SRP om Ægyptisk Matematik i Matematik A og Historie A

Side 1

1

Abstract

I have in the subjects history and mathematics, created this project which covers a part of the ancient Egyptian mathematics in the time of the pyramids. I start by explaining where we have our knowledge from, and which sources tell us the most. Then move on to the Egyptian numerals, and cover the four arithmetic methods, addition, subtraction, multiplication and division, by showing examples of each one. I then explain the mathematics that was involved in building the pyramids; area, volume and slope. Lastly I take a look at the historical sources regarding the pyramids and their function, and I discuss whether they are credible or not. In the end I have summarized the main views of the project and concluded upon them.

Indholdsfortegnelse

Indledning | 12

Kilderne til den ægyptiske

matematik | 12
STX 3.g | 14
STX 3.g | 14
Læderrullen | 15
Kilderne til pyramiderne | 16
Ægypten på Herodots tid | 18
Ægypternes talsystem | 18
De 4 regningsarter | 20
Addition og subtraktion | 21
Multiplikation | 21
Division | 23
Brøkregning | 25

2_{n}^{2} - tabellen

2 De røde hjælpetal

3 Pyramidernes matematik

3 Arealbestemmelse

3 Rumfang

4 Hældning

4 Pyramiderne

5 Herodot om pyramiderne

7 Pyramidernes funktion

7 Andre teorier

7 Konklusion

8 Litteraturliste

11 Bilag

Side 2

2

Indledning

Matematikken har været en del af menneskene i flere årtusinder, og nogle af de ældste matematiske tekster stammer fra Ægypten. Ved 3.000 f.Kr. havde ægypterne allerede udviklet deres hieroglyffer, og det markerer begyndelsen af det Gamle Riges periode, hvor pyramiderne blev bygget. Dette giver det klareste tegn på, at samfundet i denne periode allerede havde opnået utroligt meget.

Ægypterne var meget konkrete i deres tilgang til matematik og deres handel krævede, at de kunne bruge multiplikation og division. Så de udtænkte bemærkelsesværdige metoder til at overvinde de mangler som var nødvendige for deres arbejde. Ægypterne havde faktisk udtænkt metoder til

                                             1
multiplikation og division, der kun involverede addition .

Jeg vil i opgaven starte med at redegøre for hvilke kilder vi har vores viden om pyramiderne og gammel ægyptisk matematik fra, samt give en vurdering af disse. Derefter vil jeg gennemgå det ægyptiske talsystem og forklare, hvordan ægypterne har udført de fire regningsarter. Herudover vil jeg komme ind på stambrøker, der er et centralt element i ægyptisk matematik, og de hjælpemidler

                                                       2
ægypterne brugte til regning med disse. Dette vil lede til den vigtige -tabel samt de røde
                                                       n

hjælpetal, og herefter vil jeg forklare hvilke metoder ægypterne brugte til bestemmelse af grundfladeareal, hældning og rumfang af pyramiderne, samt diskutere pyramidernes funktion.

Jeg har valgt at forklare de ægyptiske metoder at regne på, ved at gennemgå nogle eksempler, da jeg synes forklaringerne er lettere at forstå, når man har et konkret eksempel at forholde sig til. Jeg vil benytte ægypternes måde at skrive udregningerne på, efter at have forklaret dem. Min

litteraturhenvisning er angivet med fodnoter, hvor jeg angiver, hvilken bog/kilde der er tale om. I

fodnoterne forklarer jeg også nogle specielle ord eller navne som jeg bruger, og alle mine kilder er angivet sidst i litteraturlisten. For ikke at skrive forfatternes navne om og om igen, har jeg blot brugt deres initialer.

Kilderne til den ægyptiske matematik

Vor viden om det gamle Ægypten kommer fra kilder som kan deles i to hovedgrupper:

1) de skriftlige overleveringer og 2) hvad arkæologien, bygninger, monumenter og anden kunst kan fortælle os. Overleveringer fra Ægypten er nogle af de rigeste kilder til viden om matematik i oldtiden. Der er tre vigtige kilder til ægyptisk matematik, nemlig , og Læderrullen. De indeholder opgaveformuleringer med tilhørende løsningsforskrifter.

1

Oplysninger i dette afsnit fra: An overview of Egyptian mathematics, J. J. O'Connor & E. F. Robertson

Side 3

3

2

Hovedkilden til oldtidens ægyptiske matematik er , som er fra omkring 1650 f.Kr., som er kopieret fra en ældre tekst af Ahmes [3] fra omkring 1850 f.Kr., der ikke længere eksisterer. Det vil sige, at vi gennem får kendskab til næsten 4000 år gammel

matematik^{4}. Papyrussen er navngivet Rhind efter den britiske opdagelsesrejsende Henry Rhind, som

købte den i 1858. Selve papyrussen er 33cm høj og 564cm lang og står nu på British Museum. Det er den længste matematiske tekst der kendes fra tiden før grækerne, og består af næsten 100 gennemregnede eksempler, samt nogle tabeller.

Ægypternes måder at udregne forskellige problemstillinger på, adskiller sig på mange områder fra vor tids matematik. Opgaverne drejer sig mest om praktiske problemer, såsom at bestemme hvor mange brød der kan fremstilles af en given mængde korn, at beregne arealet af en rektangulær mark eller rumfanget af en cylinderformet silo og at bestemme hældningen af en pyramide.

Den anden kilde er den såkaldte Moskva-papyrus; af denne fremgår det, at ægypternes kundskaber i matematik gik meget længere, end Rhind-papyrussen antyder. Papyrussen indeholder 25 matematiske problemer, som blandt andet viser, at ægypterne må have kendt til formlen for en pyramides rumfang. Et af problemerne viser yderligere, at de også må have kendskab til formlen for rumfanget af en pyramidestub. Selve papyrussen er 544cm lang men kun 8cm høj, og stammer

fra samme periode som Rhind^{5}.

