HF Matematik C december 2011

Side 1

2hf113-MAT/C-

Matematik HF C – eksamen fredag d. 9.

december 2011

Alle formlerne henviser til Matematisk formelsamling stx/hf C fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1 a)

Efter 21 dage har kyllingen taget 35 gram på 21 gange, dvs. den har taget 35g ⋅ 21=735g på. Med en start
vægt på 40 gram vejer kyllingen efter 21 dage altså 735 + 40=775 gram.

Da start vægten er 40 gram og vægten stiger med 35 gram om dagen, kan kyllingens vægt i gram, y efter 𝑥 dage beskrives ved formlen

𝑦=40 + 35𝑥.

b)

Kyllingens alder kan bestemmes ved at løse følgende ligning for 𝑥.

2500=40 + 35𝑥

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=70,28571

Kyllingen er altså 70 dage gammel, når den bliver slagtet.

Side 2

2hf113-MAT/C-

Opgave 2 a)

WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 90° , BC = 9,4 , AB = 10

19,9° A = 70,05156°
B = 19,94844°
C = 90°

BC = 9,4
AC = 3,411744
AB = 10

Længden af siden AC findes vha. pythagoras

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵^{2} − 𝐵𝐶^{2} = √ 10^{2} − 9,4^{2} =3,411744

√

Vinkel A findes vha. sinus

𝐴=sin^{−1} ()=sin^{−1} ()=70,05156°

𝐵𝐶 9,4

𝐴𝐵 10

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐵=180° − 𝐶− 𝐴=180° − 90° − 70,05156°=19,94844°

Af ovenstående udregninger kan vi se, at vinkel A i trekant ABC er givet ved 70,1° afrundet til en decimal.

b)

Vinkel 𝐴 i trekant 𝐴𝐵𝐶 og vinkel 𝐴 i trekant 𝐴𝐵𝐷 giver tilsammen 180°. Vinkel 𝐴 i trekant 𝐴𝐵𝐷 er altså

180° − 70,0516°=109,9484°.

Vinkel 𝐴 i trekant 𝐴𝐵𝐷 er altså 109,9° afrundet til en decimal.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 109,9484° , BA = 10,0 , DA = 15,0

70,1° 3,41 90°

10 9,4

Side 3

2hf113-MAT/C-

D = 27,04631°
B = 43,00529°
A = 109,9484°

BA = 10
DA = 15
DB = 20,6725

Længden af siden DB findes vha. en cosinusrelation

𝐷𝐵= √ 𝐷𝐴^{2} + 𝐵𝐴^{2} − 2 · 𝐷𝐴 · 𝐵𝐴 · cos ( 𝐴) = √ 15^{2} + 10^{2} − 2 · 15 · 10 · cos ( 109,9484°) =20,6725

Vinkel B findes vha. en cosinusrelation

𝐵=cos^{−1} () =cos^{−1} () =43,00529°

𝐷𝐵^{2} + 𝐵𝐴^{2} − 𝐷𝐴^{2} 20,6725^{2} + 10^{2} − 15^{2}
2 · 𝐷𝐵 · 𝐵𝐴 2 · 20,6725 · 10

Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐷=180° − 𝐴 − 𝐵 =180° − 109,9484° −43,00529°=27,04631°

Længden af siden 𝐵𝐷 er altså 20,7 afrundet til en decimal.

c)

Arealet af trekanten ABD, T kan bestemmes ud fra følgende formel (formel 16)

𝑇= ℎ ⋅ 𝑔

1

2

Hvor g er længden af en grundlinje i trekanten og h er højden i til grundlinjen i trekanten.

Vi lader AD være grundlinje og vi ved at f højden til denne er givet ved længden af BC.

𝑇= ⋅ | 𝐴𝐷 | ⋅ | 𝐵𝐶 | = ⋅ 15,0 ⋅ 9,4=70,5

1 1

2 2

Arealet af trekant 𝐴𝐵𝐷 er altså 70,5.

27° 15 110°

43°

20,7 10

Side 4

2hf113-MAT/C-

Opgave 3 a)

Da der er tale om en eksponentiel udvikling kan tallene a og b bestemmes ved en eksponentiel regression:

Antal dB over grænsen 11 22

Maksimal arbejdstid i min. 120 10

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=1440 · 0,7977974^{𝑥}

Vigtigt: Husk at markere hele tabellen inden der udføres regression via WordMat. Hvis kun felterne, hvori tallene står, markeres, giver WordMat forkerte resultater.

