Potensregneregler: reglerne, beviserne og opgaver med facit

Potensregnereglerne fortæller, hvad du gør med eksponenterne, når du ganger, dividerer og opløfter potenser. Her får du alle reglerne samlet ét sted, et bevis for hver af dem, forklaringen på a⁰ = 1 og negative eksponenter, de fejl, du skal holde øje med, og opgaver med facit fra matematik C til A.

Af Emil Brandt Rex, gymnasielektor i dansk og historie· Sidst opdateret 13. oktober 2026

Kort fortalt

Hvad er potensregnereglerne?

Potensregnereglerne er reglerne for at regne med tal som 2⁵ og x³. Har potenserne samme grundtal, lægger du eksponenterne sammen, når du ganger: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Du trækker dem fra hinanden, når du dividerer: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Og du ganger dem, når du opløfter en potens i en ny potens: (aᵐ)ⁿ = a^(m · n). Desuden er a⁰ = 1 og a⁻ⁿ = 1 / aⁿ, når a ≠ 0, og en rod er en potens med en brøk som eksponent: √a = a^(1/2), når a > 0. For plus og minus findes der ingen potensregel.

Se alle reglerne samlet
Se hvorfor de gælder
Regn opgaverne med facit

Dit niveau

Hvad skal du kunne på dit niveau?

Matematik C, stx

Kernestoffet har potens og rod under tal og algebra. Vejledningen nævner potensregnereglerne og kvadratsætningerne, og rødder bruger du som det modsatte af at opløfte, fx når du løser x³ = 10. Prøven er mundtlig.

Matematik B, stx og hf

Det samme som på C. Vejledningerne tilføjer det udvidede potensbegreb: at skrive en rod om til en potens og tilbage igen. Du skal også kunne regne enkle udtryk med kvadratrodstegn. Ved første delprøve af den skriftlige prøve må du kun bruge formelsamlingen.

Matematik A, stx

Det samme som på B. Den skriftlige prøve varer fem timer og er også todelt. Reglerne går igen i differential- og integralregningen, fx når √x skal skrives som x^(1/2), før du differentierer.

Matematik C, hf

Kernestoffet har potens og rod. Vejledningen siger, at potensregnereglerne kan tages op, når et bevis har brug for dem, og du skal kunne løse en potensligning som x³ = 10. Den skriftlige prøve varer tre timer og er todelt, og ved første delprøve må du kun bruge formelsamlingen. Der er også en mundtlig prøve.

Siden følger læreplanerne fra 2024 og vejledningerne fra november 2025. De andre emner i tal og algebra, fx ligninger og omskrivninger, finder du i noterne til matematik.

På denne side

Start her

Fra papirfold til regel

Tag et stykke papir, og fold det på midten. Nu ligger det i 2 lag. Fold det igen, og der er 4 lag. Hver gang du folder, fordobles antallet af lag. Efter 3 fold er der 2 · 2 · 2 = 8 lag, og det skriver man kortere som 2³.

Fold 3 gange mere. Antallet af lag fordobles 3 gange til, så du ganger med 2³ igen: 2³ · 2³ = 2⁶ = 64 lag. Du har foldet 3 + 3 = 6 gange, og derfor lægger du eksponenterne sammen. Det er den første regel.

Fold nu de 2 sidste fold op igen. Så halverer du 2 gange: 2⁶ / 2² = 2⁴ = 16 lag. Du har 6 − 2 = 4 fold tilbage, og eksponenterne trækkes fra hinanden. Det er den anden regel. Folder du det hele op, er der 1 lag og 0 fold tilbage. Det passer med, at 2⁰ = 1.

Del med 2, og se mønstret

potensværdi
2³8
2²4, altså 8 / 2
2¹2, altså 4 / 2
2⁰1, altså 2 / 2
2⁻¹1/2, altså 1 / 2
2⁻²1/4, altså 1/2 / 2

Går du én ned i eksponenten, deler du med 2. Fortsætter du under nul, får du brøker: 2⁻¹ = 1/2 og 2⁻² = 1/4. Med det positive grundtal 2 giver en negativ eksponent altså en positiv brøk. Mønstret er ikke et bevis, men det viser, hvorfor reglerne ser ud, som de gør. Beviserne kommer længere nede.

Huskeregel

Eksponenten tæller, hvor mange gange grundtallet er ganget på.

Ganger du to potenser med samme grundtal, tæller du faktorerne sammen. Dividerer du, fjerner du nogle af dem igen.

