SRP om Fourieranalyse i Fysik A og Matematik A

Side 1

SRP i matematik/fysik

1

SRP i Fysik og Matematik med hovedvægt på lyd og fourieranalyse

-

Side 2

SRP i matematik/fysik

2

Indholdsfortegnelse

Abstract: ............................................................................................................................................... 3 Indledning: ........................................................................................................................................... 3 Redegørelse for de matematiske principper der ligger til grund for analyse af lyd: ........................... 4 Sinusfunktion: ................................................................................................................................... 4 Harmonisk svingning: ....................................................................................................................... 6

             Ref(1,23)
Fourier analyse:  ..................................................................................................................... 6

Lyd: ....................................................................................................................................................... 8 Superpositionsprincippet: .................................................................................................................... 9 Forsøg med lyd: .................................................................................................................................. 10 Forskrift for tilældig lyd fra generator: .......................................................................................... 13 Kvindestemme uden mobiltelefon: ................................................................................................ 16 Mandestemme uden mobiltelefon: ............................................................................................... 18 Kan mandestemme via mobiltelefon genkendes fra en kvindestemme: .......................................... 20 Kvindestemme igennem en mobiltelefon ...................................................................................... 20 Mandestemme igennem en mobiltelefon ..................................................................................... 22 Diskussion og fejlkilder: ..................................................................................................................... 23 Konklusion: ......................................................................................................................................... 24 Referenceliste: ................................................................................................................................... 25 Bøger: ............................................................................................................................................. 25 Hjemmesider: ................................................................................................................................. 25 Bilag: ................................................................................................................................................... 25

Side 3

SRP i matematik/fysik

3

Abstract:

In this assignment you will be able to read about sound analysis with stating point in Joseph Fourier’s theory “Fourier analysis” and the principle of superposition. My entire assignment grounds in a myth that claims that a male voice can’t be distinguished from the female voice when it talks through a phone because all the lower frequencies that makes the male voice significant will be cut out during the transmission. I will monitor the male voice frequency through a cell phone and into my computer, and afterwards directly into my computer. Then I can analyze a period from each graph with Fourier analysis and see which frequencies they contain and compare these periods by making my own additional graphs and compare the sum of them. The conclusion to this project is that fourier analysis is a really good way to analyze sinus curves. There are some issues though: It gets really complicated real fast with for instance a simple tone I was able to find

41 functions to combine this one tone. And when I made the part of the experiment where I was sending the sound through a cell phone the sinus curve wasn’t anything like expected.

Indledning:

Denne studieretningsopgave er skrevet i fagene matematik og fysik. Dette har jeg valgt at gøre da det er de to fag jeg følte tangerer bedst til hinanden af mine mulige fagkombinationer. I min opgave har jeg valgt at beskæftige mig indenfor området lyd, sinuskurver og fourieranalyse. Til sidst vil jeg så vidt muligt undersøge om, hvorvidt myten, der siger, at mandestemmers nederste frekvenser under transmission i mobiltelefoner bliver skåret af, så man ikke kan kende forskel på mandestemmer og kvindestemmer, har hold i sig. Alt dette vil jeg gøre ved at optage mandestemmer igennem en mobiltelefon til computeren og derefter optage direkte ind i computeren. Når jeg har analyseret de to fourierspektre for disse to optagelser vil jeg vise, hvordan man via fourierspektret kan finde en nogenlunde passende forskrift for den oprindelige tone. Da de fleste tal i denne opgave stammer fra matematiske programmer med engelsk kommatering, har jeg valgt at bibeholde denne formatering da jeg ikke kan se det skaber nogen grund til forvirring da det er gennemgående. Altså er 27.98dkr fx lig med 27 kroner og 98 øre.

Denne opgave er et resultat af opgaveskriverens egen research og fortolkning af forsøg, den må ikke gøres til genstand for genskabelse eller offentlig skue uden opgaveskrivers accept.

Side 4

SRP i matematik/fysik

4

Redegørelse for de matematiske principper der ligger til grund for analyse af lyd:

Sinusfunktion:

Sinusfunktionen er en kontinuert, differentiabel, trigonometrisk funktion der beskriver forholdet mellem to sider i en retvinklet trekant.

           𝑎
Hvor 𝑠𝑖𝑛𝜃=
           𝑐

Nu kan man måske tro at det kun gælder for vinkler mellem 0-90 grader, men ved at kigge på enhedscirklen nedenfor kan vi se at når vinklen f.eks. bliver 180-t grader, så vil sinus få den samme værdi, og derfor skal man huske at tage hensyn til at der ofte er to svar når man regner med sinus

og cosinus. Da en cirkels omkreds er O= 𝜋∙2∙𝑟, og radius i enhedscirklen er 1, er perioden for
sinuskurven 2·π. Det vil sige at sin (𝜃)=sin (𝜃+2𝜋) og cos ( 𝜃) =cos (𝜃+2𝜋). Så hver gang
man i sit koordinatsystem har bevæget sig 2·π i en retning vil der starte en ny identisk periode.

Dog skal det også nævnes at denne periode kun gælder for enhedscirklens sinusfunktion, og ved andre periodiske signaler sættes perioden blot til T eller andet.

Grundlæggende for sinuskurver er, at de vinkler de er afledt af tages i radianer. Når vi ser på enhedscirklen kan dette lettere beskrives. Enhedscirklen er en cirkel med radius 1 og midtpunkt i et koordinatsystems origo.

