Det Gyldne Snit og Kurt Trampedach | SOP

Side 1

Studieretningsprojekt

Det gyldne snit

2012

Side 2

1

Abstract

This project investigates the golden section in the mathematical aspect and its use in paintings. It provides an explanation of the Fibonacci sequence, in which each element is equal to the sum of the two preceding numbers, in order to identify the coherence between the sequence and the golden ratio. To this purpose, a number of mathematical proofs are drawn up. Afterwards the project focuses on the Danish artist Kurt Trampedach and his works. Through an analysis of three of his paintings, the project determines whether he has been using the golden section as a compositional principle or not. In continuation of this, the using of the golden section in picture analysis in general is to be considered.

The study indicates that there is a significant relationship between the golden section and the

numeric value 𝜑, which is calculated by^{1+}_{2}^{√}^{5}. Additionally it is shown that the numeric value 𝜑 has

some admirable mathematical functions, among them when the golden ratio on a line segment is to be determined.

The study also points to a coherence between the golden section and the Fibonacci sequence.

Through various calculations it is shown that the ratios of successive Fibonacci numbers are convergent to the numerical value 𝜑, thus it is also related to the golden ratio.

Through an interpretation of the works of Kurt Trampedach it is ultimately shown how he uses the golden section as a compositional principle in order to emphasize meaningful elements in his pictures.

Side 3

2

Indholdsfortegnelse

Indledning .................................................................................................................................................................. 3 Det gyldne snit ........................................................................................................................................................... 3 Teorien bag ............................................................................................................................................................ 4 Definition og egenskaber ...................................................................................................................................... 5 Det gyldne snit – en kort sammenfatning ............................................................................................................. 8 Fibonaccifølgen .......................................................................................................................................................... 9 Liber abaci – en praktisk problemstilling ............................................................................................................... 9 Definition ............................................................................................................................................................. 10 Sammenhængen mellem 𝝋 og Fibonaccifølgen ................................................................................................. 11 Binets formel ....................................................................................................................................................... 13 Fibonaccifølgen – en kort sammenfatning .......................................................................................................... 16 Kurt Trampedach ..................................................................................................................................................... 16 Det første selvportræt ............................................................................................................................................. 17 Frigørelsen af baggrunden .................................................................................................................................. 18 Det gyldne snit i værket ....................................................................................................................................... 19 Et kig mod fremtiden ........................................................................................................................................... 20 Trampedachs frie fald .............................................................................................................................................. 20 Det, der kommer indefra, kan jeg ikke holde ude ................................................................................................... 21 Et selvportræt af en anden .................................................................................................................................. 22 Det illusionistiske rum bliver brudt ..................................................................................................................... 23 Det gyldne snit i værket ....................................................................................................................................... 23 Den depressive Medusa ...................................................................................................................................... 24 En ny start ................................................................................................................................................................ 25 Flugten til Amerika................................................................................................................................................... 26 Den lille maler ...................................................................................................................................................... 27 Et nyt farvespekter .............................................................................................................................................. 28 Det gyldne snit i værket ....................................................................................................................................... 29 Tre perioder – én helingsproces .......................................................................................................................... 30 Kurt Trampedach – en kort sammenfatning ........................................................................................................... 31 Det gyldne snits anvendelighed ............................................................................................................................... 31 Konklusion ............................................................................................................................................................... 32

Side 4

3

Indledning

Det gyldne snit er igennem adskillige århundreder blevet anvendt i såvel kunst som i arkitektur, da det af mange betragtes som den ideelle måde at komponere et værk. Da man fik kendskab til det gyldne snit som en talværdi forårsagede det en enorm omvæltning i de græske matematikeres verdensbillede, da de aldrig før havde stået ansigt til ansigt med en aldrig afsluttet, aldrig gentagende decimaludvikling. Enkelte gik endda så vidt at give det navnet ”det guddommelige snit”.

Spørgsmålet er så, hvor meget sandhed der ligger i alt dette. Er det gyldne snit virkelig den ideelle måde at komponere kunst og arkitektur? Er det gyldne snit, matematisk betragtet, så vigtigt et forhold, at det var i stand til at skabe en omvæltning i matematikernes verdensbillede? Er der i det hele taget noget guddommeligt over det? Dette vil blive undersøgt i følgende opgave, hvor matematiske beregninger og gennemgående billedanalyser tjener til en større forståelse af det gyldne snit i sin helhed.

I det følgende vil der matematisk blive redegjort for det gyldne snit. Derefter vil der blive gjort rede for Fibonaccifølgen med henblik på at identificere sammenhængen mellem denne og det gyldne snit. Til dette formål vil der blive udarbejdet en række centrale beviser i forbindelse med Fibonaccifølgen. Herefter vil opgaven fokusere tre malerier af Kurt Trampedach, hvori hans brug af det gyldne snit som kompositorisk princip vil blive fremdraget med henblik på en nærmere analyse. Slutteligt vil det gyldne snits anvendelighed i forbindelse med billedanalyse generelt blive vurderet, og i forlængelse heraf vil der blive taget stilling til dets anvendelse i forbindelse med Kurt Trampedachs værker.

Side 5

4

Det gyldne snit

Når der tales om det gyldne snit, er der ikke altid skelnet imellem, hvorvidt det er

- en måde at dele et linjestykke på

- nogle linjer/snit i en billedflade

- en form på et rektangel

- et tal^{1}

Uagtet hvilken af disse opfattelser, man ønsker at bestemme, kan man i dag regne sig frem til det ved hjælp af formler. Dog har det gyldne snit optrådt i såvel kunst og arkitektur som i naturen, længe før man var bekendt med det som et egentligt fænomen. Vi vil sande, at det gyldne snit er kendetegnet ved ikke alene at have nogle beundringsværdige matematiske funktioner, men deslige påstås at have en række særlige, harmoniske kvaliteter i billedkomposition og naturen [2].

Teorien bag

Normalvis tilskrives det gyldne snit grækerne. En anekdote [3] fortæller, at Eudoxos (420-355 f. Kr.), der var matematiker og elev af Platon, en gang gik rundt med en stok i hånden og bad forbipasserende om at sætte et mærke i stokken på det sted, hvor de mente, at den blev delt på den mest harmoniske måde. Efter tilblivelsen af tilpas mange mærker på stokken skulle det vise sig, at de samlede sig om ét punkt – nemlig det, der senere blev kendt som det gyldne snit.

Selve betegnelsen ”det gyldne snit” antages dog først benyttet i 1835 af den tyske matematiker Martin Ohm, der angiveligt skulle have blandet begreberne ”regula aurera” (den gyldne regel) og ”secho devina” (guddommeligt snit) [4]. Ikke desto mindre er begrebet i dag kendt som ’det gyldne snit’ i Tyskland og Norden, medens det andre steder kaldes ’den guddommelige brøk’ [5].

