Et eksempel fra HTX 2. år
Matematik notater til 2.g HTX
Se, hvordan en færdig opgave er bygget op. Brug den til at forstå form, struktur og faglige valg.
Om opgaven
Opgaven er skrevet af en elev i HTX 2. år i Matematik B og fylder 27 sider. Navne og andre personoplysninger er fjernet. Brug den til at se, hvordan opgaven er bygget op, og hvilke valg eleven har truffet undervejs. Den kan ikke afleveres som din egen: teksten ligger åbent på nettet og fanges af plagiatkontrollen.
Opgavens overskrifter
- Optimering – Differential regning (s.136)
- Stamfunktioner
- Bestemmelse af arealer med Integralregning
- Areal og stamfunktion
- Areal og det bestemte integrale
- Arealbestemmelse vha. stamfunktion
- Eksempel
- Bestemte integrale
- Indskudsreglen
- Sætning
- Bevis
- Integralers fortegn
- Graf over og under x-aksen
- 1) Graf under x-aksen
- 2) Graf både over og under x-aksen
- Areal mellem grafer
- Vektor regning
- Vektorregning i planen
- Definition af vektordifferen
- Regneregler for vektorer
- Geometrisk konstruktion af vektorsum
- Punkter og Vektorer
- Vektorer mellem Punkter
- Indskudsregelen/-sætning
- Anvendelse af sted vektorer og indskudsregel
- 1. Midtpunkt af en side i en trekant
- 2. Medianernes skæringspunkt
- Opløsning i komposanter
- Def. Prikprodukt/skalarprodukt
- Regneregler for prik-/skalarprodukt, s.100
Uddrag fra opgaven
Optimering – Differential regning (s.136)
Eksempel
Et rektangel har omkredsen 40m, vi ønsker at bestemme sidelængderne i rektanglet så arealet er størst muligt. Arealet, A, skal optimeres. A=x*Y Omkredsen, O=2x+2y=40 Vi isolerer den ene variabel, y i ligningen for O. , 0<x<20!
A´(x)=-2x+20=0 x=10 X Y Y x Fortegnslinje: x 0 10 20 A´(x) A(x) Arealfunktionen A(x) har maksimumssted i x=10 og A(10)=100 Eksempel 9, s. 141læsebogen. Maks 2,5km m 3 km Bil: 40km/t Båd: 20km/t <- X -> 3-X S L
Stamfunktioner
Enhver kontinuer funktion har en stamfunktion. Eks. Vis at jeg benytter integrationsprøven på højre side: Hyppigt anvendte stamfunktioner: Eksempel: bestem den stamfunktion til Hvis graf går gennem punktet (3;27) jeg finder en vilkårlig stamfunktion: =F(x) F(3)=27
Bestemmelse af arealer med
Integralregning
Areal og stamfunktion
Definition På en arealfunktion A(x): Krav: Givet en funktion f, hvor f er kontinuer i et interval (graf sammenhængende), f er voksende og funktionsværdier er ikke negative (graf ligger ikke under x-aksen). Så definerer vi arealfunktionen A(x), som arealet mellem grafen for f og x-aksen fra a til x. f A(x) a x T(sekunder) S(t) s(t) = stedfunktion s’(t) = v(t) hastighedsfunktion v’(t)=a(t)=accelerationsfunktion sætning: Arealfunktion, A(x) for en kontinuer, ikke negative, funktion f(x) er differentiabel med den afledede funktion f(x) dvs: A’(x)=f(x) og A’(x )=f(x Dvs. A(x) er en stamfunktion til f(x). Bevis: Betingelser f er voksende og h>0 Når vi skal vise at A(x) er differentiabel benytter vi 3-trinsreglen. Opskriv differenskvotienten: Finde en evt. grænseværdi for Dvs. a x x +h a x x +h a x x +h
Areal og det bestemte integrale
Arealbestemmelse vha. stamfunktion
Sammenhængen mellem A(x) og f(x): A’(x)=f(x) Sammenhængen mellem 2 stamfunktioner, A(x) og F(x), til f(x): F(x)=A(x)+k f(x) A(b) a b Sætning: Hvis f er kontinuert og ikke negativ i [a,b] så kan arealet A, mellem grafen for f og x-aksen i [a,b] beregnes ved: A=F(b)-F(a) Hvor F er en vilkårlig stamfunktion til f.
Eksempel
Bestem arealet i [0,2] mellem grafen for f og x-aksen.
Bestemte integrale
Definition: Venstre side lad f være en kontinuert funktion med stamfunktionen F. Det bestemte integrale af f i [a,b] Skrives og beregnes således: Højre side
Eksempel
Beregning af areal mellem grafen for og x-aksen i [1,4]
Indskudsreglen
Sætning
Givet f er kontinuert i et interval I, hvor a, b, c I Uanset c’s beliggenhed i forhold til a og …
Uddraget er læst maskinelt fra elevens PDF, så enkelte ord kan stå forkert. Hele opgaven står herunder.