Ordene

Hvad er en potens?

En potens er et tal skrevet som aⁿ. Tallet a nede på linjen hedder grundtallet, og det lille, hævede tal n hedder eksponenten. Er n et naturligt tal, altså 1, 2, 3 og så videre, betyder aⁿ, at du ganger a med sig selv, så der i alt står n faktorer.

Formel: aⁿ = a · a · … · a, med n faktorer

Sig det: a i n’te er a ganget med sig selv, så der står n faktorer.

Bland ikke potens og gange sammen. 2⁵ er 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, mens 2 · 5 kun er 10. På lommeregneren og i dit CAS-program (computeralgebrasystem) skriver du 2^5. Er der mere end ét tegn i eksponenten, så sæt parentes: 2^(n+1). At regne en potens ud kaldes at opløfte, og det modsatte er at uddrage en rod.

Hierarkiet

Potensen før gangen og fortegnet

I regningsarternes hierarki kommer potenser og rødder lige efter parenteserne og før gange, division, plus og minus. Derfor gælder en potens kun det tal, den står lige ved.

3 · 4² = 3 · 16 = 48, men (3 · 4)² = 12² = 144.

−3² = −9, fordi du først regner 3² ud og derefter sætter minus foran. (−3)² = (−3) · (−3) = 9, fordi parentesen gør minus til en del af grundtallet.

At opløfte i anden og at tage kvadratroden ophæver hinanden. For et positivt tal er det derfor ligegyldigt, hvad du gør først: (√16)² og √(16²) giver begge 16. For et negativt tal gælder det ikke; se fælderne med rødder længere nede.

Oversigten

Alle reglerne samlet

Reglerne 1 og 2 kræver samme grundtal. Reglerne 4 og 5 kræver samme eksponent. Med hele tal som eksponenter gælder reglerne for alle grundtal, når du ikke dividerer med 0. Er eksponenten en brøk, skal grundtallene være positive. I formelsamlingen hedder eksponenterne r og s i stedet for m og n.

1. Gange med samme grundtal

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Eksempel: 2⁴ · 2³ = 2⁷ = 128.

2. Dividere med samme grundtal

aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, når a ≠ 0. Eksempel: 10⁶ / 10² = 10⁴ = 10 000.

3. Potens af en potens

(aᵐ)ⁿ = a^(m · n). Eksempel: (2²)³ = 2⁶ = 64.

4. Potens af et produkt

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ. Eksempel: (2 · 5)³ = 8 · 125 = 1 000.

5. Potens af en brøk

(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ, når b ≠ 0. Eksempel: (2/3)³ = 8/27.

6. Nul som eksponent

a⁰ = 1, når a ≠ 0. Eksempel: 2026⁰ = 1.

7. Negativ eksponent

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ, når a ≠ 0. Eksempel: 10⁻³ = 1/1 000 = 0,001.

8. Rod som potens

ⁿ√a = a^(1/n), når a > 0. Eksempel: ³√27 = 27^(1/3) = 3.

9. Rod af en potens

ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n), når a > 0. Eksempel: 8^(2/3) = (³√8)² = 4.

Regel 1: a i m’te gange a i n’te er a i m plus n’te.

Regel 2: a i m’te divideret med a i n’te er a i m minus n’te, når a ikke er 0.

Regel 3: a i m’te, opløftet i n’te, er a i m gange n’te.

Regel 4: a gange b i n’te er a i n’te gange b i n’te.

Regel 5: a divideret med b i n’te er a i n’te divideret med b i n’te, når b ikke er 0.

Regel 6: a i nulte er 1, når a ikke er 0.

Regel 7: a i minus n’te er 1 divideret med a i n’te, når a ikke er 0.

Regel 8: den n’te rod af a er a i en n’tedel, når a er positiv.

Regel 9: den n’te rod af a i m’te er a i m n’tedele, når a er positiv.

Huskeregel

Gange: læg eksponenterne sammen. Dividere: træk fra. Potens af en potens: gang.

Det gælder kun, når grundtallet er det samme. 2³ · 5³ kan du samle til (2 · 5)³ = 10³ med regel 4, men 2³ · 5⁴ kan du ikke samle til én potens.