Læderrullen^{6}

Læderrullen er, som det fremkommer af navnet, et 25x43cm stykke læder, og er fra ca.

f.kr., altså nogenlunde samme tid som de to forrige kilder. Det indeholder igen matematiske problemer men især brøker og 2 tabeller med summer af stambrøker. Læderrullen og Rhind-papyrussen er begge fundet ved Ramses II’s tempel i Luxor, og er begge købt af Henry Rhind og står på British Museum i dag.

2

Oplysninger i dette afsnit hovedsageligt fra OP s. 17-19

3

Ahmes, ægypter, antages at have levet mellem år 2000 og 1700 f.Kr. Han skrev den ældste, matematiske lærebog, vi

kender.
4

JL s. 8-9

5

OP s. 18

6

JF s. 11

Side 4

4

Jeg har selvfølgelig ikke selv siddet med ovennævnte papyrus mens jeg skrev opgaven, men jeg har flittigt brugt både engelske og danske oversættelser af teksterne som de findes i mine historiebøger.

Jeg har sammenlignet forskellige historikeres oversættelser og tolkninger af den ægyptiske matematik, og de stemmer alle nogenlunde overens. Ud fra dette kan jeg vurdere disse kilder som brugbare, især også fordi der ikke findes andre om mit emne. Da man ikke selv sidder med førstehåndskilderne, er det meget vigtigt man ikke drager til konklusioner efter blot at have læst én historiebog, men derimod sammenligner en masse med viden om stoffet. Selvom tolkningerne er fra nyere tid, (altså ca. 6000 år de egentlige kilder blev nedskrevet) kan de stadig være meget korrekte.

Vi har i dag meget mere viden og meget veludviklede metoder til at tyde samt datere oldtidens kilder.

Kilderne til pyramiderne:

Jeg har fundet nogle historiske kilder, primært af den græske Herodot, med henblik på først meget kort at illustrere samfundsforholdene i det gamle Ægypten. Her vil jeg komme ind på

Kheopspyramiden som den er beskrevet kort af Herodot, og pyramidernes funktion, som den er beskrevet af historikeren Edwards vha. pyramideteksterne. Da der ikke er mange kilder, der omhandler det 4. dynasti (f.Kr.) hvor pyramiderne blev opført, har jeg – så vidt muligt – valgt kilder, der lægger umiddelbart op til perioden eller nyere kilder, der fortæller om perioden.

Selve min vurdering af disse kilder vil forekomme senere i opgaven, under afsnittet Pyramider.

Ægypten på Herodots tid^{7}

Der begyndte omkring 650 f.Kr. at komme en del grækere til Ægypten som lejetropper eller købmænd. Den kultur (arkitektur, skulpturer, matematik osv.), som grækerne mødte i Ægypten, beundrede de, og var således i 500- og 400-tallet f.kr. stærkt inspirerede af Ægypten. Den græske historiker Herodot besøgte Ægypten omkring 440 f.Kr. Det er meget omdiskuteret, hvad man kan stole på hos Herodot. Hans værk, ”Historia” [8], blev skrevet med det formål bedre at kunne forstå andre samfund og kulturer. Jeg vil senere hen i opgaven vurdere et uddrag af Historia som omhandler pyramiderne. Hovedformålet med hans værk var at han ville sikre at viden om vigtige

7

Oplysninger i dette afsnit fra MC s. 41

8

Historia: En betegnelse, der er oprindelsen til vores ord historie, der pa græsk betød noget i retning af efterforskning.

Side 5

5

                                 9
begivenheder ikke gik tabt for eftertiden.

Ægypternes talsystem

I stil med vores moderne talsystem, havde ægypterne et veludviklet titalsystem (grunden til, at ti blev valgt som grundtal, var at det allerede dengang var brugt at tælle på fingrene). Mens vores talsystem i dag er et positionssystem, hvor cifrenes placering har betydning, var ægypternes talsystem et såkaldt additivt talsystem, der havde symboler for 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 og 1 000 000. Når de skulle skrive et tal, skrev de symbolerne ved siden af hinanden og adderede

dem hen ad vejen.^{10}

Det ægyptiske talbegreb bestod af de hele positive tal og desuden dele af enheden. Sidstnævnte var

de såkaldte stambrøker_{2}^{1}_{,}_{3}^{1}_{,}_{4}^{1} osv., og desuden som noget specielt brøken.

3

2

Tidlige talhieroglyffer kan findes på templer, sten og monumenter. De giver lidt viden om de matematiske beregninger, der kunne have været gjort i den tid. Da disse hieroglyffer blev hugget i sten, var der ikke behov for at udvikle symboler, der kunne skrives hurtigere. Men når ægypterne begyndte at bruge papyrus som "papir" og spidsen af et papyrusrør som en "pen", var der nu grund til at udvikle en hurtigere måde at skrive på. Dette gav anledning til udviklingen af hieratisk skrift. [11] Ægypterne kørte derfor som nævnt med to skriftsystemer: hieroglyffer og hieratisk skrift.

Hieroglyfferne forestiller legemsdele, dyr, fugle, redskaber osv. og forekommer oftest på monumenter. Hieratisk skrift er udviklet fra hieroglyfferne på den måde, at det er en form for kursivskrift af hieroglyfferne, men har flere tegn. Her var der specifikke tegn for 5,6,7,8 osv. samt

                     12
alle 10’ere og alle 100’er.

I denne opgave vil det kun være nedenstående taltegn, der er vigtige:

9

Herodot som historiens fader, Mogens Herman Hansen

10

JF s. 14-18

11

An overview of Egyptian mathematics, J. J. O'Connor & E. F. Robertson

12

OP s. 18

Side 6

6

Når der så dannes tal sammensat af tegnene, skal udtrykkene læses additivt fra højre mod venstre.

Eksempler på tal skrevet med hieroglyffer [13]:

52

Eksempler på tal skrevet med hieratisk skrift:

7 1649

Som man kan se er den hieratiske skrift en del mere kompliceret end hieroglyfferne. Den ligner mere vores eget skriftsprog og består af tegn som man skulle kunne udenad for at kunne læse den.

For eksempel skrev man ikke 10 to gange efter hinanden for at få 20, men derimod fandtes der et helt andet tegn for 20.

