrammer, som skal illustrere, hvordan udbud og efterspørgelsen mødes.

Udbud, efterspørgelse, ligevægt og styksafgift

Udbud = Udbuddet på en bestemt vare fra et firma (fx cowboybukser eller olie)

Alt efter hvor stort udbuddet er reguleres prisen herefter.

Efterspørgelse: = Hvor mange vil have fat på en bestemt vare/produkt (fx cowboybukser

eller olie).

Hvis efterspørgelsen er stor, og udbuddet er begrænset, stiger prisen.

Ligevægt = Her mødes udbydelsen og efterspørgelsen. Det angiver prisen på en
bestemt vare/produkt (fx cowboybukser eller olie).

Styksafgift = En afgift der bliver pålagt pr. styk på en vare (fx 50 kr. pr. cowboybuks

eller 5 kr. pr. liter olie. Går til staten.

TEGN GRAF (P-Q-DIAGRAM), OG ARBEJD UD FRA DET!

Økonomi i en matematisk sammenhæng

For efterspørgelsen på et produkt, gælder følgende formel:

Q^{D} = a – b ∙ P Inverse 🡪 P͏a͏Q = ⋅ − ()

1

D b

Q^{D} = Demand (efterspørgelse)

a = efterspørgelsen på en varer, hvis den er gratis.

b = hvor meget efterspørgelsen falder, hvis prisen stiger med 1 kr.

P = Pris på vare.

Side 28

Side 28 af 43

P͏a͏Q = ⋅ − ()

 D
Q͏a͏b͏P = − ⋅

      D
b͏P͏Q͏a ⋅ + =

         D
b͏P͏a͏Q ⋅ = −

P͏a͏Q = ⋅ − ()

1

Hvordan man kommer fra den ene til den anden:

1

D

D b b

Hvis prisen på min varer var 0 (P = 0), bliver Q^{D} = a, fordi b ∙ 0 = 0. Man kunne antage, at a var

100. Hvis jeg så besluttede, at min vare ikke længere skulle være gratis, men derimod koste 5 kr., ville prisen på varen stige med 5 kr. Formlen ville se således ud:

Q^{D} = 100 – 5 ∙ 5

Q^{D} = 100 – 25

Q^{D} = 75

Efterspørgelsen på et produkt falder, hvis prisen er blevet sat op.

For udbud af en vare gælder følgende formel:

  S                               S
Q = β (P – C) Inverse 🡪          Q ( ) =− PC

β β β β β

       S
P͏Q͏c = ⋅ +

  S
⋅ = − Q͏P͏C

  S
⋅ + = Q͏c͏P

       S
P͏Q͏c = ⋅ +

1

Hvordan man kommer fra det ene til det andet:

1

1

1

Side 29

Side 29 af 43

Q^{S} = Supply (udbud).

β = Den mængden man udbyder ekstra, når prisen stiger med 1 kr.

P = Pris på produktet.

C = Cost. Prisen for produktionsomkostningerne; det som det har kostet at lave produktet.

Hvis vi antager, at β er 5, ville formlen for mit firmas udbud se således ud:

Q^{S} = 5 (22,5 – 13)

Q^{S} = 5 ∙ 9,5

Q^{S} = 47,5

FORKLAR HVAD DER SKER, HVIS PRODUKTIONSOMKOSTNINGERNE STIGER MED 1

KR.

Ligevægt = Hvor udbud og efterspørgelse mødes. VIS PÅ DIAGRAM

Afgift βτ τ

 S
Q͏P͏C = − − (( ) )

= Afgift

Afgift = Højere pris = Mindre efterspørgelse

Side 30

Side 30 af 43

11. Differentialregning

Redegør for begrebet differentialkvotient. Kom herunder blandt andet ind på begreberne

                                                                        2
differenskvotient, sekant, tangent, grænseværdi. Bevis hvorfor differentialkvotienten for x er 2x.

Kom ind på tangentligningen.