Beviserne

Hvorfor reglerne gælder

Reglerne 1-5 følger direkte af definitionen: du tæller faktorer. Beviserne herunder er for naturlige eksponenter, og de er korte nok til at blive vist ved tavlen. Hvordan reglerne kommer til at gælde for 0, negative tal og brøker, står i afsnittet bagefter.

aᵐ er m faktorer, der alle er a, og aⁿ er n faktorer. Ganger du dem, står der først m faktorer og så n faktorer, altså m + n faktorer i alt.

aᵐ · aⁿ = (a · … · a) · (a · … · a) = a · … · a med m + n faktorer = aᵐ⁺ⁿ.

Tjek med tal: 2⁴ · 2³ = (2 · 2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 2⁷.

Lad m være større end n, og lad a ≠ 0. I brøken aᵐ / aⁿ står der m faktorer a i tælleren og n i nævneren. Du forkorter med de n faktorer, der står begge steder, og tilbage i tælleren er der m − n faktorer: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.

Betingelsen a ≠ 0 skal med, fordi du ellers dividerer med 0.

(aᵐ)ⁿ betyder aᵐ ganget med sig selv n gange. Hver af de n faktorer rummer m faktorer a, så der er n grupper med m faktorer i hver: m · n faktorer i alt.

(aᵐ)ⁿ = aᵐ · aᵐ · … · aᵐ = a^(m · n). Med regel 1 lægger du m til sig selv n gange, og det giver m · n.

(a · b)ⁿ er n faktorer, der hver er a · b. Når du kun ganger, må du bytte rundt på faktorerne, så du samler alle a’erne for sig og alle b’erne for sig: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.

Brøken følger på samme måde. (a / b)ⁿ er n ens brøker ganget sammen, og når du ganger brøker, ganger du tællerne for sig og nævnerne for sig. Så står der aⁿ / bⁿ. Her skal b ≠ 0.

Reglen virker ikke for plus. (a + b)² er (a + b) · (a + b), og når du ganger ud, får du a² + b² + 2 · a · b. Det er første kvadratsætning.

Det udvidede potensbegreb

Nul, negative tal og brøker som eksponent

Definitionen med n faktorer giver kun mening, når n er 1, 2, 3 og så videre. Du kan ikke gange a med sig selv nul gange eller minus to gange. Derfor bestemmer man, hvad a⁰, a⁻ⁿ og a^(1/n) skal betyde, sådan at reglerne bliver ved med at gælde. I vejledningerne til B og A hedder det “det udvidede potensbegreb”. Eksponenten går op ad en trappe: fra de naturlige tal over de hele tal til brøker.

Brug regel 2 på en brøk, hvor tæller og nævner er ens: aⁿ / aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰. Men et tal divideret med sig selv er 1. Skal regel 2 også gælde her, må a⁰ være 1.

Betingelsen a ≠ 0 kommer fra divisionen. Med a = 0 dividerer du med 0, så 0⁰ er ikke dækket af reglen, og matematikere er ikke enige om, hvad 0⁰ skal være.

Brug regel 2 igen, nu med a⁰ i tælleren: a⁰ / aⁿ = a⁰⁻ⁿ = a⁻ⁿ. Tælleren a⁰ er 1, så venstresiden er 1 / aⁿ. Derfor er a⁻ⁿ = 1 / aⁿ.

Det er det, tabellen med halveringen viste: 2⁻² = 1 / 2² = 1/4. Med en brøk som grundtal vender du brøken om: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.

Lad a > 0, og brug regel 3 på a^(1/n) opløftet i n: (a^(1/n))ⁿ = a^(n/n) = a¹ = a. Tallet a^(1/n) er altså det positive tal, der giver a, når du opløfter det i n. Det er netop den n’te rod. Er n lige, findes der også et negativt tal, der giver a: både 4² og (−4)² er 16. Roden er den positive af dem, så 16^(1/2) = √16 = 4.

Når 1/n er på plads, følger resten af regel 3: a^(m/n) = (a^(1/n))ᵐ = (ⁿ√a)ᵐ, og det er det samme som ⁿ√(aᵐ).

Ved brøkeksponenter skal a > 0. Prøv med a = −8. Tredjeroden af −8 er −2, fordi (−2)³ = −8. Men 1/3 er det samme tal som 2/6, og bruger du regel 9 med 2/6, får du sjetteroden af (−8)², altså sjetteroden af 64, og den er 2.

Samme eksponent giver to forskellige svar. Derfor bruger man kun brøkeksponenter med positive grundtal. Står der et negativt grundtal, så regn det i hånden og tjek, hvad dit CAS-program har regnet.