1

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 7

2

Livio, Mario: Det gyldne snit, p. 8

3

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 7

4

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 8

5

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 8

Side 6

5

Definition og egenskaber

Vi indleder med en definition af det gyldne snit:

        6
Definition

Hvis det om linjestykket AB på figur 1 gælder, at det er delt af punktet C, så

𝒂 + 𝒃 𝒂

𝒂 𝒃

=

siges C at dele linjestykket AB i det gyldne snit

Hvilket lidt mere populært udtrykkes således: hele linjestykket det største stykke det største stykke det mindste stykke

=

Hvis vi antager, at 𝑎 = 8,09 cm, 𝑏 = 5 cm og 𝑎 + 𝑏 = 13,09 cm, så bliver brøkerne

𝑎 + 𝑏 13,09 𝑎 8,09

𝑎 8,09 𝑏 5

= = 1,618 og = = 1,618

I dette tilfælde deler C altså linjestykket AB i det gyldne snit, jf. definitionen.

Det forekomne tal noteres ved 𝜑 (phi), hvilket angiveligt skyldes, at den græske billedhugger Phidias hyppigt gjorde brug af det gyldne snit i sine skulpturer [7]. Tallet 𝜑 udregnes som følger:

ɸ = (1 + √ 5)

1

2

Det er derfor rimeligt at antage følgende:

6

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 8

7

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 10

Side 7

6

Sætning 1^{8}

C deler linjestykket AB, se fig. 3, netop når

𝒂 𝟏 ± √ 𝟓

𝒃 𝟐

=

Med udgangspunkt i definitionen er det givet, at

𝑎 + 𝑏 𝑎

𝑎 𝑏

= ↔ 𝑎𝑏 + 𝑏^{2} = 𝑎^{2} ↔ 𝑎^{2} − 𝑎𝑏 − 𝑏^{2} = 0

Eftersom vi hverken skal bestemme a eller b, men derimod forholdet^{𝑎}_{𝑏}, isolerer vi først 𝑏^{2},

hvorefter vi multiplicerer udtrykket med 4:

𝑎^{2} − 𝑎𝑏 − 𝑏^{2} = 0 ↔ 𝑎^{2} − 𝑎𝑏 = 𝑏^{2} ↔ 4𝑎^{2} − 4𝑎𝑏 = 4𝑏^{2}

Ved at addere 𝑏^{2} på begge sider af lighedstegnet kan vi omskrive udtrykket til en kvadratsætning:

4𝑎^{2} − 4𝑎𝑏 + 𝑏^{2} = 4𝑏^{2} + 𝑏^{2} ↔ ( 2𝑎 − 𝑏)^{2} = 5𝑏^{2}

Vi vil nu isolere a, til hvilket formål vi først finder kvadratroden. Dernæst subtraherer vi med b på begge sider, for til sidst at dividere udtrykket med 2:

( 2𝑎 − 𝑏)^{2} = 5𝑏^{2} ↔ 2𝑎 − 𝑏 = √ 5𝑏^{2} ↔ 2𝑎 = 𝑏 + √ 5𝑏^{2} ↔ 𝑎 =

𝑏 + √5𝑏^{2}

2

Vi ønsker nu at kunne sætte b uden for parentes, men for at kunne gøre dette, skal vi først eliminere b i radikanden:

𝑎 = ↔ 𝑎 = ↔ 𝑎 =

𝑏 + √5𝑏^{2} 𝑏 + 𝑏 √ 5 𝑏( √ 5 + 1)

2 2 2

Idet det er forholdet^{𝑎}_{𝑏}, vi tilstræber at finde, divideres udtrykket slutteligt med b:

8

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 9

Side 8

7

𝑎 1 + √ 5

𝑏 2

= = 1,618034 = 𝜑

Hermed er det bevist, at såfremt punktet C deler linjestykket AB i det gyldne snit, da vil forholdet

                                                          1+ √ 5
mellem det længste linjestykke og det korteste linjestykke være lig 𝜑 = = 1,618034.
                                                            2

                  𝑎   1+ √ 5              𝑎+𝑏   1+ √ 5
Bemærk i øvrigt, at da =  , er iflg. definitionen =
                  𝑏    2                   𝑎     2

Vi vil nu bestemme det reciprokke forhold^{𝑏}_{𝑎}, og får

𝑏 √ 5 − 1

𝑎 2

= 𝜑^{−1} = = 0,618034

Ved dette resultat er det værd at bemærke, at når der er tale om et gyldent snit, er decimalerne i 𝑎 𝑏

og^{𝑏}_{𝑎} identiske, eller mere præcist, at

𝑎 𝑏 𝑏 𝑎

− 1 =

                                                                        𝑎
Vi vil nu undersøge, hvorvidt der er andre tal, der opfylder dette, og vi sætter derfor 𝑥 = :
                                                                        𝑏

𝑥 − 1 =

1 𝑥

I ligningen ønsker vi at isolere x. Dette gøres ved først at multiplicere udtrykket med x, for derefter at subtrahere 1 på begge sider. Udtrykket vil da være reduceret til en enkel andengradsligning:

𝑥 − 1 = ↔ 𝑥^{2} − 𝑥 = 1 ↔ 𝑥^{2} − 𝑥 − 1 = 0 ↔ 𝑥 =

1 1 ± √ 5

𝑥 2

Løsningerne til ligningen kommer altså til udtryk ved 𝜑 og 𝜑′, som er indikeret ved:

    1+                                                     1−
𝜑 =     = 1,168034 og 𝜑                                  =     = −0,618034

√ 5 √ 5

2 2

′

Side 9

8

Ud fra ovenstående kan vi altså ikke alene konkludere, at 𝜑 og 𝜑′ er de eneste tal med den egenskab, at man kan subtrahere 1 og få det reciprokke tal. Vi kan også konkludere, at kun 𝜑 og 𝜑′

er løsninger til ligningen på formen 𝑥^{2} − 𝑥 − 1 = 0. Det bliver ligeledes bekræftet ved brug af et

CAS-værktøj:

Idet^{𝜑}_{1} = 𝜑 er linjerne i figur 4^{9} iflg. sætning 1 begge delt i det gyldne snit, eftersom den korte del

er anbringelig i begge ender:

Ved hjælp af scenariet på figuren kan vi beregne, hvor langt inde på et linjestykke det gyldne snit ligger. Dette er således svarende til den brøkdel, 1 udgør af hele linjestykkets længde, nemlig 𝜑 +

1:

1 1

𝜑 + 1 2,6180

= = 0,382 ≈ 38 %

Det gør sig således gældende, at et linjestykkes gyldne snit ligger 38 % inde på linjestykket.

Det gyldne snit – en kort sammenfatning

Vi har set, at der er en klar forbindelse mellem den harmoniske inddeling af et linjestykke og tallet

                     1+ √ 5
𝜑, som et givet ved 𝜑 =  = 1,618034. Samtidig er vi nu bekendt med det faktum, at tallet 𝜑
                      2

besidder nogle beundringsværdige matematiske funktioner, både når det kommer til at identificere det reciprokke tal 𝜑′, og når vi skal fastlægge det gyldne snit på et linjestykke.