13

Billederne er fra JF s. 15

Side 7

7

De 4 regningsarter

                   14
Addition og subtraktion

Normalt opfattes addition, subtraktion, multiplikation og division som vidt forskellige regningsarter, med de er i virkeligheden ikke uafhængige af hinanden. Der er følgende sammenhæng mellem addition og subtraktion

a – b = c ⬄ a = b + c

hvilket ægypterne benyttede. I stedet for at subtrahere, kan man blot sige: hvad skal jeg lægge til b

                                                              15
for at få a? Denne måde at regne på kaldes at komplettere. (at fuldende noget)

Addition med hieroglyffer har ikke været svært, idet antallet af de forskellige symboler blot tælles op og så efterstilles hinanden, hvis et symbol optræder mere end 10 gange. Når man skulle udføre en subtraktion, gøres blot som nævnt ovenover. Helt så nemt har det ikke været med hieratisk skrift, hvor der jo som bekendt er mange flere symboler, men det ser nu alligevel ikke ud til, at udregningerne har voldt problemer, hvilket kan skyldes, at de har haft hjælpende tabeller, at de har udført kladder et andet sted, eller at skriverne har kunnet additionerne udenad.

En anden ting med hensyn til addition var at ægypterne udelod at skrive plustegn imellem tal. Så i

de følgende regneeksempler vil jeg benytte deres metode. I stedet for at skrive 3 + 1 + 5, skrev de

blot 3 1 5.

Multiplikation

Multiplikationerne tager udgangspunkt i addition, da det foregår ved trinvis fordobling, hvoraf nogle af resultaterne adderes. Metoden bygger på, at ethvert tal kan skrives som en sum sammensat

af tal i følgen: 1, 2, 4, 8, 16, 32 osv.^{16} Jeg har valgt at demonstrere det ved at gennemgå en
multiplikation, og løbende forklare hvad der gøres. Jeg vil i eksemplet herunder udregne 13 · 42 ved

at benytte ægypternes metode:

14

Oplysninger i dette afsnit fra JF 19-20.

15

JF s. 19

16

OP s. 19

Side 8

8

\ 1 42 I dette tilfælde er det 42. Formålet med tallene i venstre kolonne er at finde I venstre kolonne står det tal, som tallet i højre kolonne bliver ganget med.

frem til en kombination af tal der tilsammen giver 13.

2 84 Her fordobles tallene i begge kolonner.

\ 4 168 fordobles der igen.

Da vi endnu ikke kan få 13 ved at addere tallene i venstre kolonne,

\ 8 336 venstre kolonne som giver 13.

Nu fordobles der ikke mere, da der nu er fundet en talkombination i

I alt 546 For at finde det endelige resultat skal man addere de tilsvarende værdier

De skrå streger i venstre kolonne viser hvilken talkombination giver 13.

som står i højre kolonne. Altså bliver det: 42 + 168 + 336 = 546

13 · 42 = (1+4+8) · 42 = (1 · 42) + (4 · 42) + (8 · 42) = 546

Metoden bygger altså på, at man i venstre søjle finder de tal, der giver den første faktor, her 13.

Men er det altid muligt at finde en sådan talkombination? Da tallene i venstre sølje er 1, 2, 4,

8…altså tal fra 2^{n} - tabellen, er det altså muligt at alle tal Z kan skrives i 2-talssystemet. Dette har

+

                          17
ægypterne nok ubevidst antaget.

Division^{18}

Ægypternes metode til at dividere bygger på multiplikation. I stedet for at sige?=

b a

sagde de a = b · ? , dvs. at de udregnede hvilken værdi, de skulle gange b med for at få a. Ligesom

ovenover har jeg valgt at demonstrere det ved et eksempel med løbende forklaring.

Jeg vil udregne følgende: ⬄ 228 = 19 · ?
=?

19

228

1 19 I venstre kolonne står de tal som 19 bliver ganget med, ligesom ved multiplikation. Med modsat før, er det her tallene i højre side som tilsammen skal give vores anden kendte værdi, 228.

2 38 Her fordobles der igen.

\ 4 76 Da vi endnu ikke kan få 228 ved at addere tallene i højre kolonne,

17

JF s. 22

18

Afsnittet om division er baseret på oplysninger fra JF s. 23-24 og JL s. 27-29

Side 9

9 fordobles der igen.

\ 8 152 Nu fordobles der ikke mere, da tallene i højre kolonne vil overstige 228.

Nu undersøges det, om det er muligt at finde tal i højre kolonne, der

tilsammen giver 228. Vi ser at 76+152=228, hvilket er grunden til, at der

er markeringer ud for 4 og 8. Herfra kan man udlede at

(4 + 8) · 19 = 228 ⬄ 12 ·19 = 228 ⬄ = 12

19

228

Det er en meget smart metode ægypterne brugte, da der ikke skulle bruges andet end multiplikation og addition.

Jeg vil nu vise et eksempel på en division fra :

Jeg vil gøre rede for hvilken division der foregår på billedet, og forklare opgaven med mine egne ord. Opgaven følger samme metode som viste division ovenover, men denne indeholder også brøker. Der er i højre kolonne fundet frem til en

talkombination (1+4+8) som er løsning til opgaven. Venstre

kolonne fordobles indtil der er fordoblet 3 gange (8) som så giver det rigtige resultat, da der ikke er regnet videre. I dette tilfælde Del af PR30

hvis man skriver opgaven op på denne måde: a = b · ?, er ? = 13, b = startværdien ( 3 10 = 0,7667)

og a = de tilsvarende værdier til 1, 4 og 8 i venstre kolonne som i alt giver 3 10 3 15 6 10 30 =

9,967. Derfor må divisionen have heddet og ? = 13.
=?

7667,0

967,9

Det er dog langt fra altid, at divisioner kan udføres alene ved fordoblinger. Jeg vil nu gennemgå nogle metoder til at løse de divisioner, der ikke går op.

Vi ser på eksemplet_{16}^{42}_{=}_{?}

1 16 Vi skal i højre kolonne finde frem til en kombination af tal, hvis sum giver

\ 1 3 10

2 1 3 5

\ 4 3 15

\ 8 6 10 30

I alt 13

Side 10

10

42.