Potens og rod

Rødder er potenser med en brøk

Kvadratroden af a er det tal, der ganget med sig selv giver a og ikke selv er negativt. Derfor er √16 = 4 og ikke −4, og √0 = 0. Tredjeroden af a er det tal, der opløftet i tredje giver a. Som potenser skrives de √a = a^(1/2) og ³√a = a^(1/3). Så kan du regne med rødder efter de samme regler som med potenser.

Formel: ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n), når a > 0

Sig det: den n’te rod af a i m’te er a i m n’tedele.

Tælleren i brøken er potensen, og nævneren er roden. Du kan tage dem i den rækkefølge, der giver de nemmeste tal: 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8. Den anden vej, ⁴√(16³) = ⁴√4 096, giver også 8, men med større tal undervejs.

En negativ brøkeksponent giver en rod i nævneren: 9^(−1/2) = 1 / √9 = 1/3.

På C bruger du rødder som det modsatte af at opløfte. Løs x³ = 10: x = ³√10 = 10^(1/3) ≈ 2,154. Tjek: 2,154³ ≈ 9,99.

En brøkeksponent kan give et tal, der ikke selv er en brøk: 2^(1/2) = √2 ≈ 1,414 kan ikke skrives som en brøk med hele tal.

Faldgruben

To fælder med rødder

√(x²) er ikke altid x. Er x = −5, er √((−5)²) = √25 = 5. Det rigtige er √(x²) = |x|, den numeriske værdi af x.

√(a + b) er ikke √a + √b: √(9 + 16) = √25 = 5, men √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Reglen √(a · b) = √a · √b gælder kun for gange, og kun når a og b ikke er negative: √(4 · 9) = √4 · √9 = 2 · 3 = 6.

Reduktion

Regn med bogstaver

I mange opgaver står der bogstaver i stedet for tal, og så skal du gøre udtrykket kortere. Det kaldes at reducere. Reglerne er de samme; der står bare x i stedet for 2.

Se sammenhængen

Sådan reducerer du et potensudtryk

Rækkefølgen virker på de fleste potensudtryk. Den holder dig fra at samle eksponenter, før parenteserne er væk.

  1. ParenteserFjern parenteser om produkter, brøker og potenser med regel 3, 4 og 5.
  2. Saml grundtalSaml potenser med samme grundtal: læg til ved gange, træk fra ved division.
  3. Ryd opSkriv negative eksponenter som brøk, eller omvendt, efter hvad opgaven beder om.
  4. KontrolSæt et tal ind, fx x = 2, i både udtrykket og svaret. Giver de forskellige tal, er der en fejl.
Samme vej med ord: Først fjerner du parenteserne med regel 3, 4 og 5. Så samler du potenser med samme grundtal. Derefter skriver du negative eksponenter om, hvis opgaven beder om det. Til sidst kontrollerer du ved at sætte et tal ind i både udtrykket og svaret.

Eksempel

Eksempel: (2x³)² · x⁻⁴

1. Parentesen

(2x³)² = 2² · (x³)² = 4 · x⁶ med regel 4 og 3.

2. Saml x’erne

4 · x⁶ · x⁻⁴ = 4 · x^(6 − 4) = 4x² med regel 1.

3. Kontrol med x = 2

(2 · 8)² · 2⁻⁴ = 256 / 16 = 16, og 4 · 2² = 16. Det passer.

Eksempel

Eksempel: (a⁵ · b²) / (a² · b⁴)

1. a for sig

a⁵ / a² = a³ med regel 2.

2. b for sig

b² / b⁴ = b⁻² = 1 / b² med regel 2 og 7.

3. Svaret og kontrollen

a³ / b². Med a = 2 og b = 3: (32 · 9) / (4 · 81) = 288 / 324 = 8/9, og 2³ / 3² = 8/9.

En kontrol med ét tal kan afsløre en fejl, men den beviser ikke, at omskrivningen er rigtig. Det gør kun reglerne. Vælg ikke 0 eller 1 som kontroltal: 1 i en hvilken som helst potens er 1, og 0 giver 0 eller division med 0, så du opdager ingenting.

Forkort kun faktorer. x⁵ / x² = x³, fordi x² er en faktor i både tæller og nævner. (x² + x) / x kan du forkorte, fordi x står i begge led i tælleren: (x² + x) / x = x · (x + 1) / x = x + 1, når x ≠ 0. Men (x² + 3) / x kan du ikke forkorte på samme måde, fordi 3 ikke har x som faktor.