9

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 11

Side 10

9

Fibonaccifølgen

De såkaldte Fibonaccital kommer fra den italienske matematiker og handelsmand Leonardo da Pisa, som opdagede talrækken. Dog var han bedst kendt under navnet Leonardo Fibonacci, som betyder ”søn af Bonacci” eller ”godmodigheds søn” [10], og den betegnelse vil vi fremover gøre brug af. Fibonacci skrev i 1202 bogen Liber abaci, i hvilken han introducerede arabertallene og decimalsystemet [11]. Han menes endvidere at have indført brøkstregen [12].

Liber abaci – en praktisk problemstilling

Det omfattende værk Liber abaci på 459 sider var inddelt i 15 kapitler, og var i høj grad henvendt til mennesker, der skulle udføre praktiske beregninger [13]. Værket indeholder således en række praktiske problemstillinger og de dertilhørende løsninger. Problemstillingen omhandlende kaninavl, der senere skulle vise sig at danne baggrund for Fibonaccifølgen, lyder som følger:

”En kaninbestand består fra begyndelsen af et kønsmodent par. Hvert kønsmodent par føder et nyt par hver måned, og kaninerne bliver kønsmodne en måned efter fødslen. Hvordan vokser antallet af kaninpar efterhånden som månederne går?” [14]

Vi illustrerer problemstillingen i følgende tabel:

Måned nr.

Kaninpar Nye par Par i alt

0 | 0 | 1
1 | 1 | 2
2 | 1 | 3
3 | 2 | 5
4 | 3 | 8
5 | 5 | 13
. | . | .
. | . | .

10

Livio, Mario: Det gyldne snit, p. 81

11

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 92

12

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 92

13

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 92

14

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 92

Side 11

10

Vi noterer os, at kolonnen ”nye par” efter den første måned vokser med talrækken 1 - 1 - 2 - 3 - 5, for hvilken det gælder, at ethvert tal i rækken er summen af de to foregående. Det er denne følge af tal, der kaldes Fibonaccifølgen, medens de enkelte tal kaldes for Fibonaccital. Om end illustrationen kun går til 5. måned [15], udvikler talrækken sig efterfølgende efter samme princip.

Definition

Vi indleder med en definition af Fibonaccifølgen:

        16
Definition

Ved Fibonaccifølgen forstås den følge af tal 𝑭 , 𝑭 , 𝑭 , … , 𝑭 , … , hvor 𝑭 = 𝑭 = 𝟏, og det for
                                     𝟏  𝟐  𝟑     𝒏         𝟏    𝟐

𝒏 > 𝟏 gælder, at

𝑭_{𝒏+𝟏} = 𝑭_{𝒏−𝟏} + 𝑭_{𝒏}

𝑭_{𝒏} kaldes det n’te Fibonaccital

Talrækken kaldes for en rekursiv talfølge, idet et ethvert element der optræder i talfølgen er udtrykt ved de foregående elementer.

Om end ovenstående måde at frembringe Fibonaccitallene er den historisk korrekte [17], er den ikke videre kompatibel med bestemmelsen af populationers udvikling, idet der ikke tages højde for fejlkilder så som degeneration, forurening og mangel på føde mm. Fibonaccifølgen menes ikke kun at være brugbar i forhold til populationers udvikling, men også i forbindelse med eksempelvis

                              18
elementer i naturen og lysstråleoptik .

15

I værket Liber abaci er problemstillingen angivet for de første 12 måneder

16

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 93

17

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 93

18

Livio, Mario: Det gyldne snit, p. 85

Side 12

11

Sammenhængen mellem 𝝋 og Fibonaccifølgen

I afsnittet om det gyldne snit definerede vi talværdien af det gyldne snit 𝜑, og vi vil nu undersøge, om der er en sammenhæng mellem denne og Fibonaccifølgen. Indledningsvis vil vi betragte Fibonaccifølgen

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …,

Efterfølgende tager vi i rækkefølge Fibonaccitallene og dividerer med det nærmest foregående element i talfølgen. Som det ses i følgende tabel, konvergerer forholdet mellem to på hinanden følgende Fibonaccital mod værdien af 𝜑:

n 𝐹_{𝑛}

𝐹_{𝑛}
𝐹_{𝑛−1}

1 | 1 | -
2 | 1 | 1,000000
3 | 2 | 2,000000
4 | 3 | 1,500000
5 | 5 | 1,666667
6 | 8 | 1,600000
7 | 13 | 1,625000
8 | 21 | 1,615384
9 | 34 | 1,619047
10 | 55 | 1,617647
11 | 89 | 1,618181
12 | 144 | 1,617977
13 | 233 | 1,618055
14 | 377 | 1,618025
15 | 610 | 1,618037

Side 13

12

Som et kuriosum kan det nævnes, at^{𝐹_{100}}_{𝐹_{99}} = = 1,87, hvilket

573147844013817084101

354224848179261915075

stemmer overens med de første 10 decimaler i 𝜑^{19}.

𝜑 synes altså at figurere som grænseværdien, hvilket også fremgår af følgende sætning:

Sætning 1^{20}
Idet 𝑭_{𝒏} er det n’te Fibonaccital, gælder det, at
𝑭_{𝒏}
𝑭_{𝒏−𝟏}

→ 𝝋 for 𝒏 → ∞

Eftersom 𝜑 > 1 og −1 < 𝜑′ < 0 gør følgende sig gældende:

𝜑^{𝑛} → ∞ for 𝑛 → ∞ og 𝜑′^{𝑛} → 0 for 𝑛 → ∞

Dette giver følgende grænseværdier:

lim = 0 og lim_{𝑛→∞} = 0
𝑛→∞

𝜑′^{𝑛} 𝜑′^{𝑛−1}
𝜑^{𝑛−1} 𝜑^{𝑛−1}

Jf. forudgående definitioner kan vi omskrive ovenstående til følgende udtryk, der herefter reduceres ved hjælp af den basale viden, at to identiske faktorer i henholdsvis tælleren og nævneren udligner hinanden:

𝐹_{𝑛} 𝜑^{𝑛} − 𝜑′^{𝑛}
𝐹_{𝑛−1} 𝜑^{𝑛−1} − 𝜑′^{𝑛−1} 𝜑′^{𝑛−1}

= = =

1

√ 5

(𝜑^{𝑛} − 𝜑^{′}^{𝑛}) 𝜑 −

1

√ 5

(𝜑^{𝑛−1} − 𝜑^{′}^{𝑛−1})

𝜑′^{𝑛}
𝜑^{𝑛−1}

1 −
     𝑛−1

𝜑

Vi vil nu substituere det sidste udtryk med de fundne grænseværdier:

𝐹_{𝑛} 𝜑 − 0
𝐹_{𝑛−1} 1 − 0

→ for 𝑛 → ∞

↔

19

Livio, Mario: Det gyldne snit, p. 72

20

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 96

Side 14

13

𝐹_{𝑛} 𝜑
𝐹_{𝑛−1} 1

→ for 𝑛 → ∞

↔

𝐹_{𝑛}
𝐹_{𝑛−1}

→ 𝜑 for 𝑛 → ∞

Og det ønskede er hermed vist.