Af ovenstående kan vi aflæse at 𝑎=0,7978 afrundet til fire decimaler og 𝑏=1440.

b)

Hvor længe man må arbejde i støj, der er 32 dB over grænsen, bestemmes ved at udregne 𝑦 når 𝑥=32.

𝑦=1440 ⋅ 0,7978^{32} =1,0445

Man må altså kun arbejde 1,04 min afrundet til to decimaler i denne støj.

Side 5

2hf113-MAT/C-

Opgave 4 a)

De kumulerede frekvenser er bestemt i skemaet herunder.

Alder Procent / frekvens Kumuleret frekvens
13 − 25 42 % 42 %
25 − 40 32 % 42 + 32=74 %
40 − 60 22 % 74 + 22=96 %
60 − 4 % 96 + 4=100 %

Aldersfordelingen giver anledning til følgende sumkurve, som tegnes via WordMat.

Sådan indtastes data i Excel regnearket: b)

Kvartilsættes aflæses på grafen. Den nedre kvartil af førstekoordinaten til grafens skæring med linien

𝑦=25 %. Tilsvarene fås medianen hhv. øvre kvartil ved hjælp af linierne 𝑦=50 % hhv. 𝑦=75 %.

Kvartilsættet aflæses da (ved hjælp af WordMat) til ( 20,1;28,75;40,9)

Af medianen er 29 betyder at halvdelen af de danske brugere af Facebook er 29 år eller yngre.

0%

25%

50%

75%

100%

53 58 63

Side 6

2hf113-MAT/C-

Opgave 5 a)

Der er tale om en eksponentiel model.

Tallet 3,40 fortæller at befolkningstallet i Bolivia i år 1960 var 3,40 millioner. Tallet 1,0225 er den årlige fremskrivningsfaktor, som svarer til en årlig vækstrate i befolkningstallet på:

1,0225 − 1=0,0225=2,25 %.

Tallet 1,0225 fortæller altså, at Bolivias befolkningstal i perioden voksende med 2,25 % om året.

b)

Fordoblingstiden for en eksponentielt voksende udvikling kan bestemmes ved jf. formel 37

𝑇_{2} =.

log2 log𝑎

Indsættes tallene fås

𝑇_{2} = =31,1518.

log2 log1,0225

Ifølge modellen er fordoblingstiden for Bolivias befolkningstal altså 31,2 år afrundet til 1 decimal.

Side 7

2hf113-MAT/C-

Opgave 6 a)

Prisen for brødpakken i 2009 kan beregnes ved følgende formel: jf. formel 8

𝑆= ⋅ 𝐵.

𝐼_{𝑆}
𝐼_{𝐵}

Indsættes tallene fås da

𝑆= ⋅ 15=17,5641.

137

117

Den givne pakke brød koster altså 17 kroner og 56 øre i 2009.

Side 8

2hf113-MAT/C-

Opgave 7 a)

Kogetiden for et æg på 57 gram bestemmes ved at beregne 𝑦 når 𝑥=57.

𝑦=18,2 ⋅ 57^{0,67} =273,2169.

Kogetiden får et æg på 57 gram er altså ca. 273,22 sekunder afrundet til to decimaler, hvis det ønskes blødkogt. Ved at dividere med 60 ses, at det svarer til lige godt fire et halvt minut.

b)

Hvor meget længere et æg der er 15 % tungere skal koge bestemmes ved hjælp af jf. formel 48

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}.

Indsættes tallene fås

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 15 %)^{0,67} =1,15^{0,67} =1,0982

⇕

𝑟_{𝑦} =1,0982 − 1=0,0982=9,82 %

En æg der er 15 % tungere skal altså koge 9,82 % længere for at bliver blødkogt.

Side 9

2hf113-MAT/C-

Opgave 8 a)

Promillen for en mand på 70 kg der har drukket 5 genstande inden for et kort tidsrum bestemmes ved at indsætte i formlen

12 ⋅ 5 60

0,68 ⋅ 70 47,6

= =1,2605.

Manden får altså en promille på ca. 1,26 og må således ikke køre bil.

Hvor mange genstande en mand på 70 kg skal drikke for at nå promillegrænsen fås ved løse følgende ligning, hvor g angiver antallet af genstande for g:

0,5=

12 ⋅ g

0,68 ⋅ 70

⇕ Ligningen løses for g vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑔=1,983333

En mand på 70 kg vil altså efter at have drukket 1,98 genstande afrundet til to decimaler inden for et kort tidsrum have nået færdselslovens promillegrænse.