Stx Matematik A 11. august 2011 | Uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx112-MAT/A-

Opgaver uden hjælpemidler - 11. august 2011

Opgave 1

Arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder er givet ved |det⃗𝑎, 𝑏| (jf.

⃗ formel 46). Arealet bestemmes (jf. formel 43)

|det⃗𝑎, 𝑏| = | ⃗𝑎 · 𝑏|= | · | = |−4 · 3 + 5 · 6 = −12 + 30 = 18 .

⃗ ˆ ⃗

−4 3

5 6

))

Det ønskede areal er altså 9.

Opgave 2

Ved hjælp af de sædvanlige regneoperationer for differentiation af polynomier bestemmes

𝑓^{′} (𝑥) (jf. formel 120, 121, 122, 129)

𝑓^{′} (𝑥) = 2𝑥^{3} − 𝑥^{2} + 3𝑥 = 2𝑥^{3} − 𝑥^{2} + (3𝑥)^{′} = 6𝑥^{2} − 2𝑥 + 3 .

()_{′} ()_{′} ()_{′}

Den første afledede af 𝑓 er altså

𝑓^{′} (𝑥) = 6𝑥^{2} − 2𝑥 + 3 .

Opgave 3

Konstant leddet, 4783, angiver den gennemsnitlige årlige mælkeydelse pr. ko målt i kilo-gram i modellens år 0, dvs. år 1975 e.v.t.

Konstanten til førsteordensleddet, 124, angiver den årlige vækst af dem gennemsnitlige årlige mælkeydelse. Gennemsnitligt vil hver ko altså give 124 kilogram ekstra mælk pr. år pr. år.

Opgave 4

For at bestemme en ligning for en tangent bruges tangentens hældning samt et punkt på tangenten. Et punkt kendes, og hældningen bestemmes ved at indsætte i differentiallig-ningen.

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 2𝑥 + 𝑥𝑦 = 2 · 1 + 1 · 3 = 5 .

Hældningen af den ønskede tangent er altså 5.

Nu bestemmes tangentens ligning (jf. formel 49)

𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥_{1}) + 𝑦_{1} = 5(𝑥 − 1) + 3 = 5𝑥 − 5 + 3 = 5𝑥 − 2 .

Ligningen for den ønskede tangent er altså

𝑦 = 5𝑥 − 2 .

Opgave 5

For at bestemme integralet defineres først

𝑡 = 𝑥^{2} + 3 .

1

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx112-MAT/A-

Da er

𝑡^{′} = 2𝑥 .

Integralet kan nu bestemmes (jf. formel 152, 138)

∫ ∫ ∫ ∫

2𝑥 1 2𝑥 1 2𝑥 1

𝑥^{2} + 3 𝑡^{′} 𝑡 2𝑥 𝑡 𝑡

𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 = ln|𝑡| = ln|𝑥^{2} + 3| = ln 𝑥^{2} + 3.

()

Integralet er altså

ln 𝑥^{2} + 3.

()

Opgave 6

Kassens rumfang er givet ved

𝑉 = 𝑥 · 𝑙 · h .

Derfor isoleres først h.

3𝑥 + h = 3 ⇔ h = 3 − 3𝑥 .

Det fremgår heraf at 𝑥 < 1 da højden elles ikke ville være positiv. Rumfanget bliver da

𝑉 = 𝑥 · 𝑙 · h = 𝑥 · 2𝑥 · (3 − 3𝑥) = 2𝑥^{2} · (3 − 3𝑥) = 6𝑥^{2} − 6𝑥^{2}.

Da 𝑥 < 1 er rumfanget positivt. Rumfanget udtrykt ved 𝑥 er altså

𝑉 = 6𝑥^{2} − 6𝑥^{3}.

Alle formlerne henviser til Matematisk formelsamling stx A fra 2007.

Bemærk: Formelsamling må ikke anvendes til opgaver uden hjælpemidler.

Referencer til en formelsamling bør ikke medtages i en besvarelse, og formelhenvisnin-ger kan ikke erstatte formler, forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vores løsninger, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

2