Side 5

SRP i matematik/fysik

5

Sinus og cosinus aflæses der hvor vores vinkel skærer enhedscirklen. Altså i punktet (cos(t),sin(t)) Normalt måler vi vores vinkler i grader, men ved radianer er det længden af den bue som vinklen t

                                                           𝑔°∙2𝜋     𝜋
danner med 1. aksen på enhedscirklen. Radianer beregnes således: 𝑟= =°𝑔∙ . Hele
                                                           360°     180°

vejen rundt om enhedscirklen er der 2π når man måler i radianer.

Sinus og cosinus aflæses der hvor vores vinkel skærer enhedscirklen.

Sinuskurven for enhedscirklen når der måles i radianer ser altså således ud:

Den simpleste måde at skrive en sinusfunktion på er f(t)=A·sin(ω t), hvor er vinkelfrekvensen målt i

1 radianer.

Side 6

SRP i matematik/fysik

6

Hvis vi se vil finde vinkelfrekvensen kan vi omskrive således ved at sætte en ekstra periode på vores sinusfunktion:

𝐴∙sin ( 𝜔_{1} ∙𝑡) =𝐴∙sin ( 𝜔_{1} ∙𝑡+2∙𝜋) =𝐴∙sin(𝜔_{1} ∙(𝑡+))

2∙𝜋

𝜔_{1}

                                     1   2∙𝜋
Perioden T for en sinusfunktion er derfor: T= =
                                     𝑓   𝜔
                                     1    1

                                 1   1   𝜔
                                           1
f er repetitionsfrekvensen målt i hZ. f = = = . Og når der samles sammen på 1. og 4. led i
                                     2∙𝜋
                                 𝑇       2∙𝜋

1 1 𝜔

1

denne ligning kan vi nu let se at vinkelfrekvensen: ω =2·π·f

1 1

Man kan også se på sinusfunktionens punkter som en enhedsvektor, der roterer i positiv omløbsretning med jævn vinkelhastighed, ω

1

, i det komplekse talplan. Så når vektoren har roteret

2·π radianer svarer det til en periode i af signalets tidsfunktion.

Harmonisk svingning:

Udtrykket harmonisk svingning bliver i daglig tale benyttet om en sinusformet svingning. Når flere svingninger sammen er harmoniske er det i denne opgave et udtryk for flere lydsvingninger, hvis samlede frekvenser har et ”smukt” indbyrdes forhold såsom 1:2, 3:4 osv.

               Ref(1,23)
Fourier analyse:

I slutningen af det attende århundrede begyndte den franske matematiker og fysiker Joseph Fourier at beregne på det man senere ville kalde fourieranalyse. Fourieranalyse kan bruges til mange ting i hverdagen, men et godt eksempel er analyse af stemmer. Når der bliver udgivet en ny video med Osama Bin Laden, der snakker om hellig krig, kan man for eksempel bruge fourieranalyse til at analysere stemmen og bestemme om det vitterligt er Osama der taler med de frekvenser man nu har undersøgt førhen, at han taler med, eller om der blot er tale om en forfalskning. Man eksperimenterer også med stemmeanalyse til at finde ud af hvilken emotionel

tilstand en person er i.^{(ref. a))}

Side 7

SRP i matematik/fysik

7

Ved f’s fourierrække, hvor den halve periode af funktionen er T i intervallet [–T≤0≤T], forstås den

uendelige følgende række:

(ref. 2 pp. 3)

𝑎_{𝑜} +𝑎_{1} cos( 𝑡)+𝑏_{1} 𝑠𝑖𝑛( 𝑡)+𝑎_{2} cos( 𝑡)+𝑏_{2} 𝑠𝑖𝑛( 𝑡)+…+𝑎 cos( 𝑡)

𝜋 𝜋 2𝜋 2𝜋 𝑛𝜋

𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑛

+𝑏_{𝑛} 𝑠𝑖𝑛( 𝑡)

𝑛𝜋

𝑇

Hvor fourierkoefficienterne a, a, og b er følgende:

0 n n

𝑎_{𝑜} = ∫ 𝑓 ( 𝑡) 𝑑𝑡

1

2𝑇_{−𝑇}

𝑇

     1 𝑇          𝑛∙𝜋         1  𝑇          𝑛∙𝜋
𝑎  =     𝑓 ( 𝑡 ) ∙𝑐𝑜𝑠( 𝑡)𝑑𝑡,𝑏 =    𝑓(𝑡)∙sin ( 𝑡)𝑑𝑡 og n= [1,2,3….∞]
      ∫                         ∫
 𝑛                         𝑛
       −𝑇                       −𝑇
     𝑇             𝑇          𝑇             𝑇

På kort form kan denne sum a mange led skrives ved hjælp af det meget praktiske sumtegn:

𝑓 ( 𝑡) =𝑎_{0} +∑(𝑎 𝑐𝑜𝑠( 𝑡)+𝑏_{𝑛} sin ( 𝑡))

𝑛 𝑛∙𝜋 𝑛∙𝜋

𝑇 𝑇

∞

𝑛=1

A og b kaldes fourierkoefficienternes, og de repræsenterer cosinus- og sinuskomposanternes n n

amplitude, eller sagt på en anden måde: Deres numeriske værdi.^{ref(2.pp.3)}
t=den uafhængige variable. Når t opfattes som tiden, så vil resten af rækkens led repræsentere

svingninger, som i denne opgave har den praktiske direkte fysiske fortolkning af lydsvingninger.