Det kan heraf konkluderes, at der er en klar sammenhæng mellem talværdien for 𝜑 og

Fibonaccifølgen – nemlig at forholdet mellem to på hinanden følgende tal konvergerer mod 𝜑, jo længere frem vi kommer i talrækken.

Binets formel

Når vi skal bestemme et givent Fibonaccital i talrækken, eksempelvis 𝐹_{40}, kan dette gøres på to

måder. Man kan vælge at gøre det rekursivt ved den metode, vi fandt i definitionen for

Fibonaccifølgen, som en smule omskrevet lyder: 𝐹_{𝑛} = 𝐹_{𝑛−2} + 𝐹_{𝑛−1}. Her manifesterer problemet
sig ved, at vi som udgangspunkt heller ikke kender 𝐹_{𝑛−2} eller 𝐹_{𝑛−1}, hvorfor den rekursive metode

ikke er til megen nytte.

Der er der også en anden metode, hvori man tager Binets formel i anvendelse. Med denne kan man bestemme det n’te Fibonaccital, og den lyder som følger:

𝐹_{𝑛} = [()^{𝑛} − ()^{𝑛}]^{21}

1 1 + √ 5 1 − √ 5
√ 5

2 2

Formlen kan bevises direkte ved brugen af induktion, men vi vil gøre det under anvendelse af en

                                                          𝑛
hjælpesætning. Idégrundlaget til denne sætning får vi ved at udtrykke 𝜑 :

𝜑^{2} = 𝜑 + 1
𝜑^{3} = 2𝜑 + 1
𝜑^{4} = 3𝜑 + 2

21

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 95

Side 15

14

𝜑^{5} = 5𝜑 + 3
𝜑^{6} = 8𝜑 + 5

                                         𝑛
Det er givet, at alle koefficienter i udtrykkene for 𝜑

er nabo-Fibonaccital [22], og netop dette danner grundlaget for den hjælpesætning, vi vil gøre brug af. Den samme sammenhæng gør sig gældende

for 𝜑′, og da vi i afsnittet om det gyldne snit fandt, at kun 𝜑 og 𝜑′ er løsninger til ligningen 𝑥^{2} =
𝑥 + 1, formuleres hjælpesætningen således:

Sætning 1^{23}
Når 𝒙^{𝟐} = 𝒙 + 𝟏, og 𝑭_{𝒏} er det n’te Fibonaccital, gælder det for 𝒏 > 𝟏, at
𝒙^{𝒏} = 𝑭_{𝒏} 𝒙 + 𝑭_{𝒏−𝟏}

Vi ønsker at lave et induktionsbevis, hvori vi antager at udsagnet er sandt for alle naturlige tal. For

𝑛 = 2, som er begyndelsesværdien, er sætningen sand, fordi

𝑥^{2} = 𝐹_{2} 𝑥 + 𝐹_{1} ↔ 𝑥^{2} = 𝑥 + 1

For 𝑛 = 3 får vi

𝑥^{3} = 𝑥 ∗ 𝑥^{2} = 𝑥 ( 𝑥 + 1) = 𝑥^{2} + 𝑥 = 𝑥 + 1 + 𝑥 = 2𝑥 + 1 = 𝐹_{3} 𝑥 + 𝐹_{2}

Vi antager nu, at formlen er sand for 𝑛 ∈ . Således antager vi også, at

𝑥^{𝑛} = 𝐹_{𝑛} 𝑥 + 𝐹_{𝑛−1}

Vi vil nu udregne formlen for 𝑛 + 1:

𝑥^{𝑛+1} = 𝑥 ∗ 𝑥^{𝑛} = 𝑥 ( 𝐹_{𝑛} 𝑥 + 𝐹_{𝑛−1}) = 𝐹_{𝑛} 𝑥^{2} + 𝐹_{𝑛−1} 𝑥 = 𝐹_{𝑛} ( 𝑥 + 1) + 𝐹_{𝑛−1} 𝑥

= (𝐹_{𝑛} + 𝐹_{𝑛−1})𝑥 + 𝐹_{𝑛} = 𝐹_{𝑛+1} 𝑥 + 𝐹_{𝑛}

Formlen gør sig således også gældende for 𝑛 + 1.

22

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 116

23

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit, p. 116

Side 16

15

Vi vender nu for en stund tilbage til Binets formel, der jo lød:

𝐹_{𝑛} = [()^{𝑛} − ()^{𝑛}]

1 1 + √ 5 1 − √ 5
√ 5

2 2

Rødderne i ligningen 𝑥^{2} = 𝑥 + 1, som vi fandt i afsnittet om det gyldne snit var 𝜑 og 𝜑′, betegner

vi med u og v, således at

𝑢 = og 𝑣 =

1 + √ 5 1 − √ 5

2 2

Efter sætning 1 gælder så, at

𝑢^{𝑛} = 𝐹_{𝑛} 𝑢 + 𝐹_{𝑛−1} og 𝑣^{𝑛} = 𝐹_{𝑛} 𝑣 + 𝐹_{𝑛−1}

Vi trækker den sidste ligning fra den første og får så

𝑢^{𝑛} − 𝑢^{𝑣} = 𝐹_{𝑛} 𝑢 + 𝐹_{𝑛−1} − 𝐹_{𝑛} 𝑣 + 𝐹_{𝑛−1} ↔ 𝑢^{𝑛} − 𝑢^{𝑣} = 𝐹_{𝑛} 𝑢 − 𝐹_{𝑛} 𝑣 ↔ 𝑢^{𝑛} − 𝑢^{𝑣} = 𝐹_{𝑛} (𝑢 − 𝑣)

Det reducerede udtryk omskriver vi nu til følgende:

𝐹_{𝑛} =

𝑢^{𝑛} − 𝑣^{𝑛}
𝑢 − 𝑣

                   1+ √ 5 1− √
Idet vi ved, at 𝑢 − 𝑣 = −    = √ 5, får vi så
                    2     2

5

𝐹_{𝑛} = ↔ 𝐹_{𝑛} = (𝑢^{𝑛} − 𝑣^{𝑛})

𝑢^{𝑛} − 𝑣^{𝑛} 1
√ 5 √ 5

Slutteligt erstatter vi u og v med deres oprindelige værdier og får

𝐹_{𝑛} = [()^{𝑛} − ()^{𝑛}]

1 1 + √ 5 1 − √ 5
√ 5

2 2

Og det ønskede er hermed vist.