Disposition

1. Først vil jeg meget kort gøre rede for, hvad udtrykkene differentialkvotient, differenskvotient, sekant, tangent og grænseværdi.

                                                                              2
2. Efter dette, vil jeg lave to beviser. Jeg starter med at bevise, hvorfor differentialkvotienten for x

er 2x.

3. Til sidst vil bevise tangentligningen.

TEGN GRAFEN NEDENFOR:

a = differenskvotient

s

Δ y  yy −    f͏x͏x͏f͏x ( ) ( ) + Δ −
      21       00

a_{st} = = = → Går mod a (tangenthældning)
Δ − − + Δ x͏x͏x͏x͏x͏x

a '( ) (dens differentialkvotient) = fx
 t

2 1 0 0

Afstanden mellem de to punkter bliver uendelig lille, derfor: Sekant 🡪 Tangent.

Side 31

Side 31 af 43

Differentialkvotient: Kan også kaldes for hældningen af en tangent i et punkter af grafen. Den kan

beskrives ved:. Når man differentierer noget finder man hældningen i et punkt = tangent.

dy dx

Differenskvotient: Hældningen for en sekant = 2 punkter på grafen. Differens = forskel i to

punkter.

Sekant - Skærer to gange på en graf (TEGN EKSEMPEL)

Tangent – Skærer en gang på grafen (TEGN EKSEMPEL)

Grænseværdi – Hvad en funktion nærmer sig i mod. Kunne fx være, at man lader ∆x 🡪 0

                                        2
Beviset for hvorfor differentialkvotienten for x er 2x - Tretrinsreglen

Δ y  f͏x͏x͏f͏x ( ) ( ) + Δ −
       00

a_{s} ==

ΔΔ xx

            22
Δ y () x͏x͏x + Δ −
      00

a_{s} ==

ΔΔ xx

Δ y x͏x͏x͏x͏x + Δ + Δ − 2
      00

a_{s} ==

ΔΔ xx

Δ → = Δ + →_{00} x͏x͏x͏x 0 2 2

2 2 0 2

                                                 2
A = differentialkvotient (tangenthældning). Funktion f(x)=x er differentiabel i tallet x , fordi jeg

t 0

                       2                                 2
netop har bevist ovenfor, at x har differentialkvotienten 2x. Dvs f(x)=x har i punktet x

0 tangenthældning 2x.

0

Tangentligning

Eksempel:

y͏f͏x͏f͏x͏x͏x = + ⋅ − ( ) '( ) ( )
      000

x_{0} = 1
y͏f͏f͏x = + ⋅ − (1) '(1) ( 1)

Da f(x) er x^{2} er f(1)=1^{2}:

0

yx = + ⋅ − 1 2 ( 1)
yx =− 21

Side 32

Side 32 af 43

Ret linje: y = ax +b

For at bruge denne ligning, skal man kende a og et punkt (x,y).

0 0

y͏f͏x͏f͏x͏x͏x = + ⋅ − ( ) '( ) ( ) Omskrives til:
      000

y͏y͏a͏x͏x − = − ()
    00

f(x ) = y
  00

fx '( ) en konstant vi kalder a =

FORDI:

BEVIS FOR DETTE:

y͏ax͏b =+

y͏ax͏b =+ *
 00

y͏ax͏b͏y =+ Man trækker fra hver side_{0}

y͏y͏ax͏b͏y͏y͏+ − = + − kan også skrives  som (*) ax͏b
                                               0

0 0 0

Der skal findes en sammenhæng mellem disse to ligninger.

y͏y͏ax͏b͏ax͏b − = + − + ( ) Hæv parantes
    00

y͏y͏ax͏b͏ax͏b − = + − − b går ud med hinanden
    00

y͏y͏ax͏a͏x −=− a sættes udenfor en parentes
    00

y͏y͏a͏x͏x − = − ()
    00

Side 33

Side 33 af 43

12. Differentialregning

Bevis regnereglen for differentiation af en sum eller differens af to funktioner. Kom ind på monotoniforhold og optimering.