Fourierrækken der er konvergent med summen f(x) er dermed bestemt af de angivne formler.

                                     ref(2.pp.3)
Hvis jeg vil finde a ved hjælp af udregninger:

n

                     𝑛∙𝜋
Vi multiplicerer med cos( 𝑡)og der integreres i intervallet [-T,T]:
                      𝑇

∫ 𝑓 ( 𝑡) cos( 𝑡)𝑑𝑡

𝑛∙𝜋

𝑇

𝑇

−𝑇

=∫ 𝑎_{0} cos( 𝑡)𝑑𝑡

𝑛∙𝜋

𝑇

𝑇

−𝑇

+∑(∫ 𝑎 𝑐𝑜𝑠( 𝑡)cos( 𝑡) 𝑑𝑡+∫ 𝑏 sin ( 𝑡)cos( 𝑡)𝑑𝑡)

𝑘 𝑘 𝑘∙𝜋 𝑛∙𝜋 𝑘∙𝜋 𝑛∙𝜋

𝑇 𝑇 𝑇 𝑇

𝑇 𝑇

−𝑇 −𝑇

∞

𝑘=1

Side 8

SRP i matematik/fysik

8

Når jeg taster denne ind på lommeregneren og sætter n≠k og n>0 kan jeg straks se at nogle af

leddene giver 0. Og jeg kan nu forkorte og isolere a: n

∫ 𝑓 ( 𝑡) cos( 𝑡)𝑑𝑡=∫ 𝑎 (cos( 𝑡)) 𝑑𝑡+∫ 𝑏_{𝑛} sin( 𝑡)cos( 𝑡)𝑑𝑡

𝑛∙𝜋 𝑛∙𝜋 𝑛∙𝜋 𝑛∙𝜋

𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑛

2

𝑇 𝑇 𝑇

−𝑇 −𝑇 −𝑇

∫ 𝑓 ( 𝑡) cos( 𝑡)𝑑𝑡=𝑎_{𝑛} ∙𝑇+0=𝑎 ∙𝑇

𝑛∙𝜋

𝑇 𝑛

𝑇

−𝑇

𝑎_{𝑛} = ∫ 𝑓 ( 𝑡) cos( 𝑡) 𝑑𝑡,𝑛=1,2,3,…

1 𝑛∙𝜋

𝑇_{−𝑇} 𝑇

𝑇

Lyd:

Lyd er bølger, longitudinalbølger for at være mere præcis. Altså en bølge hvor partiklerne svinger parallelt med bølgens udbredelsesretning. Bølger har tre egenskaber:

1: De kan interferere

2: De kan gå om hjørner, altså bliver jeg nødt til at lave forsøget igennem mobiltelefon fra et rum, hvor der kan lukkes fuldstændig af for lyd ind til det rum, hvor computeren står og optager med mikrofonen.

3: De kan reflektere, dette punkt er vigtigt for min opgave, da jeg skal tage hensyn til det under forsøg.

Nedenfor kan vi se grundlaget for en harmonisk bølge:

a=amplituden og λ=bølgelængden.

Mennesker kan ca. høre lydbølger med frekvenser imellem: 20-20.000Hz. Altså maksimum 20.000 svingninger pr. sekund. Og jo højere frekvens, desto højere synes tonen at være. Lydens hastighed

Side 9

SRP i matematik/fysik

9 er forskellig alt efter hvilket element den bevæger sig i. Når der er gennemført en svingning har bølgen flyttet sig en bølgelængde.

Når vi til daglig tænker lyd er det ret oplagt at bruge musik som et eksempel. Musik og stemmer består af en sammensætning af toner, der giver en samlet klang. Og for at tyde hvilke frekvenser,

der spilles/tales/synges med kan man med god nytte anvende fourieranalyse. Hvor lydbølgerne

med de forskellige frekvenser opdeles så man kan se, hvilke frekvenser der er de dominerende og hvilke der er partialtoner. Den mest kendte tone er nok kammertonen, det er den lyd, der er i de fleste fastnettelefoner når der ikke er ringet op endnu. Kammertonen er på 440hZ.

Det mandelige stemmeleje ligger ca. imellem 85-155hZ. I gennemsnit altså 85 ℎ𝑍+ =
                                                                         2

155 ℎ𝑍−85 ℎ𝑍

120 hZ. Det kvindelige stemmeleje ligger ca. imellem: 165-255 hZ, og det er så i gennemsnit

165 ℎ𝑍+ = 210 hZ.^{Ref(4,5)} Det er disse to frekvenser jeg vil bruge i min opgave når

255 ℎ𝑍−165 ℎ𝑍

2 jeg undersøger myten om mandestemmers genkendelighed i forhold til kvindestemmer igennem mobiltelefoner. Dette gør jeg, da man umuligt kan få et menneske til at sige den præcis samme lyd mange gange i streg.

Superpositionsprincippet:

Superpositionsprincippet forstås på følgende måde: I de tilfælde, hvor der på samme tid er flere tilførte indgangsvariable, kan man beregne den samlede udgangsrespons ved at udtage én af indgangsvariablene ad gangen og til sidst danne summen af alle delbidragene.