Vi kan notere os, at da −1 < 𝜑^{′} < 0, vil det sidste led i Binets formel være stort set ubetydeligt for

bestemmelsen af det n’te Fibonaccital. Fibonaccifølgens n’te led fås derfor med god tilnærmelse ved formen

Side 17

16

𝐹_{𝑛} ≈ ∗ ()^{𝑛} = ∗ 𝜑^{𝑛}

1 1 + √ 5 1
√ 5 √ 5

2

Vi kan altså slutte, at Fibonaccifølgen udvikler sig efter en eksponentiel udvikling, som lyder

𝑓 ( 𝑥) = ∗ 𝜑^{𝑥} ≈ 0,4472 ∗ 1,6180^{𝑥}

1

√ 5

Ud fra vores kendskab til fremskrivningsfaktoren 𝑎 = 1,6180 kan det altså ses, at hvert led i

Fibonaccifølgen er cirka 62 % større end det foregående [24].

Fibonaccifølgen – en kort sammenfatning

Vi har set, at Fibonaccifølgen er – om ikke fuldstændig, så delvist – anvendelig, når det kommer til at beskrive fænomener i naturen, herunder eksempelvis hvad angår populationers udvikling.

Endvidere kan vi konstatere, at Fibonaccifølgen er garant for nogle overraskelser af matematisk karakter, blandt andet idet at forholdet mellem to på hinanden følgende tal konvergerer mod 𝜑, jo længere frem vi kommer i talrækken, og vi kan således også identificere en sammenhæng mellem talrækken og 𝜑.

I det følgende vil jeg se nærmere på tre værker af danske Kurt Trampedach. Gennemgående vil jeg fremdrage hans brug af det gyldne snit i forbindelse med betydningsbærende elementer, dette med henblik på at klargøre et given holdning, Trampedach ønsker at udtrykke.

Kurt Trampedach

Kurt Trampedach er en dansk maler, grafiker og skulptør, der er født i 1943 i Hillerød. I sine billeder har han alle dage taget udgangspunkt i sin egen psyke, i sit eget sind og – ikke mindst – i sit eget fysiognomi [25]. I tilfældet Kurt Trampedach lader værk og liv sig altså ikke skille ad, hvorfor der er tale om en række figurationer med en rød tråd gennem dem – en livslinje, så at sige. Han fik

24

For en eksponentiel regression og dertilhørende graf, se da bilag 1 og 2

25

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 8

Side 18

17 sit første værk antaget i 1962 på Kunstnerens Efterårsudstilling [26], og dette skulle vise sig at blive begyndelsen på en lang karriere på både godt og ondt.

Det første selvportræt

Det føromtalte værk, der cementerede Kurt Trampedachs debut på den danske kunstnerscene, er et selvportræt af 1962. Maleriet er sammensat af olie på lærred, og det har en størrelse på 23 ∗

23 cm^{27}.

26

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 301

27

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, fig. 1 p 37

Side 19

18

Et gennemborende blik

Genren af maleriet er selvsagt et portrætmaleri. Der er tale om et figurativt billede med Trampedachs eget fysiognomi i fokus. Trampedach beskæftigede sig udelukkende med sig selv og den verden, han havde bygget op omkring sig [28], og da motivet efter alt at dømme befinder sig indendørs, er det ikke utænkeligt, at der er tale om Trampedachs egen, mørke stue.

Idet Kurt Trampedach som nævnt ligeledes tog sit udgangspunkt i sindet og psyken, er det nærliggende at kigge nærmere på de nonverbale tegn, motivet udsender, da disse menes at spille en central rolle hvad angår fysiognomik. Såvel gestik som positur udebliver i sagens natur fra billedet grundet beskæringen, men mimikken er til gengæld uundgåelig at kaste sine øjne på.

Motivets stålsatte, gennemborende blik efterlader unægtelig et spørgsmål om, hvad motivet beskuer. Det lukkede ansigtsudtryk, der ingen følelser lækker overhovedet, synes ikke at besvare dette spørgsmål. Tværtimod vækker det en vis nysgerrighed omkring motivet, og vi som beskuere fristes nu endvidere til at spørge: ”Hvem er denne mand?”

Frigørelsen af baggrunden

Hvad angår dybdekompositionen i billedet, så kommer rummet i billedet til udtryk ved repoussoir og den overlapning, der udgøres af motivet og væggen bagved. Af billedet fremgår det tydeligt, at Trampedach hverken har gjort brug af farvekontraster eller linearperspektiv som rumskabende virkemidler. Netop denne mangel på farvekontraster gør, at motivet går en anelse i ét med baggrunden. Dette efterlader et indtryk af, at motivet netop er ved at vriste sig fri af denne.

Farverne i billedet befinder sig utvivlsomt på den dunkle skala, hvor det i høj grad er jordfarverne, der dominerer. Trampedachs anvendelse af meget ens farver giver billedet et præg af ro og harmoni, og dette sammenholdt med den lave dybdeskarphed øger fokus på motivet.

Det er tydeligt, at der ikke er nogen linjer, som dominerer i billedfladen. På den baggrund kan man således hverken erklære billedet for statisk eller dynamisk præget. Symmetrien omkring

28

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 26

Side 20

19 billedets midterakse og billedets beskæring antyder dog, på lige fod med anvendelsen af farverne, en vis ro i billedet.

Det gyldne snit i værket

Som et led i analysen af fladekompositionen vil jeg nu undersøge, hvorvidt det gyldne snit er en del af det kompositoriske princip. Først indsættes de gyldne snit i værket:

Efter tilblivelsen af de gyldne snit ses det hurtigt, at de fire brændpunkter alle er at finde i motivets ansigt. Dog skiller et af dem sig ud – nemlig det, som er udgjort af det højre lodrette og det øverste vandrette gyldne snit. Her ses det, at motivets næseryg næsten følger den højre lodrette linje, samtidig med at øjnene tilnærmelsesvis ligger på den øverste horisontale linje.

Side 21

20

Således er det gyldne snit opfyldt i to retninger, og derfor er det også helt naturligt dette punkt, beskueren retter sin opmærksomhed mod.

Der kan altså ikke herske nogen tvivl om, at det føromtalte stålfaste blik spiller en central rolle og er et vigtigt element i billedet.

Et kig mod fremtiden

Som nævnt lader Kurt Trampedach ikke sine værker og sit liv skille ad, hvorfor hans malerier figurerer som et middel til selvudfoldelse. Et givent budskab hænger således uløseligt sammen med den sindstilstand, han har befundet sig i under udarbejdelsen af maleriet.

Som det allerede er blevet benævnt, cementerede dette værk Kurt Trampedachs indtræden på den danske kunstnerscene. Han var på dette tidspunkt blot 19 år og havde hele livet og karrieren foran sig. Denne sindsro, han har befundet sig i på pågældende tidspunkt, har således sat sine spor på selvportrættet, der må siges at være meget statisk præget og indbegrebet af harmoni.