Disposition

1. Først vil jeg bevise regnereglen for, hvordan man differentierer en sum/differens.

2. Herefter vil jeg forklare om monotoniforhold.

3.og til sidst vil jeg forklare om optimering og komme med et eksempel på, hvordan man regner dette ud.

Regnereglen for, hvordan man differentierer en sum/differens

Hvis f og g er differentiable funktioner:

h(x) = f(x) ± g(x) h’(x) = f’(x) ± g’(x)

Δ + Δ − + Δ + + Δ − + y͏h͏x͏x͏h͏x͏f͏x͏x͏g͏x͏x͏f͏x͏g͏x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
a_{s} = = =

Δ Δ Δ x͏x͏x

f͏x͏x͏f͏x͏g͏x͏x͏g͏x ( ) ( ) ( ) ( ) + Δ − + + Δ −
a_{s} =

Δ x

f͏x͏x͏f͏x͏g͏x͏x͏g͏x ( ) ( ) ( ) ( ) + Δ − + Δ −
a_{s} =+

ΔΔ xx

Da f og g er differentiable, ved jeg, at de to brøker har grænseværdierne f '(x) og g '(x) for gående mod 0. Man kan desuden bevise, at grænseværdien Δ x

a͏f͏x͏g͏x͏x = + Δ '( ) '( ) for --> 0
 s

for en sum er summen af grænseværdierne. Derfor får man:

Dvs. h'(x)=f '(x)+g'(x)

Monotoniforhold

Her bestemmer man grafens forløb (minimum, maksimum, lokal minimum, lokal maksimum)

Man sætter f’(x) = 0. Det vil sige, at man finder de steder, hvor tangenten har hældning 0.

Måde man udregner monotoniforhold for en graf (eksempel):

Side 34

Side 34 af 43

3 1 2 1 1 1 − − −

f͏x͏x͏x͏x ( ) 2 = − −

f͏x͏x͏x͏x͏x '( ) 3 2 2 2 1 = ⋅ − ⋅ − − ⋅

       2
f͏x͏x͏x '( ) 2 = − −

xx^{2} − − = 20

      2
solve͏x͏x͏x ( 2, ) −−

x =− 1, x=2

11_{32}

32

11

32

Monotoniskema: x -1 2

f’(x) + 0 - 0 +
f’(-2)=4 f’(0)= -2 f’(4)=10

f(x) lokalt max lokalt min

f − ∞ − ∞ er voksende i: ] , 1] og ]2, [

f er aftagende i: ]-1,2]

Optimering

Bruges til at bestemme hvornår noget er størst eller mindst. Fx hvordan produktion af majs bliver størst eller mindst.

Eksempel (side 90+91 i MAT B2):

Man har et litermål med radius x og højde h. Forbruget af stål er bestemt af overfladearealet, der er givet ved:

Side 35

Side 35 af 43 ππ π π π

        2
O͏x͏x͏xh ( ) 2 =+

V= 1 xh^{2} =

        2          2
O͏x͏x () =+    =+ x

h= , og indsættes i O(x).
     2

Jeg vil nu stemme den værdi af x, der giver MINDST areal.

Rumfanget skal være en liter. Rumfanget sættes lig med 1.

Højden isoleres:

1

2 x 2 x π π π π π π π π π

O'(x)=2 x −
            2

20 x −=
       2

2 1 0 x −=

x^{3} =

 3
    3
x =

x = 0,683

x^{2} x

3

                                         3
Nu ved jeg, at O(x) har et globalt minimun for x= , dette sættes ind på x's pla ds:

For at finde minimum, benytter man monotoniforholdsmetoden.

2

2

1

1

1 x x π ππ π

               2
  33
O(   ) *( ) 4,394 = + =

3

1 1 2

1

Så måden at finde minimum på er, ved at beregne monotoniforholdet, finde minimummet (dette er en x-værdi), og sætte det ind i den originale formel.