(ref. 3. pp48)

Sammenhængende med denne opgave kan superpositionsprincippet forklares på følgende måde:

Når et lydbillede er blevet optaget ind på computeren kan udgangsresponsen se meget forvirrende ud, og det kan være svært at finde forskriften for denne. Når man så fourieranalyserer denne kurve og kigger på hvilke toppe, der er i fourierspektret kan man via disse skabe sig et samlet overblik over, hvilken grundtone der er i forløbet, og hvilke partialtoner der er med til at skabe den specifikke klang.

Grundtonen er meget let at finde da det er den højeste top der er, partialtonerne indeles numerisk efter hvilket forhold de har til grundtonen. Hvis grundtonen fx er 440hZ vil jeg i denne opgave kalde partialtonen med frekvensen 880hZ for 1. partialtone.

Side 10

SRP i matematik/fysik

10

Forsøg med lyd:

Til mit forsøg vil jeg gøre brug af: computer med datalyse, en tonegenerator med tilhørende højtaler der kan afspille lyde i det størst mulige frekvensinterval, to mobiltelefoner og et headset der kan tilkobles computeren.

Opstillingen fordelt i to dele:

På dette billede ses tonegeneratoren sammen med en højtaler og en mobiltelefon, det er den ene ”station” af forsøget.

Side 11

SRP i matematik/fysik

11

Det er svært i et forsøg at undgå baggrundsstøj, men jeg har så vidt muligt taget hensyn til det ved at optage mine lyde i et rum med mange tæpper og møbler så der ikke er refleksion af lyde i rummet. Til at starte med lavede jeg mine målinger ved siden af en brændeovn, men blot den mindste susen i skorstenen viste sig at give udslag på mit lydbillede, derfor må jeg også konstatere at baggrundslyde er uundgåelige, og jeg vil derfor kun bruge de mest markante toppe i min fourieranalyse.

Jeg vil ikke bruge en mandestemme i mit forsøg da det ville give for mange fejlkilder. Hvis jeg brugte en voksen mand til at tale ville det være umuligt at gentage den samme lyd flere gange når der både skal optages lyd direkte til datalyse og igennem mobiltelefon fra et andet rum. Derimod vil jeg bruge en tonegenerator, og indstille den til de gennemsnitlige frekvenser jeg før i opgaven har regnet ud for mandestemmer og kvindestemmer.

På dette billede ses computer med mobiltelefon. På mobilens lydudgang er en mikrofon fra computeren påklæbet med tape.

Dette er den 2. ”station” til forsøget.

Side 12

SRP i matematik/fysik

12

Således ser programmet datalyse, som jeg har lavet mine forsøg via, ud:

Opsætning af datalyse:

Når man optager lyd i datalyse er det vigtigt at computeren er slukket når man tilslutter headsettet, derefter når man har tændt computeren skal man vælge:

1: Apparat → vælg apparat → interface→ lydkort

2: Lydkort →mål lyd →lyddata

3: Instillinger →lyddata

4: Stop når du har en god måling

5: Derefter kan målingen tilpasses så man har en enkelt periode der ser ud til at gå igen at arbejde med

6: Man kan trykke på knappen ”fourier” og så kommer målingens fourierspektrum frem, derinde kan man så ”fitte” for at finde grundsvingningen, når den er fundet kan man ”fitte” de andre mindre toppe der er, og se hvordan de passer i forhold til for at finde partialtonerne.

Side 13

SRP i matematik/fysik

13

Forskrift for tilældig lyd fra generator:

Jeg satte min generator til at afspille en tilfældig lyd og satte derefter datalyse til at optage målinger, jeg mplte indtil der var en pæn måling. Vi kan tydeligt se at lyden er en periodisk svingning:

Den enkelte periode forstørret:

*10

-3

-100

-200

100

200

300

400

t/s

y/

Titel

2 -3

*10

-100

-200

100

200

300

400

t/s

y/

Titel

Side 14

SRP i matematik/fysik

14

Fourieranalysen af den tilfældige sinusfunktion:

Vi kan tydeligt se på fourieranalysen af der er forskellige frekvenser i denne klang, og for at analysere på den har jeg fittet resultaterne til et skema i bilag 1.

Jeg vil nu vise, hvordan grundtonen og 1. partialtone beregnes udfra fits’ne, alle de andre udregninger foregår på præcis samme måde, med de tal der hører til i den kolonne.

f(t)=A·sin(ω1·t) er den funktion jeg før i opgaven har vist, hvordan er beregnet: Nu kan jeg direkte
tage amplituden, A, fra mine ”fits” og beregne ω med formlen: ω =2·π·f, som jeg også har påvist

1 1 1 før i opgaden. f har jeg også fra mine fit værdier.