\ 2 32 Her fordobles der i begge kolonner.

\

8 Hvis der fordobles endnu engang fås 64, hvilket overstiger 42. Derfor bliver der i stedet halveret. (16 bliver halveret med 2)

4 Der bliver endnu engang halveret, da vi stadig mangler 2 for at få 42.

\

2 Ved denne sidste halvering har vi nu en kombination af tal i højre kolonne, der tilsammen giver 42, og det er disse tal, der er sat markeringer ud for.

Altså bliver det_{16}^{42}_{=} 2 2 8 🡪 2 + 0,5 + 0,125 = 2,625 og = 625,2

16

42

Alle regnemetoderne ligner hinanden idet man næsten kun skal multiplicere.

Udregningen ovenover er regnet vha.

2

- følgen (

16,8,4,2

..) Jeg vil nu vise et eksempel vha. 3 - følgen ( 12,6,3,3):

Udregningen =?

12

39

\ 1 12 Vi skal i højre kolonne finde frem til en talkombination der tilsammen giver 39.

\ 2 24 Her fordobles der i begge kolonner.

\ 3

8 endnu ikke få 39 ved at addere tallene i højre kolonne, da vi stadig mangler

Hvis der fordobles endnu engang fås 48, hvilket overstiger 39. Vi kan dog

3. Derfor finder vi 3 af 12 som er 8.

3

4 Herefter halveres der, til vi når en kombination i højre kolonne, der giver

39.

\ 6

2 hvilket i dette tilfælde bliver 12+24+2+1, hvilket er de tal, der er

markeringer ved.

\ 12

1

Side 11

11

De tilsvarende tal i venstre kolonne er så: 3 6 12

som svarer til 3 + 0,166 + 0,0833 = 3,25

Man kan selv vælge, hvilken følge man vil bruge i en division, men ofte giver det sig selv. Nogle gange går divisionerne dog stadig ikke op kun vha.

2

-følgen eller

3

-følgen. For at kunne forklare, hvordan man løser disse divisioner, bliver jeg nødt til først at gennemgå brøkregning. Der kommer et eksempel på en af disse divisioner under afsnittet om røde hjælpetal, og jeg vil så i dette eksempel gennemgå, hvad der gøres.

Brøkregning

                                                              2
Den ægyptiske brøkregning adskiller sig fra vores, ved at alle brøker på nær er stambrøker, dvs.
                                                              3

brøker med tælleren 1 og af formen_{n} [1], hvor n ∈ N. Derfor må alle brøker, der ikke er stambrøker

eller brøken_{3}^{2}, skrives som en sum af forskellige stambrøker (og evt._{3}^{2}). Dvs. at hvis man vil

skrive_{5}^{4} må man i stedet fx skrive (forklaring kommer i næste afsnit) men man kan ikke

2 4 20

1 1 1

++

udtrykke brøken som_{5}^{1}_{5}^{1}^{1}_{5} da dette ville blive besværligt, hvis man fx skulle udtrykke

5 5

1 1

++++

brøken_{51}^{32}. Skulle man udtrykke en stambrøk f.eks._{21}^{1} med hieroglyffer, gjorde man det ved at

tilføje symbolet over tegnet for 21. På hieratisk skrift reduceres det til en prik. Under ses nogle eksempler, med hieroflyfferne øverst og hieratisk skrift nederst [19]:

Jeg vil nu komme ind på 2 af ægypternes hjælpemidler, de brugte når de skulle regne med brøker.

Nemlig - tabellen samt de røde hjælpetal.

n

2

19

Billedet er fra Den Store Danske:

http://www.denstoredanske.dk/Rejser,_geografi_og_historie/Mellemøsten/Egypten/Egypten_i_oldtiden/Egypten_i_oldti
den_(Videnskab)/Egypten_i_oldtiden_(Videnskab_-_Matematik)

Side 12

12 n

2

- tabellen^{20}:

Men hvordan vidste ægypterne netop på hvilken måde de kunne sammensætte stambrøker for at få andre brøker? Det har de ikke kunne have gjort uden tabeller. Vi ser nu nærmere på - tabellen.

n

2

Ægypterne havde ofte brug for at fordoble stambrøker, altså ud fra en brøk at danne, der så n n

1 2 skulle skrives som en sum af indbyrdes forskellige stambrøker. Hele tabellen består af 50 brøker af n

2

-formen med deres tilhørende opløsning. (der findes dog altid mere end én opløsning).

Der er ikke lige tal i - tabellen, fordi at man med lige brøker blot kan forkorte med 2. Fx er_{16}^{2}_{=}_{8}^{1},

n

2 og dette havde ægypterne indset. For at forstå tabellen er det vigtigt at vide at enhver stambræk kan opløses på uendelig mange måder. Umiddelbart kan valget af opløsningerne virke tilfældigt men man kan opstille nogle få regler, som ægypterne har forsøgt at bruge, som fx at små nævnere foretrækkes og ingen nævner overstiger 1000. Der er heller ingen opløsning der består af mere end

4 stambrøker, så jo færre jo bedre. Samtidig foretrækkes lige nævnere frem for ulige, selvom det på denne måde vil fremkomme større nævnere og flere led i opløsningen.

De røde hjælpetal^{21}

Ægypterne brugte nogle hjælpemidler for at gøre det nemmere at regne med brøker. For at nå frem til et resultat der ikke altid gik lige op, brugte de røde hjælpetal. De røde hjælpetal er opkaldt efter, at de på papyri var nedskrevet med rødt blæk. Jeg vil her prøve at forklare hvordan de er blevet brugt. Ægypterne regnede i enheder som vi ikke bruger i dag. De brugte:

1 alen = 7 håndsbredder = 28 fingre ~ 52,5cm

(se bilag 2 for enheder) Da det er lidt svært at forstå brugen af de røde hjælpetal vil jeg komme med et eksempel.

20

Oplysninger i dette afsnit fra JF s. 30-32, se bilag 1 for hele tabellen.

21

Oplysninger i dette afsnit fra JF s. 26

Side 13

13

3 5 15 15 giver 1

10 3 1 1

Del af PR21^{22}

De røde tal ovenover er så de røde hjælpetal. I opgaven påstås det at 3 5 15 15 = 1.