Manglen på farvekontraster i billedet giver det indtryk, at motivet, Trampedach selv, er ved at vriste sig fri af baggrunden og ud i lyset – eller, forstået på en anden måde, ved at markere sin indtræden på den danske kunstnerscene. Og netop dette indtryk giver anledning til at besvare spørgsmålet om, hvad det stærke blik i maleriet kigger på: Fremtiden.

Trampedachs frie fald

Kurt Trampedachs karriere fik en flyvende start, og hans værker var snart repræsenteret i stor til i de danske museer – og endnu større i de danske hjem. Også i det private så han ud til at have fundet lykken, da han havde giftet sig med Annette Aller, fået to søde børn og købt en ejendom på strandvejen, hvor der var rigeligt med plads til at udfolde sin kreativitet [29].

29

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 100

Side 22

21

Lykken varede dog ikke ved. I takt med at han var blevet trukket ind i et mondænt miljø, blev afstanden til hans egen oprindelse for stor. Dette effektuerede således kvaliteten af hans malerier og blev ligeledes begyndelsen på hans alkoholmisbrug [30]. Ægteskabet med Annette begyndte at smuldre, og han var faret vil i sin egen motivverden. Da han til sidst følte, at det ikke længere var besværet værd, pakkede han kufferterne og drog mod Baskerlandet, hvor han indlogerede sig i et

                            31
afsides hus kaldet Chilardico Borda .

Det, der kommer indefra, kan jeg ikke holde ude

Efter Trampedach var gået i isolation, kunne han påbegynde den på mange måder destruktive selvransagelse. Denne selvransagelse bundede i hans danske fortid og nogle følelser, han modvilligt tog med sig til Baskerlandet. Igen lod han kunsten forblive intakt med sindet, og resultatet af dette blev en række selvportrætter, hvor de bagvedliggende aggressioner ikke lod sig skjule. Et af disse kaldte han ”Det, der kommer indefra, kan jeg ikke holde ude [32] ”. Dette selvportræt blev til i 1980 og udarbejdet ved hjælp af blyant, vandfarve og papir og måler 41 ∗ 29 cm.

30

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 100

31

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 164

32

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, fig. 113 p. 196

Side 23

22

Et selvportræt af en anden

Mange elementer fra det første billede går igen i dette. Der er således stadig tale om et portrætmaleri med Kurt Trampedachs eget fysiognomi i fokus. Denne gang er motivet dog ikke at finde i noget specifikt lokale. I stedet har Trampedach benyttet en ramme i billedet for på den måde at fremhæve fremstillingen som scenisk. Grundet de materialer, Trampedach har taget i anvendelse til at male billedet, tilhører farverne igen den dunkle farveskala. For dette billede gælder dog, at det ikke længere er jordfarverne, der dominerer billedet, men snarere nogle grålige, tunge og mørke toner. Dog anvendte Trampedach mere end blot blyant, vandfarve og papir under udfærdigelsen af billedet. Han har nemlig valgt at hæfte regnorme fast til billedfladen

– som mementoer [33]. Disse regnorme er med til at udgøre motivets filtrede hår, og er foruden dette også at finde på og omkring billedrammen. Under billedrammen ses billedets titel, samt hvor og hvornår det er udarbejdet.

33

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 167

Side 24

23

Der er dog en ting, der har ændret sig markant fra Trampedachs første selvportræt af 1962 og til dette – nemlig mimikken. Det stålsatte, undersøgende blik er blevet erstattet med et opgivende udtryk. Den selvsikkerhed, der før blev udstrålet, er lige så svær at finde i billedet, som det er at finde en af primærfarverne: En umulighed. Mest af alt fristes man til at postulere, at det ganske enkelt ikke er den samme kunstner, der står bag de to selvportrætter. Og det var det da heller ikke

– i sindet, om ikke andet.

Det illusionistiske rum bliver brudt

Rummet i billedet er også her skabt ved overlapning, hvilket er bedst eksemplificeret ved de regnorme, der på må og få er blevet hæftet fast til billedfladen. Den minimale dybdekomposition er således skabt ved de samme rumskabende virkemidler, Trampedach gjorde brug af i de tidlige år som maler.

Billedet har, til forskel fra Trampedachs første selvportræt, et betydeligt større dynamisk præg.

Denne dynamik kommer ikke alene til udtryk ved ormene – noget ”levende” – der er hæftet fast til billedet, men ligeledes ved de diagonale linjer, de udgør. Og som om at dette ikke skulle være nok, så har Trampedach også valgt at lede enkelte af ormene stikke ud af det illusionistiske rum, han i første omgang skabte ved at indsætte en billedramme.

Det gyldne snit i værket

Som det vigtigste element i fladekompositionen vil jeg igen inddrage Kurt Trampedachs brug af det gyldne snit, som indsættes her:

Side 25

24

Denne gang er de fire brændpunkter alle at finde i og omkring motivets filtrede hår, der – som nævnt – deslige er udgjort af vedhæftede regnorme. Der er ingen af de gyldne snit, der skiller sig synderligt ud, idet ingen af dem er opfyldt i mere end én retning. Det er således også naturligt, at beskueren retter sin opmærksomhed mod håret i sin helhed. Der er altså belæg for at påstå, at netop håret og regnormene spiller en central rolle i såvel billedet som i budskabet.

Den depressive Medusa

Som allerede benævnt blev dette værk udarbejdet under en personlig krise for Kurt Trampedach.

Hverken hans kone eller de danske kunstentusiaster ville vide af ham, og han var begyndt at drikke. Ligeledes var han begyndt at ane konturerne af den depressivitet, han havde arvet fra sin fader [34]. Aggressionerne og hadet blev løsladt med en malerpensel i hånden, og billedet er på den led blevet et udtryk for den sindstilstand, han befandt sig i på pågældende tidspunkt. Og netop denne sindstilstand har da også sat sine spor i selvportrættet, der må siges at have et meget dynamisk præg, og ingenlunde at være indbegrebet af harmoni.

34

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 18

Side 26

25

Som det ses af billedet følger udviklingen af håret læseretningen med diagonallinjen fra øverste venstre til nederste højre hjørne. Ormenes placering kontra hårets placering i billedet efterlader et indtryk af, at motivet førhen havde normalt hår, men at der nu i stedet gror orme ud, og dette kan meget vel være Trampedachs måde at udtrykke den depression, han langsomt, men usvigeligt sikkert, nærmer sig.

Billedet giver også associationer til den græske myte [35] omhandlende Medusa. Denne var oprindelig en ung, smuk kvinde, men grundet erotiske udskejelser i Athenes tempel forvandlede gudinden hende til et gruopvækkende uhyre, med et hår der var filtret sammen af giftige slanger, og med et blik der forstenede enhver, som så hende i øjnene. Til slut lykkedes det helten Perseus at hugge Medusas hoved af. Af denne grund fremstilles Medusa kun som et i luften frit svævende hoved – akkurat som Trampedach fremstiller sig selv i dette selvportræt. Denne kritiske selvfremstilling er meget sigende for, hvordan han havde det i denne periode.