1

Grundtonen:

g(t)= 117.3·sin(2·240.16·π·t)↔g(t)=117.3·sin(83·t)

1. partialtone:

p1(t)= 76.1·sin(2·480.67·π·t) ↔ p1(t)=76.1·sin(82·t)

Alle disse toner inklusiv dem fra bilag 1 lægges nu sammen, til og med partialtone nummer 40, og derefter plottes de ind i Tiinteractives graftegner, og jeg ser nu nedenfor, at den graf jeg har skabt

2 4 6 8 3

*10

20

40

60

80

100

f/Hz

y/

Titel

Side 15

SRP i matematik/fysik

15 via analyse af fourierspektret ligner den oprindeligt optagede tone flot, der er dog enkelte forskelle. Perioden er forskudt i forhold til mit oprindelige lydbillede. De andre forskelle er grundet baggrundsstøjen, som jeg ikke har taget hensyn til og de uendeligt mande partialtoner der blot bliver af mindre og mindre betydning.

f(t)= 117.3∙sin(83∙t) + 76.1∙sin(82∙t) + 52.2∙sin(32∙t) +
32.5∙sin(41∙t) + 50.7∙sin(14∙t) + 52∙sin(71∙t) +
36.6∙sin(85∙t) + 21.4∙sin(44∙t) + 13.3∙sin(29∙t) +
16∙sin(16∙t) + 9.9∙sin(81∙t) + 6.2∙sin(24∙t) + 5.8∙sin(33∙t)
+ 6.5∙sin(7∙t) + 10.9∙sin(73∙t) + 4.8∙sin(13∙t) +
7.8∙sin(15∙t) + 2.9∙sin(92∙t) + 2.7∙sin(19∙t) + 1.8∙sin(29∙t)
+ 3.7∙sin(96∙t) + 4∙sin(72∙t) + 3.2∙sin(25∙t) + 2.4∙sin(48∙t)
+ 3.2∙sin(06∙t) + 3.5∙sin(23∙t) + 4.5∙sin(34∙t) +
1.9∙sin(61∙t) + 5.6∙sin(04∙t) + 4.8∙sin(17∙t) + 2.9∙sin(98∙t)
+ 5.7∙sin(34∙t) + 14.7∙sin(93∙t) + 2.8∙sin(94∙t) +
2.9∙sin(12∙t) + 1.8∙sin(15∙t) + 0.5∙sin(5∙t) + 0.8∙sin(22∙t) +
0.9∙sin(28∙t) + 0.9∙sin(25∙t) + 2.9∙sin(97∙t)

Side 16

SRP i matematik/fysik

16

Kvindestemme uden mobiltelefon:

Først en periode for en kvindestemme der ikke taler igennem telefon men bliver optaget direkte til computeren. Tonegeneratoren er sat til 210 hZ:

Der skal lige gøre opmærksom på at grundet datalyses primitive og dog stadig funktionsdygtige niveau så var jeg aldrig sikker på om akserne tilpassede sig rigtigt når en måling var god.

Nedenstående akse er både til 120 i negativ og positiv retning, på trods af at det ikke ser sådan ud.

3 3.5 4 4.5 5 -3

*10

-20

-40

-60

-80

-100

20

40

60

80

100

120

t/s

y/ kvinde uden tlf

Side 17

SRP i matematik/fysik

17

Dernæst fourierdiagrammet til denne periode:

Resultaterne fra de ”fit” jeg har lavet på dette fourierspektrum vil være at finde på bilag 2. I

yderste kolonne er partialtonernes funktioner, 𝜔
                                        1

er udregnet som før beskrevet i opgaven og A er amplituden. Funktionerne lægges nu sammen. Jeg kan tydeligt se at den første svingning, ”grundtonen” passer med de samme hZ som vi indstillede vores tonegenerator til. Jeg kan også tydeligt se at det passer nogenlunde med at jeg derefter har partialtonerne som harmoniske svingninger helt op til 16. partialsvingning.

Alle svingningerne lægges nu sammen og sættes ind i graftegneren.

f(t)=

56.5*sin(19*t) + 27.4*sin(38*t) + 10.8*sin(12*t) +
2*sin(68*t) + 1.2*sin(7*t) + 1.3*sin(5*t) + 4.6*sin(87*t)
+ 1.6*sin(6*t) + 5.5*sin(88*t) + 3.4*sin(82*t) +
2.5*sin(89*t) + 1.9*sin(97*t) + 1.4*sin(73*t) + sin(84*t)
+ sin(42*t) + 0.9*sin(93*t) + sin(21*t)

Nu er min fortolkede version af f(t) klar til at blive tegnet i TiInteractives graftegner:

*10

3

20

40

60

80

100

f/Hz

Amp kvinde uden tlf

Side 18

SRP i matematik/fysik

18

Mandestemme uden mobiltelefon:

En enkelt periode af mandestemmes frekvens på ca. 120 hz:

2 4 6 -3

*10

-20

-40

-60

-80

20

40

60

80

t/s

Amp

Mand uden tlf

Side 19

SRP i matematik/fysik

19

Dernæst fourierdiagrammet dertil:

Igen passer grundtonen glimrende med den frekvens jeg havde indstillet tonegeneratoren til, denne gang var det muligt at måle ud til 16. partialtone. Resultaterne fra de ”fit” jeg har lavet på dette fourierspektrum vil være at finde på bilag 3. I yderste kolonne er partialtonernes funktioner,

𝜔_{1} er udregnet som før beskrevet i opgaven og A er amplituden. Funktionerne lægges nu

sammen:

f(t) =

mand uden tlf.