Hvis vi i dag skal kontrollere dette, vil vi sætte det på en fælles brøkstreg:

=+++ == 1

3 5 15 15 15 15

2 1 1 1 +++ 11310 15

Det ses så nu at de røde hjælpetal netop er tallene i den midterste brøk (tælleren). Der skiftes enhed, så der til 1 sort enhed svarer 15 røde enheder. Da summen af de røde hjælpetal er 15, er facit 1.

Herunder ses et andet eksempel, multiplikationen af 4 28 med 1 2 4:

\ 1 4 28

7 1

\ 2 8 56

3

\ 4 16 112

1

I alt 2

PR7

Der er her tale om trinvis halvering og iflg. opgaven er resultatet

2

. Da der er markeringer ud for alle linjer er facit 4 28 8 56 16 112. Men hvordan har ægypterne vidst at alle de brøker tilsammen gav 2?

Det kan være sket ved at de har skiftet enheder fra alen til fingre. Dette giver denne oversættelse:

22

PR21 = opgave nr. 21 fra

Side 14

14

Alen 1

2 4 8 16 28 56 112

Fingre 28 14 7 1

3 2 1 2 4 2 4

Det ses nu at alle de røde hjæletal forekommer i skemaets nederste linje. Vi kan så udtrykke 4 28

8 56 16 112 vha. de røde hjælpetal: 7 1 3 1 .

Summen af hjælpetallene er let at regne ud til 14 fingre, som er

2 alen. Hvis vi i dag skal addere alle disse brøker, vil vi gøre det ved at finde en fællesnævner, som i dette tilfælde er 112.

Det er ikke altid, der skiftes mellem alen og fingre, men princippet er det samme, nemlig at der

vælges en ny enhed.^{23}

Pyramidernes matematik

Arealbestemmelse^{24}

I dag beregner vi rektanglers arealer ved at sige højde x bredde. Det fremgår at ægypterne også har brugt denne metode. Ægypterne havde også en anden enhed som de brugte, nemlig khet, [25] som var den almindelige måleenhed for længder. Herunder er et eksempel på udregning af et areal.

Opgaven er oversat således: ”Hvis det siges til dig, at et rektangulært stykke land er på 10 khet og 1 khet, hvad er så dets areal?”

Man gør således:

1 1000 Her kan vi se at de 10 khet er lavet om til 1000 alen i højre kolonne.

10 10000 Der bliver altså skiftet fra enheden khet til enheden alen.

100 100000 Og her er 1 khet i skrevet som 100 alen i højre kolonne.

I de 3 første linjer udføres multiplikationen 100 · 1000 = 100000
Svaret er derfor 100000 alen^{2}.

Del af PR49

23

JF s. 27

24

Oplysninger i dette afsnit fra JF s. 62-63

25

1 khet = 100 alen ~ 52,5m (se bilag 2)

Side 15

15

Det var denne metode ægypterne brugte til at bestemme pyramidernes grundfladeareal. Det er meget simpelt, og vi bruger den selvsamme metode i dag.

Rumfang^{26}

Det er fra , at vi har viden om at de gamle ægyptere kendte til en formel for beregning af rumfanget af en pyramide samt en pyramidestub.

Vi skal nu se på s vigtigste opgave, nemlig PM14, hvor rumfanget af en pyramidestub beregnes:

1 Frit oversat lyder opgaven: ”Hvis det siges til dig, at en pyramidestub med højden 6 alen, den nederste side er 4 alen, og den øverste 2.

2 Regn med de 4, kvadreret. Resultat 16.

3 Fordobl nu de 4. Resultat 8.

4 Kvadrer de 2. Resultat 4.

5 Adder de 16 til de 8 og de 4. Resultat 28.

6

7

8

3 af 6. Resultat 2.

Regn med 28 2 gange. Resultat 56.

Se: det er 56. Du har fundet det rigtige.

PM14 – figur svarer til originalopgaven. (se bilag 3)

Forklaring:

Linje

2-5 Her beregnes 4^{2} + 2 · 4 + 2^{2} = 28.

6 af højden findes: · 6 = 2

3 3

1 1

7 De foregående facits multipliceres: 2 · 28 = 56, som så er facit.

26

Oplysninger i dette afsnit fra JF s. 75-76

Side 16

16

Resultatet ved at gennemregne eksemplet, så vi ved ikke med sikkerhed hvilke overvejelser der har

                    27
ligget bag udregningerne . For at gøre det lidt mere overskueligt har jeg tegnet en tredimensionel

figur af en pyramidestub:

Erstatter vi opgavens tal med bogstaver, svarer det til at: a = 2, b = 4, og h = 6. Dette viser at

pyramidestubbens rumfang V bestemmes som:

V = (a^{2} +ab+b^{2}) 3 h eller V = h(a^{2} +ab+b^{2})

3

1

hvilket er den rigtige formel og den vi bruger i dag. Hvis a = 0, dvs. er en hel pyramide, fås^{1}_{3} hb^{2}

idet b^{2} er grundfladearealet. Altså kan en pyramides rumfang bestemmes vha. formlen:

V = · højde · grundfladeareal

pyramide

3

1

Hvordan ægypterne har fundet denne fremgangsmåde, vides ikke. Der findes forskellige teorier, men intet er endnu bevist, så det vil jeg ikke vil gå i dybden med.

Hældning^{28}

Ligesom areal og rumfangsbestemmelsen, er ægypternes metode til at beregne en pyramides

                                                                               29
hældning også forholdsvis simpel. Den ægyptiske betegnelse for hældning var śkd. (udtales seked)

Jeg vil illustrere det med nedenstående eksempel fra . Frit oversat lyder opgaven:

27

JL s. 68-69

28

Oplysninger i dette afsnit fra JF s. og JL s. 83

29

JL s. 84

Side 17

17

1 Eksempel på beregning af en pyramide, hvor siden er 360 alen og

2

3

4

5

6 1 7

7

8

9

10 højden er 250 alen. Angiv hældningen.

Tag 2 af 360; det bliver 180.