Et polynomium som 3x⁴ − x² + 7 er en sum af led med potenser af x. Her samler du kun led med samme eksponent; x⁴ og x² bliver stående hver for sig. Mere om det står i noterne om polynomier og andengradsfunktioner.

Se forskellen

Fejl, der koster

✗ 2³ · 2⁴ = 4⁷

✓ 2³ · 2⁴ = 2⁷

Grundtallet bliver stående. Kun eksponenterne lægges sammen.

✗ (x³)² = x⁵

✓ (x³)² = x⁶

Potens af en potens: gang eksponenterne.

✗ x² + x³ = x⁵

✓ x² + x³ kan ikke samles til én potens

Der er ingen regel for plus. Du kan sætte x² uden for parentes: x² · (1 + x).

✗ (a + b)² = a² + b²

✓ (a + b)² = a² + b² + 2 · a · b

Regel 4 gælder kun for gange. (3 + 4)² = 49, men 3² + 4² = 25.

✗ 2⁻³ = −8

✓ 2⁻³ = 1/8

Med det positive grundtal 2 giver den negative eksponent en positiv brøk.

✗ −3² = 9

✓ −3² = −9

Potensen regnes før fortegnet. Skriv (−3)², hvis minus skal med.

✗ √(x²) = x

✓ √(x²) = |x|

Med x = −5 giver venstresiden 5.

✗ (x² + 3) / x = x + 3

✓ (x² + 3) / x = x + 3/x

Del hvert led med x. Kun faktorer kan forkortes.

Brug

Hvor du møder reglerne igen

Reglerne er ikke et emne, du bliver færdig med. De er værktøjet i de andre emner. Her er fem steder, du skal bruge dem.

Hurtigt opslag

Fem steder, reglerne arbejder

Eksponentiel vækst
Betyder: f(x + 1) = b · aˣ⁺¹ = b · aˣ · a = f(x) · a, når f(x) = b · aˣ.
Husk: Funktionen ganges med a, hver gang x vokser med 1 (regel 1).
a ud fra to punkter
Betyder: y₂ / y₁ = a^(x₂ − x₁), fordi b går ud, når du dividerer de to funktionsværdier.
Husk: Brøkeksponenten giver a = (y₂ / y₁)^(1/(x₂ − x₁)).
Rente pr. måned
Betyder: 6 % om året er 1,06^(1/12) ≈ 1,00487 pr. måned, altså ca. 0,49 %.
Husk: Ikke 6/12 = 0,5 %: 1,005¹² ≈ 1,0617, og det er 6,17 % om året.
Potensfunktioner
Betyder: f(2x) = b · (2x)ᵃ = 2ᵃ · f(x), når f(x) = b · xᵃ.
Husk: Fordobler du x, ganges f med 2ᵃ, uanset hvor du starter (regel 4).
Differentialregning
Betyder: 1 / x³ = x⁻³ og √x = x^(1/2), skrevet om, før du differentierer.
Husk: (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹ giver så −3x⁻⁴ og ½ · x^(−1/2) = 1 / (2√x).

Eksempel

Eksempel: find a og b ud fra to punkter

1. Opstil

Grafen for f(x) = b · aˣ går gennem (1, 6) og (4, 48). Så er b · a¹ = 6 og b · a⁴ = 48.

2. Divider

48 / 6 = (b · a⁴) / (b · a¹) = a³ med regel 2. b går ud, så a³ = 8.

3. Brøkeksponent

a = 8^(1/3) = 2. Indsæt i den første ligning: b = 6 / 2 = 3.

4. Kontrol

f(4) = 3 · 2⁴ = 48. Det passer.

Mere om modellerne står i noterne om eksponentiel vækst og renters rente og om potensfunktioner. Om at differentiere potenser kan du læse på siden om differentialregning.

Store og små tal

Ti-tals-potenser og eksponentiel notation

I fysik, kemi og biologi møder du tal med mange nuller. Dem skriver du med en ti-tals-potens: et tal, der er mindst 1 og mindre end 10, ganget med 10 opløftet i et helt tal. 47 000 000 = 4,7 · 10⁷, fordi kommaet flytter 7 pladser. 0,00042 = 4,2 · 10⁻⁴, fordi kommaet flytter 4 pladser den anden vej. Formen hedder eksponentiel notation eller videnskabelig notation.

Reglerne gør regningen let. Gang tallene foran for sig og ti-tals-potenserne for sig: (3 · 10⁸) · (2 · 10⁻³) = 6 · 10⁵. Bliver tallet foran 10 eller mere, så flyt én potens over: (6 · 10³) · (4 · 10⁵) = 24 · 10⁸ = 2,4 · 10⁹.