103.0*sin(46*t)+7.8*sin(81*t)+22.9*sin(2*t)+2.8*sin(25
*t)+11.9*sin(41*t)+4.1*sin(51*t)+3.7*sin(08*t)+1.6*sin(4506.237
67*t)+2.1*sin(98*t)+1.5*sin(5*t)+sin(15*t)+1.3*sin(44*
t)+0.4*sin(52*t)+0.6*sin(46*t)+0.6*sin(88*t)+1.1*sin(4
4*t)+1.7*sin(67*t)+2*sin(81*t)+0.7*sin(23*t)

Denne funktion plottes ind i TIInteractive, og vi ser nu at den passer godt med vores optagede lydbillede, det eneste problem er dog, at på det originale billede er grafens faser forskudt på 1.

*10

3

20

40

60

80

100

f/Hz

y/

Mand uden tlf

Side 20

SRP i matematik/fysik

20 aksen i forhold til på vores konstruere graf. Dette har igen dog ingen betydning da jeg ikke på noget tidspunkt har sat mine målinger i forhold til et bestemt tidspunkt.

Kan mandestemme via mobiltelefon genkendes fra en kvindestemme:

Kvindestemme igennem en mobiltelefon

Nedenfor ses lydbilledet for kvindestemmen der er indtalt via mobiltelefon og til en mikrofon i computeren i et andet rum. Det er med det samme tydeligt at denne tone er markant anderledes en da den blev indspillet direkte til computeren. En tone bliver altså forvrænget igennem en

telefons mikrofon/højtalermembran. Mulige forklaringer på dette kan læses under punktet
fejlkilder/diskussion.

Man kan se at der er en hvis form for gentagelse i ovenstående graf, men da dette er den pæneste graf jeg har kunnet frembringe ud af rigtig mange forsøg vil jeg gerne sige at den er meget usikker og forsøgsmetoden med at bringe lyd igennem en mobiltelefon og ind en computer i et andet rum er for usikker, og man skal nok have noget mere fintfølende apperatur for at lave dette forsøg på en mere troværdig måde. Nedenfor ses det også tydeligt hvor mange toner der er en del af denne lyd udover grundtonen. Man kan forestille sig at der sker noget refleksion af lyden imellem telefonens lydudgang og mikrofonen. Det er i hvert fald et mærkbart anderledes udfald jeg får i dette forsøg sammenlignet med forsøget, hvor mikrofonen var i samme rum som lydgeneratoren.

Side 21

SRP i matematik/fysik

21

Fourierdiagrammet underbygger min tankegang om at stemmen igennem mobiltelefon bliver forvrænget så meget at det er umuligt at analysere den manuelt for at få en samlet kurve.

2 4 6 8 -3

*10

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

2

4

6

8

10

t/s

y/

Titel

2 4 6 3

*10

20

40

60

80

100

f/Hz

y/

Titel

Side 22

SRP i matematik/fysik

22

Mandestemme igennem en mobiltelefon

Lydbilledet for mandestemme igennem mobiltelefon: man kan se at det har samme tendenser til at blive forvrænget som kvindestemmen havde, det er muligt at ane periodernes længde, men perioderne i sig selv er meget ugenkendelige og ikke vildt regenmæssige.

Og fourierspektret:

*10

-3

-5

-10

-15

-20

5

10

15

20

25

t/s

y/

Titel

2 4 6 3

*10

20

40

60

80

100

f/Hz

y/

Titel

Side 23

SRP i matematik/fysik

23

For at underbygge min teori om at der kommer mange flere partialtoner under har jeg lavet fittings på de første 27 toppe i fourierdiagrammet, og disse er at finde i Bilag 4. Der er mange partialtoner imellem de toner der rent faktisk svinger harmonisk, og det ses fra fourierdiagrammet at der nok ca. er 100-150 partialtoner der er relevante for lydbilledets udvikling. Endnu et eksempel der underbygger telefonkomunikationens forvrængning af stemmer, kan ses under bilag

5.

Diskussion og fejlkilder:

Generelt er der mange fejlkilder når man arbejder med lyd. Da lyd har de tre egenskaber der er nævnt oppe i opgaven er lyd rigtig svært at arbejde med da det går ”sine egne veje”. Der kan ikke tages højde for at lyden altid vil reflektere i et rum. Jeg gjorde mit bedste ved at hindre dette ved at optage lydene i vores stuer, hvor der er mange gulvtæpper, møbler og puder til at optage og ikke reflektere lydene. På trods af mine anstrengelser med at optimere forholdene lykkedes det stadig ikke at få nogle rigtigt gode lydbilleder. I starten lavede jeg mine målinger ved siden af en brændeovn, og det gik op for mig at lydbillederne så mærkbart anderledes ud når brændeovnen var tændt i forhold til når den var slukket. Jeg vil vove at påstå, at hvis man investerede i nogle feinsmecker højtalere og en ordentlig mikrofon så ville forsøgene have haft et bedre udfald. Det er almen viden at højtalere der er godt brugt og til meget markante toner får smadret deres membran i længden, og mon ikke en højtaler fra et gymnasium har været ud for lidt kasten rundt

og afspillen af dårlig musik i længden. Højtalereren/membranen i de telefoner jeg har brugt har

helt sikker heller ikke haft en ordentlig membran, mobiltelefoner er ikke designet til at afspille rent og gengive toner fra deres oprindelige lyd. Da jeg også lavede forsøget igennem et fastnetanlæg, der er forbundet direkte med ledninger og fik samme dårlige resultater kan jeg konkludere, at det ikke var turen igennem luften, der fik bølgerne til at ændre sig så markant.