En ny start

Perioden først i 1980erne udgjorde den mest alvorlige krise i Trampedachs turbulente karriere.

Således oplevede han i 1982 sin første alvorlige depression [36], der efterlod ham handlingslammet i adskillige måneder, hvilket var et incitament for ham til at genoptage drikkeriet. Trampedach, der i øvrigt også var begyndt at få professionel hjælp ved en psykiater [37], havde nået bunden.

En ganske særlig dag besøgte han sin fader på et plejehjem. Denne var blevet ramt af en hjerneblødning og efterladt hjælpeløs i en rullestol. Denne ganske særlige dag gjorde synet af sin fader så stort indtryk på Trampedach, at han fra da af aldrig drak igen [38]. Denne beslutning skulle vise sig at blive vendepunktet.

35

http://www.britannica.com/EBchecked/topic/372807/Medusa

36

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 175

37

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 175

38

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 176

Side 27

26

Flugten til Amerika

Kort efter at Trampedach havde besluttet, at han aldrig ville drikke igen, erhvervede en amerikansk forretningsmand to af hans skulpturer. Disse blev dog beskadiget under transporten, hvorfor Trampedach selv måtte tage til New York for at reparere dem. Da han ankom til byen, der aldrig sover, øjnede han ikke alene et stort potentiale, men også muligheden for at lægge afstand til alt det, der plagede ham derhjemme. Han valgte derfor resolut at smide sin returbillet i papirkurven og flyttede først ind hos forretningsmanden, for derefter at leje et regulært loft, hvor han indrettede sit eget atelier [39]. Bruddet med hans ekskone blev endegyldigt, og en enorm byrde faldt fra hans skuldre. Og da han samtidig var holdt op med at drikke, blev hans billeder langt lysere i farven. Det virkede, som om han ikke længere følte sig fanget af den mørke tone, der hidtil havde præget hans værk, og at han nu mestrede hele farvespektret.

Motiverne i hans billeder ændrede sig også markant. Om end billederne stadig var udpræget selvbiografiske, indgik der langt flere elementer og variationer i dem. Således begyndte Kurt Trampedach at inddrage nye figurer i form af levende dyr og børn. Dette blev tendensen for den række malerier, han producerede i sin tid i New York. Et af disse malerier kaldte han meget

                        40
passende ”Flugten til Amerika ”, og dette blev han færdig med i 1985/1986. Hvad angår materiale

var Trampedach atter tilbage til anvendelsen af olie og lærred, som han var det i sine første, optimistiske år som kunstner. Maleriet måler 120 ∗ 80 cm.

39

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 177

40

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, fig. 150 p. 266

Side 28

27

Den lille maler

Der er denne gang tale om et figurativt billede af et malende barn – en slags stedfortræder [41] - der er placeret centralt i billedet. I sin venstrehånd har det, ligesom den kejthåndede Trampedach selv, en malerpensel. I højre hånd har det tre flag: Det danske, det amerikanske og det baskiske.

Barnet er flankeret af to søjler, der bærer en siddende mand og en siddende kvinde.

Motivets mundering samt de bagvedliggende figurationer giver en vis indikation af, at billedets handlings ikke lader sig udspille i samtiden. Idet billedet – som de fleste af Trampedachs – overvejende er af selvbiografisk karakter, er det ikke utænkeligt, at det er en form for minde fra de unge dage, hvor han jævnligt gik sig en tur rundt om Frederiksborg Slot for at komme i den rette

41

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 226

Side 29

28 stemning til at male [42]. Og det til trods for, at barnet ikke ligner Trampedach det mindste, heller

ikke da han selv var barn^{43}.

Idet billedet er malet i halvtotal, er det muligt at se nærmere på de nonverbale tegn gennem posituren. Her star barnet med penslen løftet som et draget sværd, afventende og tålmodigt.

Samtidig kan det nævnes, hvordan de tre flag i højre hånd snarere hænger end flagrer. Posituren kommer dog med i billedet på bekostning af mimikken, idet denne ikke længere er mulig at bestemme på en sådan afstand.

Et nyt farvespekter

På billedet ses det hurtigt, at Kurt Trampedach i høj grad har ændret sin holdning til anvendelse af primærfarverne. Han er ikke længere låst fast på de dunkle jordfarver og mørke toner, men tager nu også de mere livlige farver i brug. Dette har dannet en varm farveharmoni, som gør billedet væsentligt mere betagende at beskue. Men det er ikke det eneste: De nytilkomne farver er også med til at danne den farvekontrast, som skaber rummet i billedet.

Der er såvel vertikale som horisontale linjer at finde i billedet. Det oprejste barn udgør i sig selv en lodret linje, mens også de flankerende søjler gør det. Penslen, den lille maler holder i venstre hånd, holdes mere eller mindre vandret, og er således med til at danne en vandret linje. Disse linjers dominans er med til at give billedet et statisk præg. Endvidere synes der at være symmetri omkring billedfladens midterakse, hvilket ligeledes giver en indikation af ro i billedet.

42

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 20

43

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach, p. 226

Side 30

29

Det gyldne snit i værket

Det ses her, at de fire brændpunkter – som forventeligt – er centreret om den lille maler. Dog skiller ét af disse sig ud, nemlig det som udgøres at det venstre vertikale og nederste horisontale gyldne snit. Her er malerens højre hånd, der holder de tre flag, anbragt. Således er det gyldne snit her opfyldt i to retninger, hvorfor det også helt naturligt er dette punkt, der først fanger beskuerens opmærksomhed. Samtidig følger malerens venstre arm det højre vertikale gyldne snit, og følgelig er det den venstre arm – og hånd – beskueren retter sin opmærksomhed mod efterfølgende. Dette giver anledning til at forvente, at penslen og flagene spiller en central rolle i billedet og udgør en vigtig del af dets budskab.

Side 31

30

Tre perioder – én helingsproces

Som det er blevet benævnt blev ”Flugten til Amerika” udarbejdet, da Kurt Trampedach kom ud af sin personlige krise. Byrden på hans skuldre i form af det smuldrende ægteskab var forsvundet, vinen var blevet lagt på hylden, og Trampedach selv befandt sig New Yorks kunstnermiljø, klar til at ride om kap med de hurtige heste. Den nyligt fundne frihed gav Trampedach en indre fred og en sindsro, der i den grad smittede af på lærredet. Ganske vist trådte farvekontrasterne ind i billedet, men lige så gjorde de varme og harmoniske farver. Disse farver sammenholdt med de meget kontrollerede linjer giver i høj grad billedet et præg af harmoni – som Trampedach var det. Billedet peger i sin statuariske komposition tilbage på hans første selvportræt, hvor han ligeledes besad en indre fred, og det er således nærliggende at tro, at han igen havde fundet frem til denne.