Lommeregnere og CAS-programmer kan vise ti-tals-potensen med et E: 2.4E9 betyder 2,4 · 10⁹. Skriv det om, før det står i din besvarelse.

Ti-tals-potenser er også dit overslag. Viser CAS, at 3 900 · 0,0042 = 16,38, så regn groft: 4 · 10³ · 4 · 10⁻³ = 16 · 10⁰ = 16. Overslaget ligger tæt på, så svaret er rimeligt. Havde CAS vist 163,8, ville overslaget have afsløret en tastefejl.

Prøverne

Første delprøve og den mundtlige prøve

På matematik B og A og på matematik C på hf er den skriftlige prøve delt i to. Ved første delprøve må du kun bruge den centralt udmeldte formelsamling til dit niveau, så her skal du kunne reducere og regne potenser i hånden. Potensregnereglerne står under tal og algebra: på side 25 i formelsamlingen til hf C (september 2024), side 39 til hf B (april 2026), side 33 til stx C (september 2025), side 45 til stx B (marts 2025) og side 77 til stx A (oktober 2025). Slå dem op, før prøven kommer, så du ved, hvor de står.

Vejledningerne til matematik B på stx og hf skriver, at svarene i første delprøve ofte er hele tal, men også kan være brøker eller kvadratrødder. Får du et svar med en kvadratrod, er det altså ikke et tegn på, at du har regnet forkert.

På matematik C er spørgsmålet til den mundtlige prøve bredt formuleret, og på stx er den mundtlige prøve den eneste. På B og A er der også en mundtlig prøve, hvor spørgsmålet fortrinsvis er teoretisk med fokus på ræsonnement og bevis. Reglerne passer godt som indledning til et bevis: et eksamensspørgsmål på B kan bede dig redegøre kort for kvadratsætninger og potensregneregler og derefter bevise løsningsformlen for andengradsligningen.

Eksempel

Sådan kan en fremlæggelse lyde

Eksamensspørgsmålet: “Potenser og rødder”.

“Jeg starter med definitionen: a i n’te er n faktorer, der alle er a. Ud fra den viser jeg, at man lægger eksponenterne sammen, når man ganger, ved at tælle faktorerne.”

“Så viser jeg, hvorfor a i nulte er 1 og a i minus n’te er 1 divideret med a i n’te: definitionerne er valgt, så divisionsreglen bliver ved med at gælde. Til sidst viser jeg, at a i en halv er kvadratroden af a, og regner et eksempel.”

Vores kommentar

Hvad eksemplet viser

Fremlæggelsen går fra definitionen over beviset til udvidelsen og et eksempel. Den viser, at du kan begrunde reglerne og ikke kun huske dem.

Samtalen

Spørgsmål til samtalen, med korte svar

Fordi beviset bruger aⁿ / aⁿ, og med a = 0 dividerer du med 0.

Fordi a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Er a positiv, er 1 / aⁿ også positiv. Den negative eksponent flytter bare potensen ned i nævneren.

Fordi samme eksponent kan skrives som forskellige brøker, fx 1/3 og 2/6, og med et negativt grundtal giver de forskellige resultater.

Nej. (a + b)² er a² + b² + 2 · a · b, ikke a² + b². Det er første kvadratsætning.

f(x + 1) = b · aˣ⁺¹ = b · aˣ · a = f(x) · a, så funktionen ganges med a, hver gang x vokser med 1.

Fordi (a^(1/2))² = a¹ = a med regel 3, og det positive tal, der i anden giver a, er √a.

Brug et eksempel

Fra opgavebiblioteket

Formlen for a, bevist

I en gruppeopgave om vækstmodeller beviser eleverne formlen for a ud fra to punkter. De dividerer de to funktionsværdier, så b går ud, og bruger divisionsreglen og en brøkeksponent, samme vej som eksemplet ovenfor. Faldgruben er rækkefølgen: x₂ − x₁ i eksponenten skal passe med y₂ / y₁.

a⁰ = 1 i et studieområdeprojekt

I et studieområdeprojekt (SOP) om investering og kalkulationsrente i virksomhedsøkonomi og matematik bevises gældsformlen ud fra tilbageskrivning af en kapital. Undervejs samles potenser af (1 + r) med regel 1, og en eksponent på n − n giver (1 + r)⁰ = 1.