Side 24

SRP i matematik/fysik

24

Konklusion:

Det er helt bestemt muligt at optage et lydbillede for derefter at finde en tilnærmelsesvis forskrift for dette billede via fourieranalyse og superpositionsprincippet. Det er svært at få det nøjagtige

billede/den nøjagtige forskrift da en fourierrække netop er uendeligt lagt, og man dermed skulle

have et uendeligt antal partialtoner med i sin sumforskrift. Også selv når man afspiller en tone på tonegeneratoren der burde være ”ren” så kommer der noget baggrundsstøj med, der gør det umuligt at få et rent billede medmindre man bruger datalyses simulationstonegenerator. Forsøget med stemmer igennem telefon fungerede ikke, på trods af at jeg prøvede at sende stemmerne igennem flere forskellige, både stationære og mobile, telefoner. Stemmerne blev forvrænget så meget at det var fuldstændigt umuligt at tyde noget af de lydbilleder, der kom ind på computeren.

Så der kan ikke siges noget om, hvorvidt en mandestemme rent teoretisk kan genkendes fra en kvindestemme igennem mobil, andet end at kvindestemmen generelt ligger i et højere frekvensniveau end mandens. Rent praktisk er vi ingen der er i tvivl om at størstedelen af alle mandestemmer er letgenkendelige fra kvindestemmer når man taler i telefon.

Side 25

SRP i matematik/fysik

25

19/12/08 SRP AF IDA KRAB KOED ERIKSEN_______________________________

Referenceliste:

Bøger:

1: Eriksson, Ture; Lagerwall, Thorbjørn; Beckman, Oluf: Fysik 1: Mekanik Värmelära, Almqvist og Wiksell Stockholm, 1970.

2: Larsen, Oddershede Mogens: Fourieranalyse, 2007.

3: Hüche, Erik; Digital signalbehandling, teknisk forlag A/S, 1992

4: Titze, I.R.; Principles of voice production, Prentice Hall/NCVS.org, 2000

5: Baken, Robert Jan; Clinical measurement of speech and voice, Taylor and Francis Ltd., 1987 Hjemmesider:

a) http://www.ojp.usdoj.gov/nij/journals/259/voice-stress-analysis.htm
b) http://www.k-jerslev.dk/Docs/formelsamling.pdf

Bilag:

Bilag 1:

Tilfældig tone direkte til computer:

Frekvens: Amplitude: Forhold: Funktion:

F: A: f(t)=A·sin(ω1·t)

240.16 117.3 1 g(t)=117.3·sin(83·t)

480.67 76.1 2 p1(t)=76.1·sin(82·t)

Side 26

SRP i matematik/fysik

26

720.6 52.2 3 P2(t)=52.2·sin(32·t)

961.49 32.5 4 p3(t)=32.5·sin(41·t)

1201.27 50.7 5 p4(t)=50.7·sin(14·t)

1441.61 52 6 p5(t)=52·sin(71·t)

1682.05 36.6 7 p6(t)=36.6·sin(85·t)

1922.34 21.4 8 p7(t)=21.4·sin(44·t)

2162.08 13.3 9 p8(t)=13.3·sin(29·t)

2402.77 16 10 p9(t)=16·sin(16·t)

2642.7 9.9 11 p10(t)=9.9·sin(81·t)

2883 6.2 12 p11(t)=6.2·sin(24·t)

3121.06 5.8 13 p12(t)=5.8·sin(33·t)

3364.04 6.5 14.01 p13(t)=6.5·sin(7·t)

3844.63 10.9 16.01 p14(t)=10.9·sin(73·t)

3604.34 4.8 15.01 p15(t)=4.8·sin(13·t)

4084.99 7.8 17.01 p16(t)=7.8·sin(15·t)

4325.21 2.9 18.01 p17(t)=2.9·sin(92·t)

4566.59 2.7 19.01 p18(t)=2.7·sin(19·t)

4805.72 1.8 20.01 p19(t)=1.8·sin(29·t)

5045.53 3.7 21.01 p20(t)=3.7·sin(96·t)

5285.87 4 22.01 p21(t)=4·sin(72·t)

Side 27

SRP i matematik/fysik

27

5526.58 3.2 23.01 p22(t)=3.2·sin(25·t)

5766 2.4 24.01 p23(t)=2.4·sin(48·t)

6006.41 3.2 25.01 p24(t)=3.2·sin(06·t)

6247.32 3.5 26.01 p25(t)=3.5·sin(23·t)

6487.52 4.5 27.01 p26(t)=4.5·sin(34·t)

6726.7 1.9 28.01 p27(t)=1.9·sin(61·t)

6968.07 5.6 29.01 p28(t)=5.6·sin(04·t)

7208.15 4.8 30.01 p29(t)=4.8·sin(17·t)

7448.13 2.9 31.01 p30(t)=2.9·sin(98·t)

7685.52 5.7 32 p31(t)=5.7·sin(34·t)

7929.26 14.7 33.02 p32(t)=14.7·sin(93·t)

8168.99 2.8 34.01 p33(t)=2.8·sin(94·t)

8407.58 2.9 35.01 p34(t)=2.9·sin(12·t)

8649.51 1.8 36.02 p35(t)=1.8·sin(15·t)

8890.35 0.5 37.02 p36(t)=0.5·sin(5·t)

9133.19 0.8 38.03 p37(t)=0.8·sin(22·t)