Side 36

Side 36 af 43

13. Differential- og integralregning

Definer begrebet stamfunktion. Forklar integrationsprøven. Forklar hvad der forstås ved hhv.

ubestemt og bestemt integral.

Disposition

1. Først vil jeg definere begrebet stamfunktion.

2. Bagefter vil jeg hurtigt give et eksempel på, hvad integrationsprøven kunne være.

3. Til sidst vil jeg forklare, hvad et ubestemt integral er, og hvad et bestemt integral er. Herunder vil jeg bevise sætningen om arealfunktionen.

Stamfunktion

Definitation

F(x) er en stamfunktion til f(x) hvis og kun hvis:

F'(x) = f(x)

f F(x)

5 5x+k
2x X^{2} + k

Eksempler

Den defirentierede ligning hedder: f(x) = 5x^{2} + 3x +1

Integreret hedder den så: 1,66667x + 1,5x^{2} + x

3

Sagt med egne ord / Guldkorn

- Hvis man har en defirentieret ligning. Fx: f(x) = 5x^{2} + 3x +1. For så at finde, hvordan man

har “fundet” den, skal man integrerer den, og så har man svaret.

- Når man integrerer, betyder det, at man skal finde stamfunktionen.

- Det omvendte af diffenrenierer, er at integrerer.

Side 37

Side 37 af 43

Integrationsprøven

Man har fundet en stamfunktion F(x) til f(x), og ønsker at tjekke om den er rigtig ved at differentiere F(x).

Eksempel:

Er F(x) = ½x^{2} +7e^{x} -7x en stamfunktion til f(x) = x + 7e^{x} - 7.

Udregn F’(x): F(x) = ½x + 7e^{x} - 7x

2

F’(x) = ½ ∙ 2x + 7e -7

x

F’(x) = x+7e -7

x

Det vil sige: F(x) er stamfunktion til f(x).

Ubestemt integral

=+

  23
 3 x͏dx͏x͏c
∫

Dete gør man, for at angive, at funktionen 3 har stamfunktion x . x^{23}

Dette er et eksempel på en skrivemåde for en stamfunktion:

At funktionen f(x) har stamfunktionen F(x), skriver man sålede s:

( ) ( ) =+
∫^{f͏x͏dx͏F͏x͏c}
∫

                                        2
Symbolet kaldes et ubestemt integral, og 3x og f(x) er integranten.

Symbolet dx efter integranten, fortæller, at det er x der er variablen (der kunne også stå fx a).

Bestemt integral – Definition

Antag at f(x) er defineret i [a;b] og har stamfunktionen F(x).

Tallet F(b)-F(a) kaldes integralet fra a til b af f(x) og betegnes med symbolet (f(x) kaldes integranden):

∫^{b}^{f͏x͏dx}^{()}

a

Et bestemt integral afgrænser et areal via dens grænser (i ovenstående tilfælde, a og b).

EKSEMPEL PÅ NÆSTE SIDE:

SIDE 113 I BOGEN (B2) – SKITSER GRAF + SKRAVER AREAL

Side 38

Side 38 af 43

      2
f͏x͏x ( ) 1 =+

    2
A͏x͏dx͏x͏x = + = + = ⋅ + − ⋅ + = = ( 1) [ ] ( 2 2) ( 1 1) 3,33
                      1
    1

∫

2 3 2 3 3

1 1 1 10

3 3 3 3

Arealfunktion – Side 111 i MAT B2

Arealfunktionen A(x) for en funktion f(x) er differentiabel, og der gælder:

A’(x) = f(x) Arealfunktionen er stamfunktion til f(x)
Δ + Δ − a͏A͏x͏x͏A͏x ( ) ( )
a_{s} ==

ΔΔ xx

Arealtilvæksten ( ) er lig med arealet under grafen Δ = + Δ A͏A͏x͏x
fra a til x+ minus arealet fra a til x. Δ x