Regn med 250 for at finde 180.

Det bliver 5052 alen.

En alen er 7 håndsbredder, du skal gange med 7.

\ 2 3 2

\ 5 1 3 15

\ 50 10 25

Hældningen er 5 25 håndsbredder

PR56 – tegningen, som jeg selv har tegnet, viser en pyramides tværsnit med mål.

Forklaring:

Linje

2 =⋅ 180360

2

1

3 Ligningen 250x = 180 skal løses, dvs.^{180}_{250} bestemmes.

4 Uden forklaring angives 5052 alen som facit.

5 Det oplyses, at 1 alen = 7 håndsbredder.
6-10 Her foretages multiplikationen 7 · 5052 = 5 25 (5,04)

Hvis vi skal forklare opgaven vha. symboler, kalder vi pyramidens højde for h og grundfladens længde for 2s. Først beregnes,

ss =⋅ 2

2

1

hvorefter ligningen hx = s løses. Løsningen er

h 1 h s sx

x = eller =

Her kan det sidste udtryk fortolkes vha. ensvinklede trekanter, og det ses at x = 5052 alen eller 5

25 håndsbredder. Dette minder meget om vores hældningskoefficient, men mens vi spørger ’hvor

Side 18

18 meget skal vi gå op, når x – værdien øges med 1’, spørger ægypterne ’hvor meget skal jeg gå hen, når y – værdien øges med 1 alen.

Et andet eksempel på en opgave, som jeg vil udregne vha. de forklaringer jeg viste ovenover:

Opgaven lyder:

Hvis en pyramide er 8 alen høj og grundfladens sidelængde er 12 alen, hvad er så pyramidens

hældning? Vis at svaret er 5 håndsbredder og 1 finger. (4 fingre = 1 håndsbredde)

Som i forrige opgave vil jeg starte med at tage halvdelen af

grundfladens længde: =⋅ 612

2

1

Derefter vil jeg ’regne med 8’ for at finde 6: 68 ⇔=x = 0,75

8

6

En alen var jo 7 håndsbredder, jeg ganger med 7: 25,5775,0 =⋅

Som vi ved, skulle hældningen være 5 håndsbredder og 1 finger,

hvilket passer overens med mit resultat. 1 finger = håndsbredde og

4

1

4

1

= 0,25. Derfor er 5,25 netop 5 hele håndsbredder og 1 finger.

Pyramiderne

En farao blev ikke tilbedt som en gud i den tid, han regerede. Det blev han først når han døde, og hans balsamerede lig, blev bragt til sin plads i det dertil byggede gravkompleks. I de første dynastier udviklede man efterhånden det traditionelle mausoleum, mastabaen [30], til et større og mere prægtigt monument. Ved at udvikle nye teknikker lærte man at bygge flere mastabaer ovenpå hinanden.

Dette førte først til trinpyramiden, og derefter til pyramiderne som vi kender dem i dag. Grunden til man lavede noget så stort og specielt til kongen, var for at adskille kongebegravelsen fra hoffolks og undersåtters begravelse. På den måde kunne man tydeligt se forskellen mellem hans gudelige status, og de helt almindelige dødeliges.

30

Mastaba er et oldægyptisk begravelsesmonument til de tidligste konger af landet. Mastaba betyder "bænk" på arabisk og hentyder til formen på denne gravtype.

Side 19

19

Herodot om Pyramiderne^{31}

Fortællingen herunder findes i 2. bog, kap. 124 - 134 i Herodots ”Historia”. Teksten er en oversættelse fra ”Historia”, hvilket vil sige, at kilden er en andenhåndskilde, da den bygger på en andens (Herodots) studier. Kilden er skrevet i perioden ca. 440-425 f. Kr. Herodot kritiseres ofte for at vare en utroværdig historiker. Lad os se pa kilden, og derefter vende tilbage til Herodots troværdighed.

Herodot starter med at sige: ”For mig har det vigtigste været at nedskrive, hvad jeg har fået fortalt…” – det er altså ikke, ifølge Herodot, en subjektiv skildring vi skal til at læse, men en objektiv. Herodot fortæller: ”Til og med den tid, hvor Rampsinitos var konge, fortalte de,

(ægypterne) var der helt igennem gode og lovlige styreformer og Ægypten trivedes i høj grad”.

Ægypten har aldrig haft en konge ved navn Rampsinitos, men dog kan Rampsinitos vare en form af det meget kendte kongenavn Ramses. Herodot omtaler derefter kong Kheops: ”Men da Kheops begyndte at regere efter ham, førte han landet ud i den største ulykke” Herodot påstår nu her at kong Kheops førte landet ud i ulykke, som kan have noget at gøre med at kong Kheops lukkede mange templer rundt omkring i landet, hvilket nok er hovedårsagen til hans upopularitet. [32] Herodot fortsætter: ”…, og så beordrede han alle ægyptere til at arbejde for sig. Nogle fik besked pa at slæbe sten fra stenbruddene i det arabiske bjerg helt til Nilen, andre fik befaling på at modtage stenene, nar de var sejlet over floden, og slæbe dem til det bjerg, der kaldes det libyske”. At alle ægyptere blev sat til at arbejde på pyramiden er en overdrivelse, for en arbejdsstyrke på ca. 10.000 mand ville kunne gennemføre bygningen på ca. 20 år. [33]

Desuden havde Ægypten pa denne tid mellem en og to millioner mennesker [34].

At Nilen blev flittigt brugt til transport (bl.a. til stenblokkene til pyramiderne) er korrekt for Nilen spillede en stor rolle mht. transport, og gjorde den meste landtrafik overflødig. Herodot fortæller videre: ”Sådan en pyramide er lavet på samme made som en trappe, opbygget af, hvad nogle kalder afsatser, andre trin. Når de først havde opbygget den sådan, løftede de resten af stenene med en slags maskine lavet af korte træstykker.” Ægyptiske kilder fortæller ikke rigtig noget om hvilke

31

Oplysninger i dette afsnit fra MC s. 41-45

32

Dette kan længe diskuteres, fordi kong Kheops var samtidig dyrket som en gud, og det er ham der har indledt

Ægyptens historie. PB s. 181
33

http://netspirit.dk/new/?page=571

34

http://no.wikipedia.org/wiki/Oldtidens_Egypt

Side 20

20

                              35
specifikke metoder arbejderne brugte. Derimod kan man kigge på det værktøj, de brugte for at

forstå hvordan konstruktionen af pyramiderne foregik.

