Matematik notater til 2.g HTX

Optimering – Differential regning (s.136)

Eksempel

Et rektangel har omkredsen 40m, vi ønsker at bestemme sidelængderne i rektanglet så arealet er størst muligt. Arealet, A, skal optimeres. A=x*Y Omkredsen, O=2x+2y=40 Vi isolerer den ene variabel, y i ligningen for O.   , 0<x<20!

A´(x)=-2x+20=0 x=10 X Y Y x Fortegnslinje: x 0 10 20 A´(x) A(x) Arealfunktionen A(x) har maksimumssted i x=10 og A(10)=100 Eksempel 9, s. 141læsebogen. Maks 2,5km m 3 km Bil: 40km/t Båd: 20km/t <- X -> 3-X S L

Stamfunktioner

Enhver kontinuer funktion har en stamfunktion. Eks. Vis at jeg benytter integrationsprøven på højre side: 󰇛 Hyppigt anvendte stamfunktioner: Eksempel: bestem den stamfunktion til  Hvis graf går gennem punktet (3;27) jeg finder en vilkårlig stamfunktion:    =F(x) F(3)=27

Bestemmelse af arealer med

Integralregning

Areal og stamfunktion

Definition På en arealfunktion A(x): Krav: Givet en funktion f, hvor f er kontinuer i et interval (graf sammenhængende), f er voksende og funktionsværdier er ikke negative (graf ligger ikke under x-aksen). Så definerer vi arealfunktionen A(x), som arealet mellem grafen for f og x-aksen fra a til x. f A(x) a x T(sekunder) S(t) s(t) = stedfunktion s’(t) = v(t) hastighedsfunktion v’(t)=a(t)=accelerationsfunktion sætning: Arealfunktion, A(x) for en kontinuer, ikke negative, funktion f(x) er differentiabel med den afledede funktion f(x) dvs: A’(x)=f(x) og A’(x )=f(x Dvs. A(x) er en stamfunktion til f(x). Bevis: Betingelser f er voksende og h>0 Når vi skal vise at A(x) er differentiabel benytter vi 3-trinsreglen. Opskriv differenskvotienten: Finde en evt. grænseværdi for Dvs.  a x x +h a x x +h a x x +h

Areal og det bestemte integrale

Arealbestemmelse vha. stamfunktion

Sammenhængen mellem A(x) og f(x): A’(x)=f(x) Sammenhængen mellem 2 stamfunktioner, A(x) og F(x), til f(x): F(x)=A(x)+k f(x) A(b) a b Sætning: Hvis f er kontinuert og ikke negativ i [a,b] så kan arealet A, mellem grafen for f og x-aksen i [a,b] beregnes ved: A=F(b)-F(a) Hvor F er en vilkårlig stamfunktion til f.

Eksempel

Bestem arealet i [0,2] mellem grafen for f og x-aksen.

Bestemte integrale

Definition: Venstre side lad f være en kontinuert funktion med stamfunktionen F. Det bestemte integrale af f i [a,b] Skrives og beregnes således: Højre side

Eksempel

Beregning af areal mellem grafen for   og x-aksen i [1,4]

Indskudsreglen

Sætning

Givet f er kontinuert i et interval I, hvor a, b, c I Uanset c’s beliggenhed i forhold til a og …