Billedets mest fremtrædende elementer er penslen og flagene. Det ses, at penslen bliver holdt som et draget sværd, som om maleren er klar til kamp med stoffet. Da Kurt Trampedach kort forinden var handlingslammet som følge af sin depression, kan dette ses som et udtryk for, at han for alvor er klar til at male igen, nu hvor han har genfundet sig selv. Men hvad er det helt præcist der gør, at han har genfundet sig selv? Svaret på dette kan meget vel lægge i motivets højre hånd, som ligger i et af de fire brændpunkter. Her ses det danske, amerikanske og baskiske flag. Hver i sær udtrykker de en del af den helingsproces, Kurt Trampedach har gennemgået. Som bekendt var det på et plejehjem i Danmark, han besluttede sig for at lade vinen forblive på vinhylden, hvilket alene ændrede Trampedachs syn på såvel kunsten som livet. I Baskerlandet fandt han et afsides men idyllisk hjem, i hvilket han planlægger at bo resten af livet. Det var her, han søgte tilflugt, da både karrieren og det private herhjemme stod allerværst til. Slutteligt er der Amerika, hvor det blev Trampedach muligt for alvor at lægge afstand til alt det, der havde gået ham på – og imod – i såvel Danmark som i Sare. Disse tre perioder har til sammen udgjort den helingsproces, der har gjort, at Trampedach kom igennem den svære periode, og dette med ovenstående maleri til resultat.

Side 32

31

Kurt Trampedach – en kort sammenfatning

Det, der gør Kurt Trampedach til en unik kunstner, er den røde tråd, der går gennem hans værker.

Således danner de sammen en fortælling – en fortælling om hans liv og den udvikling, han som kunstner og menneske har gennemgået. Uagtet for fortællende og illustrerende det enkelte billede er, så får man altid et lille kig ind i Trampedachs sind og psyke. Således udgør det enkelte billede en slags brik i et puslespil eller en livslinje, og først når alle brikkerne er faldet på plads, føler man, at man kender ham.

Det gyldne snits anvendelighed

Det er en kendsgerning, at man, bevidst eller ubevidst, tiltrækkes af steder i billedfladen, hvor de gyldne snit ligger, og dermed især af de fire punkter hvor disse skærer hinanden. Det giver de elementer, der er anbragt disse steder, større betydningsindhold.

Når en kunstner komponerer sit værk, er det de samme mekanismer, der – igen bevidst eller ubevidst – gør, at de fleste vedkender sig en anvendelse af det gyldne snit som kompositorisk princip. Det gyldne snit er således også ofte anvendeligt i en billedanalyse, hvad enten man ønsker at bruge det til at belyse betydningsbærende elementer eller som formskabende element.

Dette betyder dog ikke, at man uden videre kan forvente, at det gyldne snit netop er blevet brugt som et kompositorisk princip i et givent værk. Et eksempel herpå er i tiden efter 1960, hvor den fremherskende marxistiske ideologi blandt kunstnere ikke opererede med tidløse æstetiske værdier. Det gyldne snit blev, sammen med andre klassiske kompositionsprincipper, opfattet som borgerskabets forsøg på at bestemme, hvad der er god smag, og som modsvar til dette valgte mange kunstnere bevidst ikke at tage sådanne i anvendelse.

Når det kommer til Kurt Trampedachs værker, kan man langt fra sige, at en billedanalyse hviler på det gyldne snit alene. Da han netop tager udgangspunkt i sig selv og sit eget sind er det essentielt

Side 33

32 at have kendskab til dette, før man begiver sig ud i en analyse af hans værker. Denne nødvendige forudsætning kommer for så vidt også til udtryk i de tre billeder, der nu er blevet behandlet.

Kigger man nærmere Kurt Trampedachs selvportræt af 1962, ”Det, der kommer indefra, kan jeg ikke holde ude” og ”Flugten til Amerika”, er det da også kun i to af dem, at et særligt element er placeret i et af de fire brændpunkter, om end det gyldne snit spillede en væsentlig rolle i analysen og fortolkningen af dem alle.

Konklusion

Vi har i den matematiske redegørelse for det gyldne snit set, at der er en klar forbindelse mellem

                                                                1+ √ 5
den harmoniske inddeling af et linjestykke og tallet 𝜑, som er givet ved 𝜑 = = 1,618034. I
                                                                  2

forlængelse heraf blev vi bekendt med det faktum, at tallet 𝜑 besidder en lang række beundringsværdige matematiske funktioner. Vi har i redegørelsen for Fibonaccifølgen kunnet konstatere, at forholdet mellem to på hinanden følgende elementer i talrækken konvergerer mod netop 𝜑, jo længere frem vi kommer i talrækken, og således kom sammenhængen mellem de to til udtryk. Afslutningsvis blev det vist, at kunstneren Kurt Trampedach har vedkendt sig en anvendelse af det gyldne snit i tre af hans værker, hvori det som kompositorisk princip spillede en væsentlig rolle i henhold til bestemmelse af fortolkningen. I forlængelse heraf har vi dog også måttet konstatere, at det i tilfældet Kurt Trampedach ikke gør sig gældende, at en billedanalyse kan hvile på det gyldne snit alene grundet hans udgangspunkt i sit eget sin og sin egen psyke.

Side 34

33

Bilag 1

Følgende regression er udarbejdet i et CAS-værktøj. Ændringen af værdierne a og b skyldes som bekendt, at det sidste led i Binets formel er udeladt i omskrivningen. Dog kan vi notere os, at da

                      2
korrelationskoefficienten 𝑟 > 0,99 er der tale om meget nøjagtig regression.

Side 35

34

Bilag 2

Følgende punktplot og grafanalyse giver et praj om, hvor eksplosivt talværdierne i Fibonaccifølgen udvikler sig:

Side 36

35

Litteraturliste

Bøger: Carstensen, Jens: Talfølger og rækker. 1. udg. Systime, 1997.

Carstensen, Jens: Talteori. 1. udg. Systime, 1997.

Carstensen, Jens m.fl.: Matematiske essays. 1. udg. Matematiklærerforeningen,

1995.

Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit: i kunst, natur og matematik. 3. udg. Systime,

2010.

Huntley, H. E.: The divine proportion. 1. udg. Dover Publications, 1970.

Livio, Mario: Det gyldne snit. 1. udg. Nyt Teknisk Forlag, 2004.

Læssøe, Rolf: Kurt Trampedach. 1. udg. Fogtdal, 1990.

Wivel, Mikael: Dansk kunst i det 20. århundrede. 1. udg. Gyldendal, 2008.

Wivel, Mikael: Kurt Trampedach. 1. udg. Aschehoug, 2001.

Databaser: Britannica Online Encyclopedia. Udgivet af Encyclopedia Britannica inc.

Internetadresse: www.britannica.com - Besøgt d.

Artikler: Skaarup, Bjørn: Matematik: Det gyldne snit. I: Infomedia, , s. 1-2