Ovenstående var som sagt et uddrag fra ”Historia” med kommentarer. Ang. Herodots troværdighed

- hvad kan vi bruge hans beretning om Ægypten, Kheops, og pyramiderne til? Herodot har mange detaljer med i sine beskrivelser, hvilket virker meget overbevisende og troværdigt. Men der stadig en masse ting der ikke helt stemmer. (fx måden Kheops pyramiden er konstrueret, der er i dag ikke fundet beviser for nogen ’maskine’ som han nævner). Som læser gør dette, at det er nødvendigt, at have en anden kilde at kunne sammenligne med, da man ikke

ved hvilket der er rigtigt/forkert i Herodots fortælling. Man kan ikke med sikkerhed vide, hvorfor

der er forkerte fakta i Herodots udsagn, men det kan bl.a. skyldes forkerte oversættelser. Desuden ved man heller ikke, om Herodot har siddet i Athen og skrevet sine bøger, eller om han selv har set og oplevet tingene. Det er dog mere sandsynligt at han selv rejste rundt i Ægypten af den simple grund at der i Grækenland på dette tidspunkt ikke var nogle bøger eller arkiver han kunne forske i.

Som nævnt tidligere var det også først omkring år 440 f.Kr. at han skrev sine beretninger, og på det tidspunkt var pyramiderne ca. 2000 år gamle. På Herodots tid var der ikke mange andre historikere, som han kunne hente fakta hos, hvilket vil sige, at den information han skulle samle var vha.

førstehåndskilder, som dengang var op til 2200 år gamle. Alt i alt ville jeg ikke vurdere Herodot som den mest troværdige kilde med hensyn til Ægypten og pyramiderne, da mange af hans argumenter enten stadig står usikre eller er i dag blevet modbevist. Han giver os dog et rigt indblik på forholdene under pyramidebygningen med alle sine detaljer som sagtens kunne passe.

Pyramidernes funktion ifølge Edwards:

Edwards prøver at tolke pyramidernes funktion ud fra pyramideteksterne [36]. Havde pyramiderne en

religiøs funktion, var de blot ”pynt” eller havde de en reel funktion/skulle den anvendes praktisk?

”The Pyramid Texts suggest an answer to these questions. One of the many different ways by which the deceased king, or more probably his spiritualized body, could approach the celestial heaven was by a staircase. Spell 267 reads: ‘A staircase to heaven is laid for him (kongen) so that he may mount up to heaven thereby.’. Ifølge disse pyramidetekster, skulle pyramiderne altså have det formal, at de fungerede som en slags ”stige” til himmeriget. “The Pyramid Texts often describe the king as mounting to heaven on the rays of the sun.” Der er netop teorier om at pyramiden har fået sin form,

35

EE s. 254

36

Pyramidetekster forekommer første gang i en pyramide fra kong Uenis’ tid (f.kr), MC s. 45

Side 21

21 fordi de skrå sider skal repræsentere solens stråler. Vi kan til sidst konkludere, at pyramiderne havde et formål. Formålet med dem var, at de virkede som et slags bindeled mellem himlen og jorden.

Andre teorier

Det var i det 5. dynasti at man begyndte at dekorere pyramidevæggene, med bl.a. pyramidetekster og forskellige overtroiske tekster som skulle beskytte den døde fra alt ondt. Sådanne tekster er klar indikation på at pyramiderne fungerede som gravkamre. Men man har i virkeligheden aldrig fundet hele mumier inde i disse gravkamre. Der er blevet fundet mumificerede legemsdele, knogler o.l.

men aldrig en hel mumie. På grund af mangel på et lig inde i pyramiderne, har man spekuleret om pyramiderne havde andre funktioner. En anden og realistisk teori [37], observeret af ægyptologen Alexander Badawy [38], er at det skam var kongernes gravsted, men at pyramiderne måske har været cenotapher. [39] (tomme grave). Altså at kongens egen krop aldrig har ligget i sarkofagene, men at de blot var der af symbolsk betydning. Dette kunne have været gjort af frygt for gravrøvere, eller blot for at beskytte kongens lig fra mulige indtrængende. På baggrund af disse faktorer, kunne man være fristet til at konkludere, at hvis pyramiderne ikke var beregnet som virkelige grave for faraoerne, så var de beregnet som cenotapher, og at kongens mumie blev begravet andetsteds.

Konklusion

Jeg har med denne opgave forsøgt at give et indblik på en del af den ægyptiske matematik. Jeg har forklaret ægypternes metoder at regne på, samt trinvist gennemgået eksempler på de 4 regningsarter og pyramidernes matematik.

Efter at have studeret ægypterne kan jeg konkludere at de har været et meget veludviklet folk for deres tid. Vi bruger stadig de samme regnemetoder som de brugte for over 6000 år siden. De havde præcisionen og redskaberne til at bygge noget så enormt som pyramiderne, hvor Kheopspyramiden i dag er det eneste af verdens 7 vidundere som stadig eksisterer. Det er forståeligt at der i dag er så mange teorier, om hvorvidt ægypterne selv byggede pyramiderne eller om de var bygget af rumvæsener, da byggeprocessen nærmest virker umulig i disse tider. Det har krævet ekstremt hårdt

37

Oplysninger i dette afsnit fra Why were the pyramids built?, Larry Orcutt

38

Alexander Badawy, ægytisk ægyptolog (November 29, 1913 – Maj 1986)

39

Fra det græske kenotaphion, eller bogstaveligt, "tom grav".

Side 22

22 arbejde og god planlægning, både fra at transportere stenblokkene til at sætte dem sammen i en pyramideform så enorm.