9371.43 0.9 39.02 p38(t)=0.9·sin(28·t)

9610.33 0.9 40.02 p39(t)=0.9·sin(25·t)

9852.04 2.9 41.02 p40(t)=2.9·sin(97·t)

Side 28

SRP i matematik/fysik

28

Bilag 2:

Kvindestemme direkte til computer:

Frekvens Amplitude Forhold Funktion:

F A f(t)=A·sin(ω ·t)

1

209.97 156.5 1 F (t)=156.5∙sin(19∙t)

g

418.81 27.4 1.99 F (t)=27.4∙sin(38∙t)

p1

628.86 10.8 3 F (t)= 10.8∙sin(12∙t)

p2

842.86 2 4.01 F (t)= 2∙sin(68∙t)

p3

1040.11 1.2 4.95 F (t)=1.2∙sin(7∙t)

p4

1255.97 1.3 5.98 F (t)=1.3∙sin(5∙t)

p5

1469.87 4.6 7 F (t)=4.6∙sin(87∙t)

p6

1676.95 1.6 7.99 F (t)=1.6∙sin(6∙t)

p7

1890.14 5.5 9 F (t)=5.5∙sin(88∙t)

p8

2101.09 3.4 10.01 F (t)=3.4∙sin(82∙t)

p9

2310.01 2.5 11 F (t)=2.5∙sin(89∙t)

p10

2517.8 1.9 11.99 F (t)=1.9∙sin(97∙t)

p11

2729.95 1.4 13 F (t)=1.4∙sin(73∙t)

p12

2942.02 1 14.01 F (t)=sin(84∙t)

p13

Side 29

SRP i matematik/fysik

29

3149.78 1 15 F (t)=sin(42∙t)

p14

3355.76 0.9 15.98 F (t)=0.9∙sin(93∙t)

p15

3570.02 1 17 F (t)=sin(21∙t)

p16

Bilag 3:

Mandestemme direkte til computer:

Frekvens: Amplitude: Forhold: Funktion:

F A f(t)=A·sin(ω ·t)

1

119.88 103.0 1.00 f (t)= 103.0·sin(46·t)

g

188.61 7.8 1.57 f (t)=7.8·sin(81·t)

p1

239.01 22.9 1.99 f (t)=22.9·sin(2·t)

p2

304.28 2.8 2.54 f (t)=2.8·sin(25·t)

p3

359.57 11.9 3.00 f (t)=11.9·sin(41·t)

p4

479.75 4.1 4.00 f (t)=4.1·sin(51·t)

p5

598.94 3.7 5.00 f (t)=3.7·sin(08·t)

p6

717.19 1.6 5.98 f (t)=1.6·sin(7·t)

p7

838.38 2.1 6.99 f (t)=2.1·sin(98·t)

p8

958.95 1.5 8.00 f (t)=1.5·sin(5·t)

p9

1078.99 1.0 9.00 f (t)=sin(15·t)

p10

1198.14 1.3 9.99 f (t)=1.3·sin(44·t)

p11

1316.53 0.4 10.98 f (t)=0.4·sin(52·t)

p12

Side 30

SRP i matematik/fysik

30

1437.27 0.6 11.99 f (t)=0.6·sin(46·t)

p13

1557.24 0.6 12.99 f (t)=0.6·sin(88·t)

p14

1675.77 1.1 13.98 f (t)=1.1·sin(44·t)

p15

1795.83 1.7 14.98 f (t)=1.7·sin(67·t)

p16

1917.62 2.0 16.00 f (t)=2·sin(81·t)

p17

2036.36 0.7 16.99 f (t)=0.7·sin(23·t)

p18

Bilag 4:

Fits fra mandestemme igennem telefon

frekvens | amplitude | forhold
365.03 | 101.5 | 1.00
447.72 | 4.4 | 1.23
486.78 | 48.7 | 1.33
543.42 | 5.7 | 1.49
566.07 | 5.7 | 1.55
608.93 | 17.0 | 1.67
630.32 | 6.9 | 1.73
682.73 | 5.3 | 1.87
697.18 | 9.4 | 1.91
734.48 | 19.4 | 2.01
780.25 | 6.6 | 2.14

Side 31

SRP i matematik/fysik

31

823.52 | 8.5 | 2.26
864.56 | 18.6 | 2.37
852.15 | 96.2 | 2.33
919.66 | 9.2 | 2.52
940.77 | 11.9 | 2.58
973.89 | 51.0 | 2.67
1095.11 | 47.6 | 3.00
1136.41 | 9.2 | 3.11
1214.37 | 18.4 | 3.33
1276.69 | 6.3 | 3.50
1339.10 | 24.9 | 3.67
1393.54 | 4.1 | 3.82
1426.36 | 9.3 | 3.91
1460.51 | 44.5 | 4.00
1502.21 | 7.2 | 4.12
1555.08 | 6.9 | 4.26
1581.94 | 53.3 | 4.33

Side 32

SRP i matematik/fysik

32

Bilag 5:

Mandestemme igennem mobil:

Lydbillede:

Fourierspektret:

*10

-3

-2

-4

-6

-8

-10

-12

2

4

6

8

t/s

y/

Titel

Side 33

SRP i matematik/fysik

33

2 4 6 8 3

*10

20

40

60

80

100

f/Hz

y/

Titel