Ovenstående kan ikke reduceres, så man går videre i tretrinsreglen,

hvor man und ersøger om a / har en grænseværdi for 0. = Δ Δ Δ → A͏x͏x
                       s

f(x) ( ) ) ⋅Δ ≤ Δ ≤ + Δ ⋅Δ x͏A͏f͏x͏x͏x

Da 0 kan man dividere med hvert led: Δ> x

f(x) ( ) ) ⋅Δ Δ + Δ ⋅ x͏A͏f͏x͏x Δ x
≤≤

ΔΔ xx Δ x

Funktionen f er forudsat til at være voksende, derfor må det gælde:

Δ A

f͏x͏f͏x͏x ( ) ( ) ≤ ≤ + Δ

Δ x

Δ A

→ Δ → f͏x͏x ( ) fordi 0

Δ x

Hermed er det vist at:

Side 39

Side 39 af 43

14. Differential- og integralregning

Definer begrebet ubestemt integral og bevis dets sammenhæng med bestemmelse af arealer.

Disposition

1. Først vil jeg kort definere begrebet ubestemt integral.

2. Bagefter vil jeg bevise sammenhængen mellem et ubestemt integral, og hvordan man bestemmer arealer, ved at bevise arealfunktionen.

Ubestemt integral

=+

  23
 3 x͏dx͏x͏c
∫

Dete gør man, for at angive, at funktionen 3 har stamfunktion x . x^{23}

Dette er et eksempel på en skrivemåde for en stamfunktion:

At funktionen f(x) har stamfunktionen F(x), skriver man sålede s:

( ) ( ) =+
∫^{f͏x͏dx͏F͏x͏c}
∫

                                        2
Symbolet kaldes et ubestemt integral, og 3x og f(x) er integranten.

Symbolet dx efter integranten, fortæller, at det er x der er variablen (der kunne også stå fx a).

( ) ( )f͏x͏dx͏F͏x͏c =+, hvor F(x) er stamfunktionen til f(x) og c er konstant.
∫

= + ⇔ = ⇔ =( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )f͏x͏F͏x͏c͏A͏x͏f͏x͏f͏x͏f͏x

Bestemt integral – Definition

Antag at f(x) er defineret i [a;b] og har stamfunktionen F(x).

Tallet F(b)-F(a) kaldes integralet fra a til b af f(x) og betegnes med symbolet (f(x) kaldes integranden):

∫^{b}^{f͏x͏dx}^{()}

a

Et bestemt integral afgrænser et areal via dens grænser (i ovenstående tilfælde, a og b).

EKSEMPEL PÅ NÆSTE SIDE:

SIDE 113 I BOGEN (B2) – SKITSER GRAF + SKRAVER AREAL

Side 40

Side 40 af 43

      2
f͏x͏x ( ) 1 =+

    2
A͏x͏dx͏x͏x = + = + = ⋅ + − ⋅ + = = ( 1) [ ] ( 2 2) ( 1 1) 3,33
                      1
    1

∫

2 3 2 3 3

1 1 1 10

3 3 3 3

Arealfunktion – Side 111 i MAT B2

Arealfunktionen A(x) for en funktion f(x) er differentiabel, og der gælder:

A’(x) = f(x) A(x) (Arealfunktionen) er stamfunktion til f(x) Derfor: A(x) = F(x)+k
Δ + Δ − a͏A͏x͏x͏A͏x ( ) ( )
a_{s} ==

ΔΔ xx

Arealtilvæksten ( ) er lig med arealet under grafen Δ = + Δ A͏A͏x͏x
fra a til x+ minus arealet fra a til x. Δ x

Ovenstående kan ikke reduceres, så man går videre i tretrinsreglen,

hvor man und ersøger om a / har en grænseværdi for 0. = Δ Δ Δ → A͏x͏x
                       s

f(x) ( ) ) ⋅Δ ≤ Δ ≤ + Δ ⋅Δ x͏A͏f͏x͏x͏x

Da 0 kan man dividere med hvert led: Δ> x

f(x) ( ) ) ⋅Δ Δ + Δ ⋅ x͏A͏f͏x͏x Δ x
≤≤

ΔΔ xx Δ x

Funktionen f er forudsat til at være voksende, derfor må det gælde:

Δ A

f͏x͏f͏x͏x ( ) ( ) ≤ ≤ + Δ

Δ x

Δ A

→ Δ → f͏x͏x ( ) fordi 0

Δ x

Hermed er det vist at:

Side 41

Side 41 af 43

15. Andengradsligning, det gyldne snit og Fibonacci-tallene

Definer det gyldne rektangel og bevis hvorfor forholdet mellem den lange og korte side er givet ved

det gyldne snit: Φ = ≈ 1,618...

15 +

2

Kom ind på sammenhængen mellem det gyldne snit og Fibonacci-tallene.

Disposition

1. Først vil jeg definere det gyldne retangel.

2. Bagefter vil jeg bevise formlen for det gyldne snit (fi)

3. Til sidst vil jeg vise, at der er en sammenhæng mellem det gyldne snit og Fibonacci-tallene.

Et rektangel ABCD kaldes et gyldent rektangel, hvis det opfylder følgende:

Når vi skærer et kvadrat ABEF væk, så får vi et nyt rektangel ECDF, som er ligedannet med det store rektangel ABCD:

.

Når rektanglerne er ligedannede gælder x y x + xy

=, (1)

dvs. forholdet mellem den lange og den korte side er ens for de to rektangler.

Forholdet mellem x og y kaldes for det gyldne snit, og betegnes med Φ.

Derfor: Φ= (eller Φ=).

x y x xy + x y x C x y

D

F

B E

A

A x+y

x+y

x x y

D

C

E

D F

C

B

Side 42

Side 42 af 43

Bevis for hvorfor forholdet mellem den lange og korte side er givet ved det gyldne snit

2 2 2

 22
x xy   y

 222
yyy

xx_{2}

= Omskrives til

x -xy-y 0 Der deles med y i hvert led =

- - 0 =

( ) 1 Dette står nu som en andeng −− radsligning. Da vi er interesseret i at finde ud af,

y y x y x + xy forholdet beregner vi det vi har nu, som en andengradsligning.

x y x

= z Derfor kan man omskrive det således:

y

zz^{2} − − = 1 0 Dette er en 2.gradsligning hvor:

    22
d = b 4 --> 1 +4 + = − ⋅11 ac d ⋅−

a = 1
b = -1
c = -1

Nu skal "d" regnes ud vha:

d = 5
− ± − − ± bd ( 1) 5
z = --> z =

2 2 1 a ⋅

15 +

z = 1,618... =

2

15 +

Konklusion: 1,618... Det gyldne snit er lig med Φ = ≈

2

BONUS

Hvis man differentiere den ser det således ud

-Φ’ = x / x+ y = 0,618
Φ’ = x / x+ y = - 0,618

15 −

z = 0,618.. =−

2 som er det samme som minus Φ’ (det gyldne snit).

Side 43

Side 43 af 43

Sammenhængen mellem det gyldne snit og Fibonacci-tallene

Fibonacci-tallene er den talrækkefølge:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …, der opstår ved, at »det næste element« dannes som summen af de to foregående.

Reglen for Fibonacci-tallene er derfor: u u u_{−−} +=

21n n n u u u u u u u u u u u u u u u

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

Hvis man dividerer med u n-1 på begge sider, ser den sådan her ud:

u / u = u + u / u

n n-1 n-1 n-2 n-1

som så bliver =+ 1.

− 2
uu_{nn}_{−−}_{11}

uu_{nn}

Og det bliver altid 1,618, som er det samme som det gyldne snit.

Fx: u = 21, u =13
8 8-1=7

21 / 13 = 1,618

DERFOR:

Når man tager et tal og deler med det foregående, vil man, desto højere tallene bliver, komme

tættere og tættere på 1,618 = Det gyldne snit 🡪 SAMMENHÆNG