Ved hjælp af historiske kilder omhandlende pyramiderne, har jeg prøvet at give et svar på hvad pyramidernes funktion har været, og efter at have sammenlignet forskellige teorier, kom jeg frem til at de har været gravsteder for faraonerne, men at de højst sandsynligt har været tomme grave da der endnu ikke er blevet fundet hele mumier inde i nogen af pyramiderne.

Jeg har vurderet hvorvidt Herodot kan betragtes som en troværdig kilde, for selvom han skrev i kort tid efter pyramidernes konstruktion (kort tid sammenlignet med i dag), så har han en del fejl med i sine beretninger grundet forkerte oversættelser og mundtlig overlevering. Derfor kan historikere som Edwards, som først skriver i 1967, alligevel give os en meget mere præcis forklaring på vores spørgsmål da vi i dag har samlet så meget viden om det oldægyptiske samfund og kan oversætte meget mere præcist end Herodot, eller eventuelt hans tolk, har kunnet.

Ud fra de matematiske kilder der er overlevet indtil den dag i dag kan vi se hvad matematikken har været anvendt til. Hvis har været anvendt ved uddannelsen af skrivere, kan eksemplerne herfra fortælle om, hvilke opgaver de blev forberedt på at kunne varetage. Det har drejet sig om problemer om fordeling af forbrugsvarer, beregning af arealfordeling, volumenberegninger og byggetekniske udregninger i form af bestemmelse af pyramidehældninger.

Dette er igen med til at give os et billede af det ægyptiske samfund for 6000 år siden, og hvordan deres måde at leve på har været, og hvilke problemstillinger deres hverdag har inkluderet.

Hvor få kilderne til den ægyptiske matematik end er, så har historikere haft held med at give et indtryk af de regnemetoder skriverne beherskede.

Pyramidetidens Ægypten har en så stor betydning for vores historie i dag. Der er stadig så mange ting vi ikke ved og ikke har opdaget. Vi får hele tiden ny viden om ægypternes måder at leve på, og gør hele tiden nye arkæologiske fund. Pyramidetidens Ægypten er nu blevet historie. Faraoerne i tiderne efter, byggede ikke pyramider. Men pyramiderne som stadig står, vil for evigt være et minde for os fra den tid.

Side 23

23

Litteraturliste

Bøger:

OP, JL og JF beskriver alle den ægyptiske matematik nøje og meget forståeligt. De har alle taget udgangspunkt i kilderne , Moskva og Læderrullen m.fl., og givet deres svar begrundet på dem:

Olaf Pedersen, OP, Matematik og naturbeskrivelse i oldtiden, Akademisk forlag København, 1975 Jens Lund, JL, Regn med en skriver, Munksgaard, København, 1953

Jesper Frandsen, JF, Ægyptisk matematik, Forlaget Systime A/S, Århus, 1996

Torben Holm-Rasmussen, Ansigt til ansigt med ægypterne, Pantheon, 1993

Mogens Carstensen, MC, Pyramidetidens Ægypten f.Kr., Gyldendal, 1987

Carsten Broder Hansen (m.fl.), Matematiske horisonter, DTU, Svendborgtryk

PB giver et rigtig godt indblik på hverdagslivet i det gamle Ægypten, ægypterne som folkeslag, kong Kheops samt Kheopspyramiden:

Peter Bendow, PB, Pyramidetidens Ægypten, Aschehoug Dansk Forlag, 1947

MC bruger gamle førstehåndskilder som pyramidetekster og skrifter, samt Herodots beretninger til at beskrive oldtidens Ægypten samt pyramidernes funktion:

E. Edwards, EE, The Pyramids of Egypt, Penguin Books, 1967

Artikler:

An overview of Egyptian mathematics

Artikel af J.J O’Connor December 2000, som giver et overblik over den ægyptiske matematik:

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Egyptian_mathematics.html

Herodot som historiens fader, Mogens Herman Hansen, en historikers vurdering af Herodot, ”Historia” og hans troværdighed:

http://aigis.igl.ku.dk/2001,1/MHH-Hdt.pdf

Why were the pyramids built?, Larry Orcutt 2000, historiker Larry Orcutt kommenterer forskellige forfatteres og ægyptologers teorier ang. Pyramidernes funktion:

http://www.catchpenny.org/whybuilt.html

Side 24

24

Websider:

Det ægyptiske talsystem:

http://kielbergkurser.dk/Talsystemer/Egypten/Det_egyptiske_talsystem.htm

Pyramidernes mysterier:

http://www2002164.thinkquest.dk/Pyramidernes%20Mysterier/index2.html

:

http://www.math.washington.edu/~greenber/Rhind.html

og

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=da&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/R
MP_2/n_table&prev=/search%3Fq%3Dpapyrus%2Brhind%26hl%3Dda%26sa%3DG&rurl=translat
e.google.dk&usg=ALkJrhgqLutGUUjG7mSsjsKJHjGYuS8BRA

:

http://en.wikipedia.org/wiki/Moscow_Mathematical_Papyrus

Pyramiderne:

http://netspirit.dk/new/?page=571

http://no.wikipedia.org/wiki/Oldtidens_Egypt

Billeder:

http://www.denstoredanske.dk/Rejser,_geografi_og_historie/Mellemøsten/Egypten/Egypten_i_oldti
den/Egypten_i_oldtiden_(Videnskab)/Egypten_i_oldtiden_(Videnskab_-_Matematik)

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Mpap.JPG

Side 25

25

Bilag 1 n

2

       40
- tabellen

Bilag 2

Nogle af de ægyptiske enheder^{41}

Længdeenheder: Arealenheder: Rumfang:

Alen Setat Hekat

1 alen = 7 håndsbredder 1 setat = 1 khet^{2} 1
= 28 fingre ~ 52,5cm = 10000 alen^{2} = 52,5^{2} m^{2}

Khet Alenstrimmel

1 khet = 100 alen 1 alenstrimmel =

~ 52,5m 1 alen x 1000 alen

1 hekat = alen^{3}

30

30 hekat = 1 alen^{3}

Bilag 3

Opgave 14 fra

42

40

Billedet er en scanning fra JF s. 31

41

Enheder fra JL s. 116

42

Billede fra http://en.wikipedia.org/wiki/File:Mpap.JPG