Potensregler i samfundsfag

I et studieretningsprojekt (SRP) om Kinas økonomiske udvikling divideres en produktionsfunktion af formen Y = K^α · L^(1 − α) med arbejdskraften L, og regel 2 og 5 giver produktionen pr. arbejder: Y / L = (K / L)^α. Faldgruben er eksponenten 1 − α: når du dividerer med L, bliver den til 1 − α − 1 = −α, og den skal stå samlet i en parentes.

Et eksamensspørgsmål på B

Elevnoter til de mundtlige eksamensspørgsmål i matematik B viser, hvor kort reglerne kan fylde: en kort liste før beviset for løsningsformlen. Brug den som disposition, men tilføj ét bevis og ét eksempel, så du viser, at du forstår reglerne.

Øv dig

Opgaver med facit: fra hjælp til selv

Opgaverne går fra meget hjælp til ingen. Er du sikker i reglerne, så spring direkte til opgave 4. Regn med blyant først, og fold facit ud bagefter. Opgave 1-7 kan regnes uden lommeregner, som ved første delprøve.

Hjælp: samme grundtal, og du ganger. Læg eksponenterne sammen.

Facit: 3² · 3³ = 3⁵ = 243.

Hjælp: gang eksponenterne i parentesen først, og træk så fra.

Facit: (5³)² = 5⁶, og 5⁶ / 5⁴ = 5² = 25.

Hjælp: regel 1 virker også med negative eksponenter.

Facit: 4⁻² · 4³ = 4^(−2 + 3) = 4¹ = 4.

Facit: x^(4 − 1) · y^(2 − 5) = x³ · y⁻³ = x³ / y³, som også kan skrives (x / y)³. Kontrol med x = 2 og y = 3: (16 · 9) / (2 · 243) = 144 / 486 = 8/27, og 2³ / 3³ = 8/27.

Facit: ⁵√32 = 2, fordi 2⁵ = 32. Så er 32^(3/5) = 2³ = 8.

Facit: 135 / 5 = a^(5 − 2) = a³, så a³ = 27 og a = 27^(1/3) = 3. Så er b · 3² = 5, og b = 5/9. Kontrol: 5/9 · 3⁵ = 5/9 · 243 = 135.

Facit: √x · ³√x = x^(1/2) · x^(1/3) = x^(1/2 + 1/3) = x^(5/6) med regel 8 og 1. Kontrol med x = 64: √64 · ³√64 = 8 · 4 = 32, og 64^(5/6) = (⁶√64)⁵ = 2⁵ = 32.

Facit: fremskrivningsfaktoren pr. kvartal er 1,035^(1/4) ≈ 1,00864, altså ca. 0,86 % pr. kvartal. Kontrol: 1,00864⁴ ≈ 1,035.

Facit: Først er a⁰ = 1, fordi aⁿ / aⁿ = 1 og regel 2 giver aⁿ⁻ⁿ = a⁰. Så er 1 / aⁿ = a⁰ / aⁿ = a^(0 − n) = a⁻ⁿ med regel 2. Betingelsen a ≠ 0 skal med, fordi du dividerer med aⁿ.

Til prøven og i timen

Til prøven og i timen: det, du gør, siger og viser

Gør

  1. Skriv potensen som faktorer, når du er i tvivl: x³ = x · x · x.
  2. Saml kun potenser med samme grundtal, og skriv reglen ved hvert lighedstegn.
  3. Vis regel 1 og 2 ved at tælle faktorer, og forklar, hvorfor a⁰ = 1.
  4. Kontrollér en reduktion ved at sætte x = 2 ind i både udtrykket og svaret.

Sig

  • “Grundtallet er det samme, så jeg lægger eksponenterne sammen: [x²] gange [x⁵] er [x⁷].”
  • “Et tal, der ikke er 0, i nulte er 1, fordi [aⁿ divideret med aⁿ] er 1, og divisionsreglen giver [a i n minus n’te], altså a i nulte.”
  • Til samtalen: “Der findes ingen regel for plus, så [x² + x³] kan ikke samles til én potens.”

Vis

  • Hver omskrivning på sin egen linje med lighedstegnene under hinanden.
  • Reglen skrevet med bogstaver, før du sætter tal ind.
  • Kontrollen med et tal som en kort sidebemærkning.

Til årskarakteren: Brug de samme linjer i afleveringerne, så du har øvet formen, før første delprøve kommer.

Bygger på Læreplan for matematik B, stx, 2024, pkt. 2.2 og 4.2 og Vejledning til matematik B, stx, november 2025.

Klik og se

Test dig selv

Vælg den rigtige sætning. Du får svaret med det samme.

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hurtigt opslag

Alle begreberne samlet

Potens
Betyder: Et tal skrevet som aⁿ
Husk: Læses a i n’te
Grundtal
Betyder: Tallet a, der ganges med sig selv
Husk: Skal være det samme ved regel 1 og 2
Eksponent
Betyder: Det hævede tal n
Husk: Tæller faktorerne, når n er et naturligt tal
Opløfte
Betyder: At regne en potens ud
Husk: Det modsatte er at uddrage en rod
Kvadratrod
Betyder: √a = a^(1/2)
Husk: Tallet, der i anden giver a og ikke er negativt
n’te rod
Betyder: ⁿ√a = a^(1/n)
Husk: Kræver a > 0 ved brøkeksponenter
Negativ eksponent
Betyder: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ, når a ≠ 0
Husk: Angiver den omvendte potens
Nul som eksponent
Betyder: a⁰ = 1
Husk: Gælder for a ≠ 0
Det udvidede potensbegreb
Betyder: Potenser med 0, negative tal og brøker som eksponent
Husk: Defineret, så reglerne bliver ved med at gælde
Eksponentiel notation
Betyder: Et tal fra 1 til under 10 gange en ti-tals-potens
Husk: Fx 4,2 · 10⁻⁴
Reducere
Betyder: At gøre et udtryk kortere uden at ændre værdien
Husk: Kontrollér med et tal
Kvadratsætning
Betyder: (a + b)² = a² + b² + 2 · a · b
Husk: Viser, at potensreglerne ikke gælder for plus

Spørgsmål og svar

Regler for at regne med potenser. De vigtigste er aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = a^(m · n), (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ, (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ, a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1 / aⁿ og ⁿ√a = a^(1/n). Ved division, nul og negative eksponenter må det, du dividerer med, ikke være 0 (a ≠ 0 og b ≠ 0). Ved rødder og brøkeksponenter skal grundtallet være positivt (a > 0).

Du lægger dem sammen, når du ganger to potenser med samme grundtal: x² · x³ = x⁵. Du ganger dem, når en potens opløftes i en ny potens: (x²)³ = x⁶.

Fordi aⁿ / aⁿ = 1, og divisionsreglen giver aⁿ⁻ⁿ = a⁰. Skal reglen gælde, må a⁰ være 1. Det gælder for a ≠ 0.

Flyt potensen ned i nævneren, og skift fortegn på eksponenten: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ, når a ≠ 0. Fx er 10⁻³ = 1/1 000 = 0,001.

Nævneren er roden, og tælleren er potensen: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Fx er 8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4. Grundtallet skal være positivt.

Nej. x² + x³ kan ikke samles, og (a + b)² er a² + b² + 2 · a · b. Du kan sætte en fælles faktor uden for parentes: x² + x³ = x² · (1 + x).

Ja, under tal og algebra i den officielle formelsamling til dit niveau: side 25 til hf C (september 2024), side 39 til hf B (april 2026), side 33 til stx C (september 2025), side 45 til stx B (marts 2025) og side 77 til stx A (oktober 2025).

Nej, ikke som et krav i sig selv. Ingen af vejledningerne kræver et bestemt bevis for reglerne. På stx C, B og A og på hf B indgår potensregnereglerne i arbejdet med potenser, og på hf C kan de tages op, når et bevis har brug for dem. På B og A er spørgsmålet til den mundtlige prøve dog fortrinsvis teoretisk med fokus på ræsonnement og bevis. Beviserne for regel 1-3 er korte, så dem er det en god idé at kunne vise.

Om forfatteren

Siden her er skrevet af Emil Brandt Rex, gymnasielektor i dansk og historie. Alt på Studiekompasset bygger på fagenes læreplaner og vejledninger, og hver side har sine kilder stående nederst. Finder du en fejl, så skriv til mig, og den bliver rettet.

Kilder

Kilder

Hænger sammen med

Se også

Næste skridt

Tag et stykke papir i dag, og fold det 5 gange. Skriv antallet af lag som en potens af 2, tæl efter, og regn så ud, hvor mange lag der ville være efter 5 fold mere, uden at tælle.

Gå til opgaverne

Se reglerne arbejde i eksponentiel vækst

Del siden

Send linket til en, der kan bruge hjælpen.

Kopiér linkMailFacebook